線性代數解題密碼（簡體書）

本書是專門為提高考研學生線性代數解題能力而編寫的訓練講義.本書在分析線性代數的歷年考研真題以及參考近年來各大考研名師模擬試卷中的精彩好題的基礎上，將線性代數考查的重點和難點內容分成12個專題進行講解，每個專題都配有適量的典型例題及針對性習題，力求做到讓考生“看一個專題，就吃透一個專題”，徹底學會線性代數的解題方法和技巧.本書既緊貼考研真題的命題風格，又能直擊考生的復習盲區，幫助考生串聯起整個線性代數的知識網絡，有利於考生快速提高線性代數的解題能力.
本書可作為考研衝刺階段線性代數解題訓練的講義，也適用於線性代數期末考試的復習.

王凱冬，西南石油大學碩士畢業，研究方向是可靠性分析。作為新生代知名考研數學老師，教學風格獨樹一幟，教學口碑保守好評，B站暱稱“考研競賽凱哥”，B站粉絲數量突破29.5萬，視頻播放量突破1600萬，CCtalk年度新星教師，連續兩屆付費學員總人數突破40000人，帶出大量考研數學140分以上的高分學員，深受廣大學子的認可與喜愛。

1. 本書作者B站暱稱“考研競賽凱哥”，B站粉絲數量突破29.5萬，視頻播放量突破1600萬，是CCtalk年度新星教師，帶出大量考研數學140分以上的高分學員，深受廣大學子的認可與喜愛。
2. 本書既緊貼考研真題的命題風格，又能直擊考生的復習盲區，幫助考生串聯起整個線性代數的知識網絡.

前言

在全國碩士研究生招生考試的數學科目復習中，很多考生對線性代數部分感到十分無奈，甚至恐懼，覺得越學越亂，越學越不會做題，腦袋裡像一團糨糊似的.
為了幫助考生在衝刺階段提高復習效率，使他們取得良好的復習效果，作者結合最新的“全國碩士研究生招生考試數學考試大綱”，深入分析了線性代數歷年考研真題的題型分布與命題規律，並以此為依據，歸納總結重要的結論與方法，精心篩選例題和習題,編寫了這一考研輔導書——《線性代數解題密碼》.
本書主要有以下三個特色：
1. 精選歷年考研真題的重點題型，並借鑒各大考研名師模擬試卷中的精彩好題.
作者分析了歷年考研真題中所有線性代數的題目和考法，總結出了最高頻、最重要的題型，精選出了最典型的題目，並將這些題目的解題方法進行歸納總結，以便於考生掌握，使其在短時間內能取得巨大突破.同時，作者還參考了近年來各大考研名師模擬試卷中的精彩好題，配置了一些典型例題和習題，以確保考生徹底學會、學懂.
2. 本書是一份考研的衝刺講義，也是一份公式手冊.
線性代數雖然內容較少，通常只包括行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特徵值與特徵向量、相似對角化、二次型等六部分內容，但其中考研需掌握的公式和結論卻接近200個.而且，這些公式和結論毫無規律地分布在線性代數的各部分內容中，這大大增加了考生的記憶負擔.所以，每年都有考生抱怨“線性代數，學完就忘光”.為了解決這個問題，作者將每個題型對應的重要結論都匯集到了一起，以方便考生查看和記憶.
3. 本書打破了線性代數各部分內容的限制，注重題型的分析、知識點的梳理，不過多講解知識點單一的簡單題，而是把重心放在了融合多個知識點的綜合題上.
本書既緊貼考研真題的命題風格，又能直擊考生的復習盲區，幫助考生串聯起整個線性代數的知識網絡.希望本書能夠幫助考生快速提高線性代數的解題能力，以取得理想的成績！
由於編者水平有限，書中必定還有很多不盡如人意之處，請讀者批評指正.

作者2023年5月

第1講抽象行列式與矩陣的運算
一、 重要結論歸納總結
（一） 與轉置矩陣相關的結論
（二） 與逆矩陣相關的結論
（三） 與伴隨矩陣相關的結論
（四） 與正交矩陣相關的結論
（五） 與特徵值和特徵向量相關的結論
二、 典型例題分類講解
考法一考查矩陣乘法的逆用及其與相似理論的結合
考法二考查轉置矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、正交矩陣的基本公式及
恒等變形
考法三考查行列式與特徵值的關係
三、 配套作業
第2講矩陣高次冪的計算
一、 重要結論歸納總結
（一） 秩一矩陣的分解
（二） 相似對角化在矩陣求冪中的應用
（三） 凱萊哈密頓定理
二、 典型例題分類講解
考法一考查找規律法
考法二考查秩一矩陣的分解
考法三考查二項式展開定理
考法四考查初等矩陣的冪
考法五考查相似對角化
考法六考查凱萊哈密頓定理
三、 配套作業
第3講抽象線性方程組的求解
一、 重要結論歸納總結
（一） 線性方程組解的結構與性質
（二） 線性方程組與向量組的關係
二、 典型例題分類講解
考法一考查線性方程組解的結構與性質
考法二考查A*x=0與A的關係、Ax=0與A*的關係
考法三考查線性方程組的解與向量組線性表示的關係
考法四考查“已知線性方程組的解，反求線性方程組”
考法五考查系數矩陣為分塊矩陣的抽象線性方程組的求解
考法六考查線性方程組與向量組相結合的證明
考法七考查線性方程組與特徵值和特徵向量的結合
三、 配套作業
第4講向量組的線性相關性
一、 重要結論歸納總結
二、 典型例題分類講解
考法一考查通過逆用矩陣乘法證明向量組線性無關
考法二考查利用定義證明向量組線性無關
考法三考查利用秩證明向量組線性無關
三、 配套作業
第5講線性方程組的公共解與同解問題
一、 重要結論歸納總結
（一） 線性方程組的公共解問題
（二） 齊次線性方程組的同解問題
（三） 非齊次線性方程組的同解問題
二、 典型例題分類講解
考法一考查線性方程組的公共解問題
考法二考查齊次線性方程組的同解問題
考法三考查非齊次線性方程組的同解問題
三、 配套作業
第6講矩陣與向量組的秩
一、 重要結論歸納總結
（一） 矩陣秩的等式與不等式
（二） 與向量組的秩相關的重要結論
（三） 線性方程組與矩陣的秩
（四） 相似理論與矩陣的秩
二、 典型例題分類講解
考法一考查矩陣秩的等式的證明
考法二考查矩陣秩的不等式的證明
考法三考查矩陣與向量組的秩、矩陣等價及向量組等價
三、 配套作業
第7講特徵值與特徵向量
一、 重要結論歸納總結
二、 典型例題分類講解
考法一考查特徵值與特徵向量的定義
考法二考查特徵值與特徵向量相關的重要性質和結論
三、 配套作業
第8講一般矩陣的相似對角化
一、 重要結論歸納總結
二、 典型例題分類講解
考法一考查具體矩陣的相似對角化
考法二考查抽象矩陣的相似對角化
考法三考查兩個矩陣相似的判定
考法四考查在已知特徵值與特徵向量的條件下反求矩陣
三、 配套作業
第9講實對稱矩陣的相似對角化
一、 重要結論歸納總結
（一） 實對稱矩陣的獨特性質
（二） 實對稱矩陣的相似對角化步驟
（三） 譜分解定理
二、 典型例題分類講解
考法一考查實對稱矩陣相似對角化的相關問題
考法二考查由特徵值和特徵向量反求矩陣
三、 配套作業
第10講利用正交變換法將二次型化為標準形
一、 重要結論歸納總結
二、 典型例題分類講解
考法一考查利用正交變換法將二次型化為標準形
考法二考查利用譜分解定理反求矩陣
考法三考查正交變換下特徵值與特徵向量的對應關係
考法四考查利用正交變換實現兩個二次型的相互轉化
三、 配套作業
第11講利用配方法將二次型化為標準形
一、 重要結論歸納總結
二、 典型例題分類講解
考法一考查化二次型為標準形的配方法
考法二考查配方法中線性變換的可逆性
三、 配套作業
第12講二次型的正定性
一、 重要結論歸納總結
（一） 二次型正定的充要條件
（二） 二次型正定的必要條件
（三） 二次型負定的充要條件
二、 典型例題分類講解
考法一考查具體矩陣正定性的判定
考法二考查抽象矩陣正定性的判定
三、 配套作業
配套作業答案
參考文獻