數學物理方法：使用MATLAB建模與仿真（簡體書）

本書由復變函數論和數學物理方程兩大部分組成。其中復變函數論部分主要講解解析函數的微分、積分、冪級數展開、留數定理、保角變換的概念及幾何意義及解析函數在平面場問題求解中的應用等內容。數學物理方程部分則以數學物理定解問題的求解為主線講解。主要講解行波法、分離變量法、保角變換法三種解析方法，運用MATLAB實現行波法達朗貝爾公式的可視化，在講解經典的分離變量法和保角變換法時結合MATLAB PDE tool完成數值求解，給學生形象的物理圖像。後結合MATLAB編程和簡單的工程應用實例介紹有限差分法、有限元法及時域有限差分法三種數值計算方法。主要特色：

1.引入更多的應用實例；

2. 核心知識點應用配合MATLAB編程實現；

3. 重要定理由中英文雙語配合，服務雙語教學。

李月娥,2004年畢業於蘭州大學無線電物理專業後留校工作，主講本科生課程：數學物理方法，電磁場理論。2018年，電磁場理論課程教學團隊獲得省級教學團隊；2018年，獲第五屆蘭州大學“我喜愛的十大教師”稱號；2018年，榮獲蘭州大學優秀創新創業指導教師。近5年參與編著電子信息類規劃教材《電磁場與電磁波》1部，《Matlab在電磁場與微波技術中的應用》專著一部。主要研究方向包括微納光電信息材料與器件、智能光電傳感等，主持並參與國家自然青年科學基金、甘肅省自然科學基金項目多項課題。

本書由作者總結多年教學經驗的基礎上編寫而成，全書突出物理背景與物理意義，同時密切結合實例和編程可操作性，注重與後續專業應用課程的聯繫。全書內容包括復變函數、留數定理、冪級數、傅裡葉級數等重要的復變函數論基礎知識，數學物理定解問題和行波法、分離變量法、保角變換法求解方法以及有限差分法、有限元法等數值計算方法初步入門，為後續專業課程的學習提供基礎的數學處理工具。書中附有大量的應用實例以加深學生知識的深度與廣度，且重要知識點均附有MATLAB編程代碼。每一章後附有習題，書末附有答案。本書可作為物理類專業以及部分工科專業本科生的教材，也可供相關專業的研究生、教師和科技人員參考。

本書在蘭州大學信息科學與工程學院電子信息類專業“數學物理方法”課程所用的講義基礎上編寫而成，由復變函數論和數學物理方程兩大部分組成。其中復變函數論部分主要講解解析函數的微分、積分、冪級數展開、留數定理、保角變換的概念及幾何意義，以及解析函數在平面場問題求解中的應用等內容； 數學物理方程部分則以數學物理定解問題的求解為主線講解，主要講解行波法、分離變量法、保角變換法三種解析方法，後結合MATLAB編程和簡單的工程應用實例介紹有限差分法和有限元法兩種數值計算方法。
數學物理方法在物理學和電子信息、通信、自動化等很多工程技術領域中有廣泛而重要的應用。本書在講解基本數學理論的基礎上，緊密結合物理類、電氣信息類等專業知識，增加復變函數基礎知識在工程實際問題中的應用實例，增加MATLAB實踐編程案例，提高學生利用數學方法解決工程實際問題的能力，從而增強工程數學課程的實用性。此外，本書中重要的定理及術語採用中英文雙語，滿足部分院校雙語教學需求。在編寫時我們注意了以下幾點。
(1) 結合MATLAB代碼完成復變函數重要性質的可視化，並引入系統穩態響應求解、平面靜電場求解及保角變換法等更多的復變函數應用實例。
(2) 復變函數的積分、冪級數、留數定理及傅裡葉級數展開部分均加入了MATLAB實用編程。運用MATLAB實現行波法達朗貝爾公式的可視化，有助於學生理解達朗貝爾公式解的物理意義及端點反射的物理圖像。
(3) 單獨編寫傅裡葉級數一章，介紹分離變量法中傅裡葉級數的應用。在講解經典的分離變量法和保角變換法時結合MATLAB PDE tool完成數值求解，給讀者展現形象的物理圖像。
(4) 重要定理和術語由中英文雙語配合，服務雙語教學。
(5) 緊密結合工程實踐和科技前沿內容，特殊函數部分輔以階躍光纖及表面等離激元光波導的應用分析實例，供感興趣的讀者閱讀。
本書由數學物理方法課題組李月娥、馬阿寧、彭宏編寫。李月娥負責第1～3章、第6章和第8～10章的編寫，以及MATLAB 代碼的編寫和全書的統校工作； 馬阿寧編寫第4章和第7章； 彭宏編寫第5章。蘭州大學信息科學與工程學院碩士研究生席楊、段志珍、路陽、吳振業、朱良欣、欒云賀、黃浩峰、田欣怡等對書中的公式錄入和部分繪圖提供了很大幫助； 蘭州大學教務處對教材的編寫給予了資金支持(蘭州大學教材建設基金資助)。在此對他們表示衷心的感謝！
受水平、時間及篇幅限制，書中難免存在疏漏之處，懇請廣大讀者批評指正。我們將對這套教材不斷更新，以保持其先進性和適用性。熱忱歡迎全國同行和關注數學物理方法課程教學及發展前景的廣大有識之士對我們的工作提出寶貴意見和建議。
編者
2022年8月

第1章復變函數與解析函數
1.1復數及其基本運算(complex numbers and operations)
1.1.1復數的基本概念(concepts of complex numbers)
1.1.2復數的表示方法(algebraic and geometric structure of complex numbers)
1.1.3復數的基本運算(operation of complex numbers)
1.1.4基於MATLAB的復數運算(complex number operations based on MATLAB)
1.2復變函數(complex variable functions)
1.2.1復變函數的概念(concepts and properties of complex variable function)
1.2.2區域的相關概念(concepts of domain)
1.2.3復變函數的極限和連續(limit and continuity of complex variable function)
1.3導數及解析函數(derivative and analytic function)
1.3.1導數(derivative)
1.3.2函數可導的充分必要條件(sufficient conditions for derivability)
1.3.3解析函數(analytic function)
1.3.4初等解析函數及性質(elementary analytic function and properties)
1.3.5運用MATLAB工具使復變函數可視化(visualization of complex function based on MATLAB)
1.4解析函數的應用(application of analytic function)
1.4.1解析函數在平面靜電場中的應用(application of analytic function in the plane electrostatic field)
1.4.2保角變換及其幾何解釋(conformal mapping and its geometric interpretations)
1.4.3解析函數在系統穩態響應問題求解中的應用(application of analytic function in oscillation system)
第1章習題
第2章解析函數積分
2.1復變函數的積分(integral of complex variable function)
2.1.1復變函數積分的基本概念(concepts of complex integral)
2.1.2復變函數積分的性質(properties of complex integral)
2.1.3復變函數積分實例(examples of complex integral)
2.2柯西定理(Cauchy theorem)
2.2.1單連通區域情形的柯西定理(Cauchy theorem in simply connected domains)
2.2.2不定積分和原函數(indefinite integral and antiderivative)
2.2.3復連通區域的柯西定理(Cauchy theorem in multiply connected domains)
2.2.4復變函數積分的MATLAB運算(calculation of complex integral based on MATLAB)
2.3柯西公式及推論(Cauchy formula and extension)
2.3.1單連通區域的柯西積分公式(Cauchy formula in simply connected domain)
2.3.2復連通區域的柯西積分公式(Cauchy formula in multiply connected domain)
2.3.3無界區域中的柯西積分公式(Cauchy formula for unbounded domain)
2.3.4柯西公式推論(extension of Cauchy formula)
2.4柯西定理及柯西公式應用實例(application examples of Cauchy theorem and Cauchy formula)
第2章習題
第3章復變函數級數
3.1復數項級數(complex number series)
3.1.1復數項級數的概念(concepts of complex number series)
3.1.2復數項級數的性質(properties of complex number series)
3.1.3復變函數項級數(series of complex functions)
3.2冪級數(power series)
3.2.1冪級數概念(concepts of power series)
3.2.2收斂半徑與收斂圓(radius of convergence and circle of convergence)
3.2.3冪級數的性質(properties of power series)
3.3泰勒級數(Taylor series)
3.3.1解析函數的泰勒展開式(Taylor expansion of analytic function)
3.3.2泰勒級數的收斂半徑(radius of convergence of Taylor series)
3.3.3將函數展開成泰勒級數的實例(examples of Taylor series expansion)
3.4洛朗級數(Laurent series)
3.4.1洛朗級數定義(definition of Laurent series)
3.4.2洛朗級數的收斂性(convergence of Laurent series)
3.4.3洛朗級數展開實例(examples of Laurent series expansion)
3.5單值函數的孤立奇點(isolated singular points of singlevalued functions)
3.6基於MATLAB的冪級數展開(power series expansion based on MATLAB)
第3章習題
第4章留數定理及其應用
4.1留數定理(residue theorem)
4.1.1閉合回路積分與留數的關係(loop integral and residue)
4.1.2留數的計算(calculation of residue)
4.1.3基於MATLAB的留數計算(residue calculation based on MATLAB)
4.2利用留數定理計算實積分(application of residue theorem for calculation of real integral)
4.2.1類型Ⅰ實積分計算(type Ⅰ real integral)
4.2.2類型Ⅱ實積分計算(type Ⅱ real integral)
4.2.3類型Ⅲ實積分計算(type Ⅲ real integral)
4.3其他類型的實積分計算(calculation of other real integral)
4.4基於MATLAB的回路積分計算(loop integral calculation based on MATLAB)
第4章習題
第5章傅裡葉級數
5.1周期函數的傅裡葉展開(Fourier expansion of periodic function)
5.1.1傅裡葉級數的定義(definition of Fourier series)
5.1.2傅裡葉級數的實際意義(practical meaning of Fourier series)
5.1.3傅裡葉級數的收斂性(convergence of Fourier series)
5.2奇函數及偶函數的傅裡葉展開(Fourier expansion of odd and even function)
5.3定義在有界區間上函數的傅裡葉展開(Fourier expansion of functions defined on an interval)
5.4復數形式的傅裡葉級數(Fourier series in complex form)
5.5基於MATLAB的傅裡葉級數可視化(visualization of Fourier series based on MATLAB)
第5章習題
第6章數學建模——數學物理定解問題
6.1基本概念(basic concepts)
6.2典型的數理方程(typical mathematical physics equation)
6.2.1波動方程(wave equation)
6.2.2熱傳導方程(heat conduction equation)
6.2.3泊松方程(Poisson equation)
6.3定解條件(definite solution condition)
6.3.1初始條件(initial condition)
6.3.2邊界條件(boundary condition)
6.3.3數學物理定解問題的適定性(well posed problems in mathematical physics)
6.4二階線性偏微分方程的分類和特徵(classification and characteristics of second order linear partial differential equations)
6.4.1二階線性偏微分方程的分類(classification of second order linear partial differential equations)
6.4.2二階線性偏微分方程解的特徵(characteristics of solutions of second order linear partial differential equations)
6.5行波法與達朗貝爾公式(traveling wave method and d’Alembert formula)
6.5.1一維波動方程的達朗貝爾公式(d’Alembert formula for one dimensional wave equation)
6.5.2達朗貝爾公式的物理意義(physical meaning of d’Alembert formula)
6.5.3達朗貝爾公式應用的MATLAB實現(application of d’Alembert formula based on MATLAB)
第6章習題
第7章分離變量法
7.1分離變量法的理論(theory of variable separation)
7.1.1分離變量法簡介(introduction of variable separation method)
7.1.2偏微分方程可實施變量分離的條件(conditions for variable separation of PDEs)
7.1.3邊界條件可實施變量分離的條件(conditions for variable separation of boundary conditions)
7.2直角坐標系中的分離變量法(variable separation method in rectangular coordinate system)
7.2.1分離變量法的求解步驟(steps of variable separation method)
7.2.2解的物理意義(physical meaning of solution)
7.2.3三維情況下的直角坐標分離變量(variable separation for 3D problem in rectangular coordinate)
7.3非齊次邊界條件齊次化(homogenization of nonhomogeneous boundary conditions)
7.3.1非齊次邊界條件齊次化的一般方法(general method)
7.3.2非齊次邊界條件齊次化的特殊方法(special method)
7.4非齊次方程(inhomogeneous equation)
7.5泊松方程(Poisson equation)
7.6基於MATLAB的數學物理方程數值求解(numerical solution of mathematical physics equation based on MATLAB)
7.6.1有限元法介紹(introduction of the finite element method)
7.6.2MATLAB PDE工具箱(MATLAB PDE toolbox)
第7章習題
第8章二階常微分方程的級數解法和本征值問題
8.1柱坐標系和球坐標系下的分離變量法(variable separation in spherical and cylindrical coordinate system)
8.1.1三種常用的正交坐標系(three types of coordinates)
8.1.2拉普拉斯方程的分離變量(Laplace equation)
8.1.3三維波動方程的分離變量(3D wave equation)
8.1.4三維輸運方程/熱傳導方程的分離變量(3D transport equation/heat conduct equation)
8.1.5亥姆霍茲方程的分離變量(Helmholtz equation)
8.2常點鄰域的級數解法(power series solution around ordinary points)
8.3施圖姆劉維爾本征值問題(SturmLiouville eigenvalue problem)
8.3.1施圖姆劉維爾型方程及本征值問題(SturmLiouville equation and eigenvalue problem)
8.3.2施圖姆劉維爾本征值問題的性質及廣義傅裡葉級數(characteristics of SturmLiouville eigenvalue problem and generalized Fourier series)
第8章習題
第9章特殊函數
9.1勒讓德多項式(Legendre polynomials)
9.1.1勒讓德方程及其級數解(Legendre equation and power series solution)
9.1.2本征值問題(eigenvalue problem)
9.1.3勒讓德多項式的表達式(Legendre polynomials)
9.1.4勒讓德多項式的性質(characteristics of Legendre polynomials)
9.1.5勒讓德多項式的MATLAB可視化(visualization of Legendre polynomials based on MATLAB)
9.1.6廣義傅裡葉級數(generalized Fourier series)
9.1.7軸對稱定解問題(axisymmetric problems in spherical coordinate)
9.1.8勒讓德多項式的生成函數(generating function of Legendre polynomial)
9.1.9勒讓德多項式的遞推公式(recurrence formula of Legendre polynomials)
9.2貝塞爾函數(Bessel function)
9.2.1三類柱函數(three types of cylindrical functions)
9.2.2貝塞爾函數和諾伊曼函數的MATLAB可視化(visualization of Bessel function and Neumann function based on MATLAB)
9.2.3貝塞爾函數的基本性質(characteristics of Bessel functions)
9.2.4貝塞爾方程本征值問題(Bessel equation eigenvalue problem)
9.2.5傅裡葉貝塞爾級數(FourierBessel series)
9.3虛宗量貝塞爾函數(Bessel function of imaginary argument)
9.3.1虛宗量貝塞爾方程的解(solution of modified Bessel equation)
9.3.2虛宗量貝塞爾函數和虛宗量漢克爾函數的MATLAB可視化(visualization of modified Bessel function and modified Hankel function baese on MATLAB)
9.3.3虛宗量貝塞爾函數和虛宗量漢克爾函數的性質(characteristics of modified Bessel function and modified Hankel function)
9.4特殊函數的應用實例(application examples of special functions)
9.4.1拉普拉斯方程定解問題(Laplace equation problems)
9.4.2階躍光纖的分析(analysis of step optical fibre)
9.4.3表面等離激元(plasmonics)
第9章習題
第10章數理方程的其他方法
10.1保角變換法(conformal mapping)
10.1.1常用的保角變換函數(analytic functions for conformal mapping)
10.1.2應用舉例(examples)
10.2有限差分法(finite difference method)
10.2.1差分的基本概念(concepts)
10.2.2二維拉普拉斯方程的差分方程(difference equation of 2D Laplace equation)
10.2.3邊界上的差分方程(difference equation on boundary grids)
10.2.4二維靜態電磁場差分方程的迭代法求解(iterative method solution for 2D static electromagnetic field difference equation) 
10.3有限元法(finite element method)
10.3.1有限元法的基本原理(principle of FEM)
10.3.2有限元法求解案例(examples)
第10章習題
習題答案
參考文獻