相依樣本下若干模型的統計推斷（簡體書）

目錄
前言
第1章預備知識1
1.1定義1
1.2基本性質3
1.3重要不等式.5
第2章相依樣本總體分布的非參數估計11
2.1NSD樣本最近鄰密度估計的強相合性11
2.1.1最近鄰密度估計11
2.1.2定理的證明12
2.2NA樣本經驗分布函數的漸近正態性19
2.2.1主要結果20
2.2.2輔助引理21
2.2.3定理的證明25
2.3NA樣本密度函數核估計的一致漸近正態性28
2.3.1假設條件和主要結果28
2.3.2輔助引理30
2.3.3定理的證明36
2.4NA樣本遞歸密度核估計的強收斂速度38
2.4.1假設條件和主要結果39
2.4.2定理的證明40
2.5NA樣本遞歸密度核估計的漸近正態性45
2.5.1假設條件和主要結果45
2.5.2輔助結果47
2.5.3定理的證明59
2.6相協樣本分布函數遞歸核估計漸近性60
2.6.1假設條件和引理61
2.6.2漸近偏差和二次均方收斂63
2.6.3漸近正態性65
第3章相依誤差下非參數回歸函數小波估計和加權核估計70
3.1負超可加相依陣列誤差下回歸函數估計的相合性70
3.1.1回歸函數加權核估計70
3.1.2定理的證明71
3.2φ混合誤差下回歸函數小波估計的漸近正態性77
3.2.1主要結果78
3.2.2輔助引理79
3.2.3定理的證明82
3.3強混合誤差下回歸函數小波估計的Berry-Esseen界86
3.3.1假設條件和主要結果86
3.3.2定理的證明88
3.3.3數值模擬97
3.4NA誤差下回歸函數小波估計的漸近性質97
3.4.1假設條件和主要結果98
3.4.2弱相合性的證明100
3.4.3一致漸近正態性的證明102
3.5PA誤差下回歸函數小波估計的漸近性質107
3.5.1假設條件和主要結果107
3.5.2輔助引理109
3.5.3定理的證明109
3.6φ混合線性過程誤差下回歸函數小波估計的Berry-Esseen界115
3.6.1主要結果116
3.6.2輔助引理118
3.6.3定理的證明124
第4章相依誤差下半參數模型小波估計和M估計126
4.1NA誤差下半參數回歸模型小波估計的強相合性126
4.1.1假設條件和主要結果127
4.1.2定理的證明128
4.2PA誤差下半參數回歸模型小波估計弱收斂速度133
4.2.1假設條件和主要結果134
4.2.2輔助引理136
4.2.3主要結論證明138
4.3NA誤差下半參數回歸模型加權核估計的強一致相合性142
4.3.1假設條件和主要結果143
4.3.2定理的證明144
4.4φ混合線性過程誤差下半參數回歸模型的小波估計148
4.4.1假設條件和主要結果149
4.4.2輔助引理153
4.4.3主要結果的證明163
4.5NA誤差下非線性模型M估計的強相合性167
4.5.1輔助引理167
4.5.2主要結果172
第5章相依數據平均剩餘壽命函數和生存函數估計174
5.1NA數據平均剩餘壽命函數的非參數估計174
5.1.1有效函數遞歸型估計的相合性175
5.1.2平均剩餘壽命函數估計的漸近正態性176
5.2WOD相依刪失數據生存函數估計184
5.2.1Kaplan-Meier估計184
5.2.2輔助引理186
5.2.3強逼近和強表示188
5.3END相依刪失數據風險率函數估計195
5.3.1風險率函數估計的一般模型195
5.3.2主要結果197
5.3.3定理的證明199
5.4WOD相依數據風險率函數估計的強收斂速度204
5.4.1假設條件204
5.4.2輔助引理205
5.4.3定理的證明207
第6章相依樣本的分位數估計與風險價值估計211
6.1PA樣本分位數估計的Bahadur表示211
6.1.1假設條件和主要結果211
6.1.2輔助引理212
6.1.3定理的證明215
6.2PA樣本VaR分位數估計的漸近性質.218
6.2.1主要結果219
6.2.2定理的證明219
6.3ψ混合樣本分位數和VaR估計的一致漸近正態性223
6.3.1主要結果223
6.3.2輔助引理224
6.3.3定理的證明227
6.4ψ混合樣本條件風險價值估計的Berry-Esseen界231
6.4.1假設條件和輔助引理231
6.4.2密度函數的Esseen-型不等式232
6.4.3條件風險價值估計的Berry-Esseen界236
參考文獻244
索引250

第1章預備知識
在1.1節中，我們給出若干常見且重要的相依序列的定義；在1.2節和1.3節中，分別給出相依序列的一些重要的性質和不等式.
1.1定義
定義1.1.1稱隨機序列為α混合或強混合的，若混合系數
其中分別為隨機變量生成的σ域.
定義1.1.2稱隨機序列為φ混合的，若混合系數
定義1.1.3稱隨機序列為ψ混合的，若混合系數
定義1.1.4稱隨機變量為負相協（negatively associated，NA）的，如果對{1，2，???，n}任何兩個不相交的非空子集A1與A2，都有
其中f1與f2是任何兩個使得協方差存在且對每個變元均非降（或對每個變元均非升）的函數.稱隨機序列{Xn，n.1}是NA序列，如果對於每個，{X1，???，Xn}都是NA的.
定義1.1.5稱隨機變量為正相協（positively associated，PA）的，如果對{1，2，???，n}任何兩個不相交的非空子集A1與A2，都有
其中f1和f2是任何兩個使得協方差存在且對每個變元均非降（或對每個變元
均非升）的函數.稱隨機序列為PA序列，如果對任何{X1，???，Xn}都是PA的.
定義1.1.6稱函數Rn→R為超可加函數，如果對所有的向量x，y∈Rn，滿足
其中，∨代表它們之間的最大值，∧代表它們之間的最小值.
定義1.1.7稱隨機變量為負超可加相依（negatively superadditive dependent，NSD）的，如果存在相互獨立的隨機變量，使得對每個i，與Xi同分布，且
其中是超可加函數，並且使得其期望存在.
定義1.1.8稱有限個隨機變量為拓廣負相依（extended negatively dependent，END）的，如果存在常數，使得對任意的實數x1，???，xn，
成立.稱無窮個隨機變量為END序列，當且僅當對其任意的有限的隨機變量子列均為END的.
定義1.1.9對於隨機序列，如果存在有限實數列，使得對每一個以及所有的，都有
則稱隨機序列是寬上象限相依（widely upper orthant dependent，WUOD）的；如果存在有限實數列，使得對每一個n.1以及對所有的，都有
則稱隨機變量是寬下象限相依（widely low orthant dependent，WLOD）序列；如果隨機變量既是寬上象限相依又是寬下象限相依序列，則稱隨機變量是寬相依（widely orthant dependent，WOD）的，其控制系數為.
定義1.1.10函數φ稱為是τ-正規的，如果對任意的和正數k，有，此處Ck為依賴於k的常數.
定義1.1.11一個函數空間被稱為是ν階Sobolev空間，如果對，有，此處是h的Fourier變換.
定義1.1.12設是概率空間（Ω，F，P）上的隨機變量序列，如果P，則稱{Xn}幾乎處處收斂於X，記為或
定義1.1.13設是概率空間（Ω，F，P）上的隨機變量序列，如果對每一ε>0，有，則稱{Xn}依概率收斂於X，記特別當X=C時，如果，則稱{Xn}依概率收斂於C，記為.
注1.1.1α混合或強混合的概念是Rosenblatt（1956）所引入.φ混合的概念是Dobrushin（1956）所引入.ψ混合的概念是Blum等（1963）所引入.NA的概念和PA的概念是Block等（1982）所引入.NSD的概念是胡太忠（2000）所引入.END的概念是Liu（2009）所引入.WOD的概念是Wang和Cheng（2011）所引入.
1.2基本性質
性質1.2.1（Joag-Dev and Proschan，1983）設X1，X2，???，Xn為NA（或為PA）變量，A1，A2，???，Am是集合{1，2，???，n}的兩兩不相交的非空子集，記，其中.（A）表示集合A中元素的個數，如果是m個對每個變元均非降（或同為對每個變元均非升）的函數，則仍為NA（或為PA）變量.
性質1.2.2（胡太忠，2000）設是NSD序列，如果fn（x）關於x為非升（降）的連續函數，則仍是NSD序列.
性質1.2.3（Liu，2010）設{X1，???，Xn}是END序列.
（i）如果f1，???，fn是非降或非增的函數，則隨機變量f1（X1），???，fn（Xn）是END的.
（ii）對任意的n.1，存在M>0使得
性質1.2.4（Shen，2013）（i）設{Xn，n.1}是WOD序列，其控制系數為φ（n）.如果{fn（?），n.1}是單調不減（或單調不增）的函數列，則為WOD序列，且控制系數仍為φ（n）.
（ii）設{Xn，n.1}是WOD序列，則對每一個n.1和任意的s>0，
性質1.2.5（Serfling，1980）設F（x）是右連續的分布函數，則廣義逆函數F.1（t）在0 性質1.2.6（WangXJetal.，2011）令.假設，那麼
性質1.2.7（林正炎等，1999）對任意的
性質1.2.8（李永明和李佳，2013）設是隨機序列，如果存在常數ρ>0，使得，則.收斂.
性質1.2.9（吳群英，2006）設是被隨機變量X隨機控制的隨機序列，則對任意的α>0，b>0，有下面兩式成立:
其中C1和C2是正數.進一步有，其中C是正數.
1.3重要不等式
下面，給出本書研究中十分有用的相依序列的重要不等式.
對於α混合序列，我們給出如下的矩不等式和特徵函數不等式.
引理1.3.1（楊善朝，2000b，2007）設{Xj:j.1}是α混合序列.
（i）如果，則
（ii）如果.那麼，對任意給定的ε>0，存在不依賴於n的正常數，使得
（iii）如果.則對任意ε>0，存在正常數，使得
引理1.3.2（楊善朝和李永明，2006）設是α混合序列.p和q是兩個正整數.令如果使得
對於φ混合序列，有如下的協方差不等式、矩不等式和特徵函數不等式.
引理1.3.3（LinandLu，1996）設是φ混合序列，ξ和η分別是和F∞k+n可測隨機變量.
（i）如果，那麼
（ii）如果，那麼
引理1.3.4（楊善朝，1995）假設是φ混合序列，如果
引理1.3.5（LiYMetal.，2008）假設是φ混合序列，p和q是兩個正整數.記，則有
對於ψ混合序列有如下矩不等式、Bernstein型不等式和特徵函數不等式.
引理1.3.6（陸傳榮和林正炎，1997）設{Xn，n.1}是ψ混合序列，
特別當時，
引理1.3.7（李永明等，2014）設是ψ混合序列，且，那麼