數學模型：案例指導與分析（簡體書）

《數學模型：案例指導與分析》介紹了42個數學模型，它們來自天文學、凝聚態物理、高能物理、核反應堆、材料科學、洋流運動學、交通技術、電網技術、通信技術和經濟學等不同領域。書中詳細推導了這些模型，並且對部分模型給出了計算結果。這些模型與很多數學分支專業（微積分、幾何、優化、控制、泛函、變分、微分方程和隨機過程等）相關，也與物理學中的熱力學、配分函數和平均場等概念有關。為了方便描述，對部分模型採用路徑積分作為研究工具。書中每個模型都是互相獨立的，讀者可以選擇閱讀自己感興趣的相關模型。
《數學模型：案例指導與分析》適合從事數學建模的高年級本科生和研究生學習，也可供對相關模型感興趣的研究人員參考。

李大明：上海交通大學數學學院副教授，在計算材料/物理等領域有較深入地研究。主持多項國家自然科學基金和青年基金。本科畢業於浙江大學基礎數學專業，博士畢業於北京大學計算數學專業。長期從事材料領域的相關計算，近五年對粒子物理的量子色動力學模型也有相關的研究。在計算領域有豐富的教學經驗，多年從事數學建模的教學。

1、數學建模入門指導書。

2、豐富的建模真題，包括全國大學生數學建模競賽真題、美國大學生數學建模競賽、上海交通大學數學建模校內賽等。

3、附贈源代碼等學習資源，下載後讀者可自行編譯或修改。

數學模型無處不在。在物理和其他自然科學領域中很多理論都可看成數學模型，所以，數學模型和理論往往不加以區分。數學建模可分為機理性建模和數據建模。機理性建模依賴各種規律（如守恒律）建立模型。而當問題的運作機制不清楚時，只能先做大量實驗，再根據實驗數據進行建模從而發現規律。本書除了案例5（商品排名）是數據建模外，其他案例都屬於機理性建模／模型。這些模型來自簡單的機械設計（案例3）、運動機械控制（案例8～11、14、20）、天文學（案例6、7、42）、交通技術（案例4）、電網技術（案例16）、湍流（案例35）、洋流運動（案例17、18）、核反應堆（案例15、21）、通信技術（案例24）、自動化技術（案例12）、燃氣渦輪發電機（案例13）、CT成像（案例23）、經濟（案例1、32～34）、傳統材料（案例25、30、31、37）、現代材料（案例19、26～29）、材料加工工藝（案例22）、神經網絡（案例36）、凝聚態物理（案例38）和高能物理（案例39～41）。在高能物理領域的各種模型中，一個重要工具就是路徑積分（ Feynman path integral），也稱泛函積分，它在數學上可理解為Wiener積分。雖然路徑積分在數學上不是很嚴格，但它對系統的（波動性／隨機性／量子化）描述非常方便。該工具也應用於凝聚態物理、材料科學和經濟學等領域（參見案例26、29、32、33、35、36、39、41）。
很多問題往往需要通過數學模型解決。一般分為以下幾個解決步驟：
（1）用數學模型／理論描述問題，它包含一些未知參數。
（2）參數已知時求解模型。常用的求解方法包括：①第一性原理計算，比如Monte Carlo方法／分子動力學方法；②如果模型有小參數時，可用微擾展開求解；③在某些極限情況下，可用近似方法求解，比如平均場方法；④解析理論，它具有非常強的指導意義，比如高能物理模型，沒有互相作用的理論往往可以解析求解。
（3）模型的求解結果與實驗結果進行比較。如果它們不吻合，重新調整輸入參數，直到模型的解與實驗結果的誤差達到精度要求。不斷地調整參數是一個優化問題，也稱反問題或重整化。如此反復調整後的參數所對應的模型可做進一步預測，如果預測的量與實驗吻合，則稱這樣的模型是成功的。否則，需要在原模型中重新調整參數，比如，增加參數個數，甚至用更強大的模型替換，重復上述過程。
本書的電子資源包含案例1～4、6、8～12、14、15、17、30、38的程序代碼，讀者可通過掃描封面勒口處的二維碼下載獲取。
本書的部分模型來自上海交通大學數學建模校內賽、蘇北數學建模聯賽、全國大學生數學建模競賽（ CUMCM）和研究生數學建模競賽，以及美國大學生數學建模競賽（MCM）。感謝上海交通大學的學生提供案例：供應鏈的生產與訂購決策（袁繼權）、亞馬遜商品的排名和數據挖掘（沈逸卿）、倒立擺模型（徐享）、飛行速度規劃（高威）、機器人運動（王一帆）、燃氣渦輪發電機（連波）。作者也對其他案例中的引用文獻／參考書的作者表示感謝。本書的出版獲得了李亞純、皮玲和周潔的大力支持，作者對此表示感謝！
本書是為了滿足兩類讀者的需求而編寫的。第一類讀者是從事數學建模研究的本科生、研究生、大學教師等；第二類讀者是對這些模型感興趣的研究人員。由於作者的水平和時間有限，書中難免存在不足，歡迎廣大讀者提出寶貴的批評和建議。此外，本書在編寫過程中獲得了上海交通大學數學科學學院和國家自然科學基金（項目號11971309）的資助，謹致謝忱！

案例1 供應鏈的生產與訂購決策
案例2 小朋友站隊排序
案例3 創意平板折疊桌
案例4 高速公路收費亭設置
案例5 亞馬遜商品的排名和數據挖掘
案例6 太陽影子

案例7 星圖識別
7．1 坐標變換
7．2 天文術語

案例8 著陸器的軌道控制
案例9 系泊系統的設計
案例10 倒立擺模型
10．1 雙足步行
10．2 跑步運動

案例11 飛行速度規劃
案例12 機器人運動
案例13 燃氣渦輪發電機
案例14 工件磨削加工
案例15 蒸汽發生器倒U形管內液體流動
案例16 潮流計算
案例17 波浪水流對海洋平臺樁腿的作用

案例18 洋流運動
18．1 淺水方程
18．2 Stommel方程

案例19 光纖中光線的傳播
案例20 飛行器姿態
20．1 四元數
20．2 四元數和旋轉矩陣的關係
20．3 四元數微分方程
20．4 陀螺尋北

案例21 臨界反應堆
案例22 激光切割

案例23 光學層析成像
23．1 傳送模型
23．2 擴散模型
23．3 線性化

案例24 信號通帶調制
案例25 硬球模型
25．1 理想氣體
25．2 附加作用能
25．3 壁面附近的平衡態結構

案例26 大分子聚合物的平衡態結構
案例27 膠體吸水膨脹
案例28 水凝膠動力學
案例29 電解質溶液
29．1 變分
29．2 單組分離子體
29．3 復Langevin動力學
案例30 二組分合金的晶體生長
案例31 相場晶格模型

案例32 Black-Scholes模型
32．1 回報函數
32．2 亞式期權

案例33 實時遠期利率的線性場論模型
33．1 利率、零息債券
33．2 實時遠期利率的線性場論模型
33．3 鞅條件
33．4 定價核
……
案例34 平均場博弈模型
案例35 Burgers模型
案例36 神經網絡：平均場近似和混沌
案例37 扭曲柱狀絲狀物的平衡態
案例38 Hubbard模型
案例39 量子色動力學模型
案例40 標準模型
案例41 標量場模型
案例42 黑洞和宇宙模型
參考文獻