《笛卡爾幾何》的問世，被譽為數學史上的偉大轉折。笛卡爾對數學的最重要貢獻，正是他在《笛卡爾幾何》中所創立的解析幾何。他的這一成就，為微積分的創立奠定了基礎，而微積分，又是現代數學產生和發展的重要基石。 《笛卡爾幾何》被後世數學家和數學史家視作解析幾何的起點。該書共分三卷：第一卷講解標尺作圖；第二卷討論曲線的性質；第三卷借立體和“超立體”作圖以探討方程的根的性質。 笛卡爾力圖建立一種“普遍”的數學，即把任一數學問題轉化為代數問題，繼而把任一代數問題歸結為求解一個方程式，這便是“解析幾何”，或稱作“坐標幾何”。而平面直角坐標的建立，正是解析幾何得以創立的關鍵。

勒內·笛卡爾，法國哲學家、數學家、物理學家，被稱為“理性主義的先驅”和“近代科學的始祖”，因將幾何坐標系公式化而被譽為“解析幾何之父”。在數學方面，笛卡爾將邏輯、幾何、代數的方法相結合，通過討論作圖問題，勾勒出解析幾何的新方法，並向世人證明，幾何問題可以歸結為代數問題；在物理學方面，笛卡爾首次較為完整地闡述了慣性定律，並明確地提出了動量守恒定律，為後來牛頓、萊布尼茨等人的研究奠定了堅實的基礎。

譯者簡介：

陸美亦，女，1980年代生於湖北恩施，畢業於華僑大學數學與應用數學專業，先後就職於四川語言橋翻譯服務有限公司（外派翻譯）、深圳市碼易科技有限公司（留學生學術輔導老師）。

王瑞喬，1996年生於遼寧營口，畢業於北京大學英語筆譯專業。現就職於MangaToon，負責國漫出海的翻譯審校工作。

 1.把幾何與代數結合，笛卡爾創建了坐標系和解析幾何學，為幾何問題的解決提供了全新的方案。如果沒有笛卡爾對數學和物理學的貢獻，就不可能有牛頓和萊布尼茨後來的偉大成就。

2.笛卡爾對數學的最重要貢獻，正是他在《笛卡爾幾何》一書中所創立的解析幾何。他的這一成就，為微積分的創立奠定了基礎，而微積分，又是現代數學產生和發展的重要基石。

3.笛卡爾力圖建立一種“普遍”的數學，即把任一數學問題轉化為代數問題，繼而把任一代數問題歸結為求解一個方程式，這便是“解析幾何”，或稱作“坐標幾何”。

譯者序

當你翻開這本書的時候，你起碼是對數學感興趣的。如果你是因為之前讀過一些數學科普書，想再讀一些專業性更強的數學書，那我建議你繼續讀下去，因為這本書適用於所有接受過初中以上數學教育的人。如果你是因為初上大學而適應不了大學數學的思維方式，那我也建議你繼續讀下去，或許這本書可以帶給你一些啟發和思考，甚至是繼續深造的興趣。如果你是數學的深度愛好者，已經看過一些較為艱深的理論書籍，那麼我建議你可以大致翻閱一下，這本書或許給不了你理論知識上的幫助，但可以讓你對笛卡爾這位數學巨人有更深一層的了解。

說說這本書的內容。

1637年，法國數學家笛卡爾正式出版了《幾何學》一書。該書一經出版，便引起了巨大轟動。書中，笛卡爾開創性地將當時完全割裂開的代數學和幾何學整合起來，提出了用代數學方法解決幾何學問題，用代數方程表示所求問題對應的曲線，以及基於方程的次數來對這些曲線進行分類，這就是現代數學的一個重要分支——解析幾何。可以說，笛卡爾在本書中提到的解決問題的方法以及得出的一系列結論，對當代數學具有奠基性和指導性意義。而笛卡爾也因此被稱為“解析幾何之父”。

原書用法語所寫，笛卡爾獨特的寫作風格，使得原文有些生澀難懂。於是，1649年，荷蘭數學家弗朗西斯·範·舒滕（Franciscus van Schooten）出版了拉丁文版本的《幾何學》，而且他在書中加入了一些注解和個人評論。這一版本的問世，立即吸引了一大批讀者，也將該書推向數學的頂峰。而我在翻譯這本書時，也參考了舒滕的拉丁文譯本，具體可見書中注解部分。

數學書向來以短小精悍著稱，本書也不例外。在翻譯本書的過程中，我盡可能地還原了作者的本意。但無奈數學本身就是樸素的，我無法通過簡單的翻譯使其變得生動，所以讀起來難免有些許枯燥。所以我建議讀到這本書的朋友，能拿出一張紙和一支筆，跟著笛卡爾一起計算和作圖，一起思考，一起探索。書中的很多地方，笛卡爾都給出了細致的作圖過程，同時也省略了一些他個人認為不必要的證明過程。而省略的這部分，如果你不把這本書參透，是很難自行解決的，所以閱讀本書就是一個鉆研與探索的過程。

數學之旅，長路漫漫，那些偉大數學家們的著作，就如一盞盞明燈，指引我們堅定地前行。能讓更多熱愛數學的人，無障礙地讀到數學家們傾盡一生的著作，我倍感榮幸。這本書裡，沒有測試題，也沒有時間限制，希望讀者能靜下心來，用心感受數學真正的魅力。

此外，為了保證語言的簡練，我在翻譯過程中盡可能地對原文進行了符號化處理，比如原文中“垂直”和“平行”這類文字，我在翻譯時都用符號替代了。盡管本書譯完後，我再三比對檢查，但難免有所疏漏，如有紕漏，還望讀者及時批評指正。

目錄

譯者序/1

導讀/3

英譯版前言/13

第一章 僅使用直線和圓的作圖問題/1

算術運算是如何與幾何運算相聯繫的 ??????????????3

如何在幾何中進行乘法、除法和開平方運算???????????3

如何在幾何中使用算術符號??????????????????? 4

如何利用方程來解各種問題??????????????????? 7

平面問題及其解????????????????????????? 9

帕普斯的例子???????????????????????????13

解帕普斯問題???????????????????????????17

如何選擇適當的項以求得問題的方程?????????????? 19

當給定的直線不超過五條時，如何確定相應的問題是平面問題? 23

第二章 曲線的性質/25

哪些曲線可被納入幾何學???????????????????? 27

區分所有曲線類別並掌握它們與直在線點的關係的方法???? 32

對上篇提到的帕普斯問題的解釋???? ???????????? 37

僅有三條或四條線時這一問題的解???? ??????????? 38

對該解的論證???? ?????????????? ??????? ?46

平面與立體軌跡，及其求解方法???? ??????????? ?49

關於五條線的問題所需的最基本、最簡單的曲線??????? ? 51

通過找到曲在線的若干點來描繪的幾何曲線????????? ? 55

可利用細繩描繪的曲線????????????? ?????????56

為了解曲線的性質，必須知道其上各點與直在線各點的關係?? 57

求一直線與給定曲線相交並形成直角的一般方法???????? 58

利用蚌線作出該問題的圖形???????? ???????? ?? 69

對用於光學的四類卵形線的說明???????? ???????? 69

卵形線具有的反射和折射性質???????? ????????? 74

對這些性質的論證???????? ??????????????? 76

如何按要求製作一透鏡，使從某一給定點發出的

所有光線經過透鏡的一個表面後會聚於一給定點??????? 80

如何製作一透鏡，既有上述功能，又使一表面的凸度

與另一表面的凸度或凹度成給定的比??????? ????? 82

如何將平面曲線的結論推廣至三維空間或曲面上的

曲線??????? ???????????? ??????? ? 84

第三章 立體與超立體問題的作圖/85

能用於所有問題的作圖的曲線??????? ???????? 87

求多個比例中項的例證?????????????? ????? 87

方程的性質????????????????????? ??? 89

方程根的個數????????????????????? ??? 90

什麼是假根????????????????????? ???? 90

已知一個根，如何將方程的次數降低????????? ????91

如何確定任一給定量是否是根????????????? ????91

一個方程有多少真根??????????????????? ???91

如何將假根變成真根，真根變成假根?????????? ??? 93

如何增大或縮小方程的根???????????????? ??? 94

如何通過增大真根來縮小假根；或者相反???????? ?? 95

如何消去方程中的第二項?????? ????????????? 97

如何使假根變成真根而不使真根變成假根??????????? 98

如何補足方程中的缺項????????????????????? 99

如何乘或除一個方程的根????????????????????101

如何消除方程中的分數?????????????????????101

如何使方程任一項中的已知量等於任意給定量???????? 103

真根和假根都可能是實的或虛的??????????????? 103

平面問題的三次方程的化簡????????????????? 104

用含有根的二項式除方程的方法??????????????? 105

方程為三次的立體問題???????????????????? 107

平面問題的四次方程的化簡，立體問題???????????? 108

利用化簡方法的例證????????????????????? 113

化簡四次以上方程的一般法則???????????????? 115

所有化簡為三次或四次方程的立體問題的一般作圖

法則??????????????????????????????? 115

比例中項的求法????????????????????????? 119

角的三等分??????????????????????????? 121

所有立體問題皆可使用上述兩種作圖方式??????????? 123

表示三次方程的所有根的方法，該方法可推廣到所有

四次方程的情形????????????????????????? 127

為何立體問題的作圖必須使用圓錐截線，解更複雜的

問題需要更複雜的曲線?????????????????????? 128

不高於六次的方程所有問題的作圖的一般法則????????? 130

附錄一：《方法論》/139

《方法論》的起源與發展???????????????????? 141

內容概要??????????????????????????? 147

第一章??????????????????????????? 159

第二章??????????????????????????? 167

第三章??????????????????????????? 176

第四章??????????????????????????? 183

第五章??????????????????????????? 191

第六章??????????????????????????? 204

附錄二：《探求真理的指導原則》/217

原則一??????????????????????????? 219

原則二??????????????????????????? 223

原則三??????????????????????????? 226

原則四??????????????????????????? 229

原則五??????????????????????????? 234

原則六??????????????????????????? 235

原則七??????????????????????????? 239

原則八??????????????????????????? 243

原則九??????????????????????????? 249

原則十??????????????????????????? 251

原則十一?????????????????????????? 254

原則十二?????????????????????????? 257

原則十三?????????????????????????? 270

原則十四?????????????????????????? 276

原則十五?????????????????????????? 287

原則十六?????????????????????????? 288

原則十七?????????????????????????? 292

原則十八?????????????????????????? 294

原則十九?????????????????????????? 298

原則二十?????????????????????????? 299

原則二十一?????????????????????????? 300

第一章 僅使用直線和圓的作圖問題

算術運算是如何與幾何運算相聯繫的——如何在幾何中進行乘法、除法和開平方運算

——如何在幾何中使用算術符號——如何利用方程來解各種問題——平面問題及其解——帕普斯的例子——解帕普斯問題——如何選擇適當的項以求得問題的方程——當給定的直線不超過五條時，如何確定相應的問題是平面問題

1.算術運算是如何與幾何運算相聯繫的

所有幾何問題都可以很容易地化歸為用一些術語來表示，即只要已知線段的長度，便可畫出相應的圖形。正如算術中僅包含四或五種運算（即加法、減法、乘法、除法和開方，後者有時會歸入除法運算中），因此在幾何中，為得到所求線段，只需對其他一些線段進行加減運算。又或者，為使線段盡可能地與數字緊密聯繫，任取某一線段為單位線段，在給定另外兩條線段之後，則可求出第四條線段，使之與其中一條給定線段之比，等於另一條給定線段與單位線段之比（相當於乘法運算）；又或者，可求出第四條線段，使之與其中一條給定線段之比，等於單位線段與另一條給定線段之比（相當於除法運算）。或者，最後可求出單位線段與其他線段之間的一個、兩個或多個等比中項（也就是求給定線段的平方根、立方根等）。為了使內容更加清楚明了，本書將這些算術術語引入幾何學中。

2.如何在幾何中進行乘法、除法和開平方運算

例如，令AB為單位線段，求BD乘BC。只需連結點A與點C，作DE平行於CA，則BE即為所求。

若求BD除BE，只需連結點E和點D，作AC平行於DE，則BC即為所求。

若要求GH的平方根，只需過G延長HG至點F，使FG為單位線段，取FH的二等分點K，以K為圓心作半圓FIH，並以G為垂足，引垂線GI交半圓FIH於I，則GI即為所求。為方便起見，此處僅探討平方根問題，稍後再探討立方根或其他方根的問題。