肥尾效應（簡體書）

我們所在的世界是如此不確定和不透明，信息和我們的理解都極不完整，卻很少有人研究在這種不確定性的基礎上我們應該做什麼。塔勒布的不確定性系列，包括《隨機漫步的傻瓜》《黑天鵝》《反脆弱》《非對稱風險》以及本書開啟的不確定性量化研究系列，都是主要關注我們該如何在一個不確定性結構過於複雜的現實世界中生活。
本書從數學和統計學出發，講述產生極端事件的統計分布類型，以及在這些分布下如何進行統計推斷並做出決策。作者認為，社會科學和金融學研究中現有的大多數“標準”統計理論均來自薄尾分布，然而用薄尾思維衡量肥尾事件有可能導致嚴重問題。例如，某些“專家”認為，從死亡數字看，我們更應該擔心死於吸煙或糖尿病，而非埃博拉病毒。在新冠肺炎疫情暴發初期，很多不懂統計學的流行病學家都犯過類似的錯誤，而事實證明，我們對具有倍增效應的高風險疾病擔心得太少。
在金融市場，一個人所獲得的不是概率，而是直接的財富。分布的尾部越肥，就越需要關心收益空間。“收益遠勝於概率。”如果犯錯的成本夠低，決策者可以經常犯錯，只要收益是凸性的（即預測準確時會獲得很大的收益）。反過來，決策者也可以在預測準確率高達99.99%的情況下破產。事實上，2008年金融危機期間，破產的基金恰恰是那些之前業績無可挑剔的基金。
總之，不理解肥尾效應會導致謬誤。糟糕的是，這種謬誤在當今世界，尤其是金融領域非常普遍。面對風云詭譎的金融市場與不確定性結構異常複雜的現實世界，作者在本書中為參與者點出了破局之道：小概率極端事件不可預測，理解肥尾效應、管理尾部風險是必然選擇。

納西姆·尼古拉斯·塔勒布
暢銷書《隨機漫步的傻瓜》《黑天鵝》《反脆弱》《非對稱風險》作者。
塔勒布是我們這個時代偉大的思想者之一，是當今令人敬畏的風險管理理論學者，被譽為擁有“罕見的勇氣與博學”。他傾其一生研究概率和風險問題，撰寫了50篇學術論文來探討“不確定性”，內容涉及國際關係、風險管理、統計物理學。他大部分時間都在閑逛，在世界各地的咖啡館中冥想。在成為作家和學者之前，塔勒布做過20年交易員，目前是紐約大學理工學院風險工程學特聘教授。
塔勒布的“不確定性”系列作品已被譯為41國語言在全球發行。

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完美決策需要完備的信息，然而不確定環境下的決策是幾乎所有決策者面臨的難題，金融中的問題尤其如此。如何對不確定環境進行量化描述和分析，學術界已經有了很多優美的成果，真正理解這些z新進展的深刻意義以及怎樣和經濟金融實踐問題相結合，絕非一個輕而易舉的任務。《肥尾效應》是一個優秀範例，作者用最少的數學闡述實踐中肥尾現象存在時決策優化問題的本質，展示了其深邃的洞察力。

——吳衛星對外經濟貿易大學教授、副校長

近年來，金融市場極端行情發生的機率日益增加，這越來越使我們相信，肥尾效應是金融世界的本質屬性之一。面對當前全球經濟格局的百年變局和世界金融市場的持續動盪，我們常常感到迷惘。在這個時候，閱讀塔勒布的《肥尾效應》一書無疑會讓你豁然開朗，認清紛繁的金融現象背後的本質與真相。

——施東輝復旦大學中國金融法治研究院副院長、泛海國際金融學院教授

金融市場時間序列往往展現出典型的肥尾效應，其存在對金融風險建模和管理具有重要影響。本書對肥尾效應進行了深入淺出的介紹，將高深的理論藏於漫畫和故事中，令人不忍釋卷，是金融投資人士不可錯過的一本好書。

——陳海強廈門大學王亞南經濟研究院教授、副院長

塔勒布對金融體系一直有著深刻的觀察，他提出的一些概念如“黑天鵝”已經成為日常用語。《肥尾效應》則是他最學術的一本書，該書通過系統的量化分析證實了他的黑天鵝思想，對系統性風險和宏觀金融分析研究者來說不可不讀。

——王永欽復旦大學經濟學院教授

這本書闡述了投資理論中肥尾的概念及其在金融投資中的應用，在不同章節對艱澀的數學原理進行了挖掘和深入淺出的講解，為金融從業人員提供了一條便捷的道路來理解肥尾效應如何從理論轉化到實踐的運用，對於有一定數學基礎的金融專業學生和從業人員具有良好的啟迪作用。

——金德環上海財經大學金融學教授、博士生導師

塔勒布通過本書把我們帶入一個新的世界，一個以不確定性而不是風險為核心問題的世界。經濟學、投資學近十年來才有部分學者（包括我本人）展開對政策不確定性、信息不確定性的研究。本書對經濟、金融、投資管理、公共管理等多個學科的研究和實踐會產生積極的促進作用。

——姜國華北京大學光華管理學院會計學教授

《黑天鵝》作者塔勒布是我們這個時代偉大的思想者之一，他的作品可以為所有身處不確定世界的組織和個人提供決策指南。對具備一定數學和統計學知識的讀者來說，他的新書《肥尾效應》值得一讀。

——鄭毓煌清華大學營銷學博士生導師，世界營銷名人堂中國區評委

與其說塔勒布是一位對自己的交易策略有高度信仰的投資家，我更願意說他是一名數學家型的交易員。他基於自己非常強大的數學能力和對小概率事件研究異於常人的堅持，在美國9·11事件之前，通過押注期權一戰成名。有人把他的能力和成就歸結於他在黎巴嫩出生成長的個人背景，對此我深表認同。由於從小經歷戰亂，他對小概率事件的敏感程度遠遠大於我們這些在和平世界長大的人。當前，全球處於百年未遇之大變局，新冠肺炎疫情等特殊事件讓世界多國的政治經濟形勢出現了巨大變化。在我們身處的這個時代，肥尾效應無處不在。此刻，研讀這本書具有很強的現實意義。當然，作為一名理科生，我也提醒讀者，如果你具備很好的數學和統計學知識，你會對這本書理解得更深刻。

——李華富途控股創始人、董事長、首席執行官及技術委員會主席

在投資過程中，我們經常會感嘆於資產價格漲跌的超預期。基於正態分佈假設的風險模型雖然有很好的解析結果，但往往無法有效控制投資的過程風險，這正是源於現實的肥尾效應與模型假設的不相符，而對這種投資過程風險的良好管理，又是成功投資的關鍵所在。塔勒布的《肥尾效應》深入淺出地闡述了肥尾效應，讓你更好地理解這個世界的不確定性，這對每個人來說，無疑都是很有益處的。

——袁建軍匯添富基金管理公司副總經理

什麼是肥尾效應？事物影響分佈相當平均，表現為正態分佈，圖形尾部很薄；相當不平均，則尾部很厚；極端不平均，則尾部很肥。簡單地說，肥尾效應就是極少數決定絕大多數，比如：一句話頂一萬句；一個人對你一生的影響頂一萬個人；四天對你一生的影響勝過人生四萬天。芒格說，10隻股票對巴菲特一生投資收益的貢獻超過他所有股票的總和。回顧美國股市過去112年，如果你錯過了漲幅排名z高的10個交易日，只是10個交易日，那麼你在這112年接近5萬個交易日的總收益率就會減少2/3。為什麼？我們要大膽地假設，還要小心地求證。真理只掌握在少數人手裡，金融投資的真諦只蘊藏在少數圖書中。塔勒布的《黑天鵝》和《反脆弱》闡述了“極少數極端事件的影響超過絕大多數平常事件”這個金融投資的真諦及其應對之道，他的《肥尾效應》又用統計模型和數據做了嚴密的量化分析。好運就像閃電打下來時你必須在場，讀到這三本書就是所有金融投資專業人士的好運，這三本能頂一萬本。

——劉建位《巴菲特選股十招》作者，霍華德·馬克斯作品《週期》譯者

尾部風險本來就是生活的一部分。每次暴風過後，人們往往用“黑天鵝”的標籤將損失合理化，較少探究事件背後的統計性質。肥尾效應是塔勒布的理論基石。《黑天鵝》為我們勾勒出極端風險的輪廓，《反脆弱》提出了哲學上的應對之道，新書《肥尾效應》則是他個人思想的數學提煉，與前作相比更直擊本質。這本書大大提高了塔勒布哲學體系的完備性。

——葉展艾方資產CEO

人類身高平均在1.7米上下。圍繞平均身高，越是極端高或極端矮，人數就越少。這也是自然界大多數事物的規律。如果金融市場也符合這樣的規律，那麼我們應該百年才看到一次腰斬級別下跌。但實際上，這樣的下跌僅僅在最近幾十年就出現過數次：80年代末日股泡沫、2000年互聯網泡沫、2008年金融危機、2015年中小盤股熊市……看似百年難得一遇的小概率事件，卻往往以超乎尋常的頻率出現，這就是肥尾效應。極端風險事件遠比你想像的更容易出現，而這背後，隱含著獲利的機會。

——銀行螺絲釘《指數基金投資指南》《定投十年財務自由》作者，“中國指數基金50人”之一，百億投顧組合主理人

2016年，我在紐約大學的選修課上第一次見到塔勒布老師，和文質彬彬的學界教授不同，其風格自成一派，狂傲的性格和對傳統金融學的批判讓人印象深刻。用他自己的話說，他是“交易員”而非“作家”。他確實具備華爾街交易員的諸多性格特質：思維敏捷，言語犀利，諷刺辛辣。敢於表達的背後是對規律的深入洞察。《肥尾效應》通過大量的數學語言，以更清晰的方式梳理了肥尾分佈的框架。對於有一定數學基礎的讀者，這本書無需透過哲學隱喻、直達本質的表述令人酣暢淋漓。

——戴國晨艾方資產量化研究員，《肥尾效應》譯者

序言
術語、符號和定義
一般符號和常用符號
一般&特殊概念目錄
冪率類分布P
大數定律（弱）
中心極限定理（CLT）
中數定律和漸進論
Kappa統計量
橢圓分布
統計獨立性
多變量（列維）穩定分布
多變量穩定分布
卡拉瑪塔點
亞指數
近似替代：學生T分布
引用環
學術尋租
偽經驗主義或Pinker問題
前漸進性
隨機化
在險價值VAR，條件在險價值CVAR
利益攸關
MS圖
最大吸引域MDA
心理學文獻中的積分替換
概率的不可分拆性（另一個常見誤區）
維特根斯坦的尺子
黑天鵝
經驗分布會超出經驗
隱藏的尾部
影子矩
尾部依賴
元概率
動態對衝
I 肥尾及其效應介紹
非數理視角概述 - 劍橋大學達爾文學院講義
3.1 薄尾和厚尾的差異
3.2 直觀理解：搖尾巴的狗
3.3 一種（更合理的）厚尾分類方式及其效應
3.4 肥尾分布的主要效應及它們與本書的關聯
3.4.1 預測
3.4.2 大數定律
3.5 認識論與不對稱推理
3.6 幼稚的經驗主義：不應該把埃博拉和從樓梯上摔落進行對比
3.6.1 風險是如何倍增的
3.7 冪律入門（幾乎沒有數學）
3.8 隱藏性質在哪裡？
3.9 貝葉斯圖譜
3.10 x和f(x)：混淆我們理解的x和相應風險暴露
3.11 破產和路徑依賴
3.12 如何應對
單變量肥尾，有限矩（第一層）
4.1 構造輕微肥尾的簡單方法
4.1.1 固定方差的增厚尾部方法
4.1.2 通過有偏方差增厚尾部
4.2 隨機波動率是否能產生冪律？
4.3 分布的軀幹，肩部和尾部
4.3.1 交叉和隧穿效應
4.4 肥尾，平均差和上升範數
4.4.1 常見誤區
4.4.2指標分析
4.4.3 肥尾效應對STD vs MD“有效性”的影響
4.4.4 矩和冪均不等式
4.4.5 評述：為什麼我們應該立刻棄用標準差？
4.5 可視化p上升產生的等範數邊界效應
亞指數和冪率（第二層）
5.0.1 重新排序
5.0.2 什麼是邊界概率分布?
5.0.3 創造一個分布
5.1 尺度和冪率（第三層）
5.1.1有尺度和無尺度，對肥尾更深層的理解
5.1.2 灰天鵝
5.2 冪率的性質
5.2.1 變量求和
5.2.2 變換
5.3 鐘形 vs 非鐘形冪率
5.4 示例：冪率分布尾部指數插值
5.5 超級肥尾：對數帕累托分布
5.6 案例研究：偽隨機波動率
高維空間厚尾
6.1 高維空間中的厚尾，有限矩
6.2 聯合肥尾分布及其橢圓特性
6.3 多元學生T分布
6.3.1 肥尾條件下的橢圓性和獨立性
6.4 肥尾和互信息
6.5肥尾和隨機矩陣，一個小插曲
6.6 相關性和未定義方差
6.7 線性回歸模型的肥尾誤差項
A 特殊厚尾案例
A.1多重模型與厚尾，戰爭-和平模型
A.2 轉移概率：有破碎可能的事物終將破碎
II中數定律
極限分布綜述
7.1 溫習：弱大數定律和強大數定律
7.2 中心極限過程
7.2.1 穩定分布
7.2.2 穩定分布的大數定律
7.3 CLT的收斂速度：直觀探索
7.3.1 迅速收斂：均勻分布
7.3.2 中速收斂：指數分布
7.3.3 慢速收斂：帕累托分布
7.3.4 半立方帕累托分布及其收斂分布族
7.4 累積量和收斂性
7.5 數理基礎：傳統版本的中心極限定理
7.6 高階矩的大數定律
7.6.1 高階矩
7.7 穩定分布的平均差
第八章 需要多少數據？肥尾的定量衡量方法
8.1 定義與介紹
8.2 統計量
8.3 收斂性基準，穩定分布類
8.3.1 穩定分布的等價表述
8.3.2 樣本充足率的實際置信度
8.4數量化效應
8.4.1 非對稱分布的一些奇異特性
8.4.2 學生T分布向高斯分布的收斂速率
8.4.3 對數正態分布既非薄尾，又非肥尾
8.4.4 κ可以為負嗎？
8.5 效應總結
8.5.1投資組合的偽穩定性
8.5.2 其他領域的統計推斷
8.5.3 最終評述
8.6 附錄，推導和證明
8.6.1 立方學生T分布（高斯族）
8.6.2 對數正態分布
8.6.3 指數分布
8.6.4 負Kappa和負峰度
第九章 極值和隱藏尾部
9.1 極值理論簡介
9.1.1 各類冪率尾如何趨向Fréchet分布
9.1.2 高斯分布的情形
9.1.3 皮克蘭·巴爾克馬·德哈恩定理
9.2 冪率分布看不見的尾
9.2.1 和正態分布對比
9.3 附錄：經驗分布的經驗有限
B 增速和結果並非同類分布
B.1 謎題
B.2 瘟疫的分布極度肥尾
C 大偏差理論簡介
D 帕累托性質擬合
D.1 樣本尾部指數的分布
第十章 “事實就是這樣” SP500分析
10.1 帕累托性和矩
10.2 收斂性測試
10.2.1 測試1：累積樣本峰度
10.2.2 最大回撤
10.2.3 經驗Kappa
10.2.4 測試2：超越某值的條件期望
10.2.5 測試3 - 四階矩的不穩定性
10.2.6 測試4：MS圖
10.2.7 歷史記錄和極值
10.2.8 左右尾不對稱
10.3 總結：事實就是這樣
E 計量經濟學的問題
E.1 標準帶參風險統計量的表現
E.2 標準非參風險統計量的表現
F 有關機器學習
F.0.1 擬合有角函數
III 預報、預測和不確定性
第十一章 肥尾條件下的概率校準
11.1 連續 vs 離散分布：定義和評述
11.1.1 與描述的差異
11.1.2 肥尾條件下不存在“崩潰”，“災難”或“成功”
11.2 心理學中對尾部概率的偽高估
11.2.1 薄尾情況
11.2.2 肥尾情況
11.2.3 誤區
11.2.4 分布不確定性
11.3 校準和校準失誤
11.4 表現統計量
11.4.1分布推導
11.5 賠付函數/機器學習
11.6 結論
11.7 附錄：證明和推導
11.7.1 二元計數分布p^((p) ) (n)
11.7.2 布裡爾分數的分布
第十二章 鞅過程大選預測：套利法
12.0.1 主要結論
12.0.2 框架
12.0.3 有關風險中性的討論
12.1 巴舍利耶風格的估值
12.2 有界雙重鞅過程
12.3 與德費內蒂概率評估的關係
12.4 總結和評述
IV 肥尾條件下的不均估計
第十三章 無限方差下的基尼系數估計
13.1 介紹
13.2 無限方差下非參估計的漸進性質
13.2.1 α-穩定隨機變量回顧
13.2.2 基尼系數的α-穩定漸進極限
13.3 極大似然估計
13.4 帕累托數據
13.5 小樣本修正
13.6總結
第十四章 分位數貢獻的估計誤差和超可加性
14.1 介紹
14.2帕累托尾分布
14.2.1 偏差和收斂性
14.3 累加不等性質的不等性
14.4 尾部指數的混合分布
14.5 變量和越大，κ ̂_q越大
14.6 結論以及如何合理估計集中度
14.6.1 穩健方法和完整數據的使用
14.6.2 我們應該如何測量集中度？
V 影子矩相關論文
第十五章 無限均值分布的影子矩
15.1 介紹
15.2 雙重分布
15.3 回到y：影子均值（或總體均值）
15.4 和其他方法的比較
15.5 應用
第十六章 暴力事件的尾部風險
16.1 介紹
16.2 統計討論匯總
16.2.1 結果
16.2.2 總結
16.3 研究方法討論
16.3.1 重整化方法
16.3.2 條件期望（嚴謹性稍弱）
16.3.3 數據可靠性和對尾部估計的影響
16.3.4 “事件”的定義
16.3.5 事件遺漏
16.3.6 生存偏差
16.4 數據分析
16.4.1 閾值之上的峰值
16.4.2 事件間隔和自相關性
16.4.3 尾部分析
16.4.4 有關極大值的另類視角
16.4.5 全數據集分析
16.5 額外的魯棒性和可靠性測試
16.5.1 GPD自展法
16.5.2 估計邊界的擾動
16.6 結論：真實的世界是否比看起來更不安全？
16.7 致謝
第G章 第三次世界大戰發生的概率有多高？
VI 元概率相關論文
第十七章 遞歸的認知不確定性如何導致肥尾
17.1 方法和推導
17.1.1不確定性的層級累加
17.1.2 標準高斯分布的高階積分
17.1.3 小概率效應
17.2 狀態2：a(n)為衰減參數
17.2.1 狀態2-a “失血”高階誤差
17.2.2 狀態2-b 第二種方法，無倍增誤差率
17.3 極限分布
第十八章 不對稱冪律的隨機尾部指數
18.1 背景
18.2 Alpha隨機的單尾分布
18.2.1 一般情況
18.2.2 隨機Alpha不等式
18.2.3 P分布類近似
18.3 冪律分布求和
18.4 不對稱穩定分布
18.5 α為對數正態分布的帕累托分布
18.6 α為Gamma分布的帕累托分布
18.7 有界冪律，西裡洛和塔勒布（2016）
18.8 其他評論
18.9致謝
第十九章 p值的元分布和p值操控
19.1 證明和推導
19.2檢驗的逆功效
19.3 應用和結論
第H章 行為經濟學的謬誤
H.1 案例研究：短視損失厭惡的概念謬誤
VII期權交易和肥尾條件下的定價
第二十章 金融理論在期權定價上的缺陷
20.1 巴舍利爾而非布萊克-斯科爾斯
20.1.1 現實和理想的距離
20.1.2 實際動態復制過程
20.1.3 失效：對衝誤差問題
第二十一章 期權定價的唯一測度（無動態對衝和完備市場）
21.1 背景
21.2 證明
21.2.1 案例1：使用遠期作為風險中性測度
21.2.2 推導
21.3 當遠期不滿足風險中性
21.4 評述
第二十二章 期權交易員從來不用BSM公式
22.1 打破鏈條
22.2 介紹
22.2.1 布萊克-斯科爾斯只是理論
22.3 誤區1：交易員在BSM之前無法對期權定價
22.4 方法和推導
22.4.1期權公式和Delta對衝
22.5 誤區2：今天的交易員使用布萊克-斯科爾斯定價
22.5.1我們什麼時候定價？
22.6動態對衝的數學不可能性
22.6.1 高斯分布的迷之穩健性
22.6.2訂單流和期權
22.6.3巴舍利爾-索普方程
第二十三章 冪律條件下的期權定價：穩健的啟發式方法
23.1 介紹
23.2 卡拉瑪塔點之上的看漲期權定價
23.2.1 第一種方法，S屬於正規變化類
23.2.2 第二種方法，S的幾何收益率屬於正規變化類
23.3 看跌期權定價
23.4 套利邊界
23.5 評述
第二十四章 量化金融領域的四個錯誤
24.1 混淆二階矩和四階矩
24.2分析期權收益時忽略簡森不等式
24.3保險和被保資產之間的不可分割性
24.4 金融領域計價單位的必要性
24.5附錄（押注分布尾部）
第二十五章 尾部風險約束和最大熵
25.1投資組合的核心約束是左尾風險
25.1.1 杰恩斯眼中的杠鈴策略
25.2 重新審視均值-方差組合
25.2.1 分析約束條件
25.3 再論高斯分布
25.3.1 兩個正態分布混合
25.4 最大熵
25.4.1 案例A：全局均值約束
25.4.2 案例B：均值絕對值約束
25.4.3 案例C：右尾服從冪律
25.4.4 擴展到多階段模型
25.5 總結評述
25.6 附錄/證明
參考書目

不確定性（Incerto）項目背後的主要思想在於，雖然我們所在的世界是如此不確定和不透明，信息和我們的理解也極不完整，但是沒有人研究在這種不確定性的基礎上我們應該做什麼。
本書主要講述產生極端事件的統計分布類型，以及在這類分布下如何進行統計推斷和做出決策。現有的大多數“標準”統計理論均來自薄尾分布，它們在應用於肥尾的過程中需要經過漸進性調整，這往往不是小改動，原理論可能會被完全舍棄。
根據作者的經驗，一些學界教授或業界人士會說，“我們當然知道這一點”，或是更粗暴地給出結論，“肥尾沒有什麼新東西”，同時在分析中使用“方差”、“GARCH”（自回歸條件異方差均值模型）、“峰度”、“夏普比率”或“在險價值”這樣的指標，或者開展一些所謂“統計意義顯著”實則完全不顯著的研究。
此外，本書來自作者的不確定性量化研究系列，主要關注我們該如何在一個不確定性結構過於複雜的現實世界中生活。不確定性研究嘗試在五個不同領域統一尾部概率和極端事件，包括數學、哲學、社會科學、契約論、決策論和現實世界。至於為什麼是契約論，答案是：期權理論是基於或有契約或概率契約的概念，旨在調整和轉移分布尾部的風險敞口；從某種意義上說，期權理論也屬於數學契約論。決策論不是為了了解世界，而是為了擺脫困境並求得生存。這也是不確定性量化研究系列下一卷的主題，目前暫定書名為《凸性、風險和脆弱性》。

引用環
學術界的一種高度循環的引用機制，這種機制認為，杰出論文的標準在於他人的引用，從而忽略來自外部的過濾條件。這樣會導致學術研究方向過於集中，很容易卡在某個“角落”，聚焦於沒有實際意義的領域。
該機制與缺乏成熟監督，且缺乏“風險共擔”的學術體系運行模式有關。典型的此類領域有現代金融理論、計量經濟學（特別是宏觀變量計量學）、GARCH 過程、心理計量學、隨機控制金融學、行為經濟和金融學、不確定性決策學、宏觀經濟學等。這裡的很多學術成果根本無法應用於現實，唯一的作用是貢獻額外的論文，並通過引用機制產生更多論文，如此循環下去。

學術尋租
科研人員在研究方向的選擇上存在利益衝突，學術部門（和研究者個人）的目標變成了盡可能獲得引用和榮譽，從而犧牲了研究方向的客觀性。比如，很多人卡在某個科研“角落”中，僅僅因為這對他們的職業生涯和學術組織更有利。

偽經驗主義或Pinker 問題
很多人都在討論統計學意義並不顯著的“證據”，或者使用對隨機變量完全不適用且毫無信息量的統計指標，比如推斷肥尾變量的均值或者相關性。這一點源於：
1.統計學教學上對高斯分布和其他薄尾變量的強調。
2.死記硬背統計術語的時候缺乏對統計知識的理解。
3.對於維度性質毫無概念。
上述幾條在社會科學研究者中很常見。
偽經驗主義的例子有：比較恐怖襲擊或埃博拉病毒等流行病的致死率（肥尾）和從梯子上跌落的死亡率（薄尾）。這種看似實證的“實證主義”是現代科學研究中的一種頑疾，在多維和肥尾條件下完全失效。
實際上，我們並不需要區分肥尾和高斯隨機變量就可以看出這種行為的不嚴謹性：沒有達到簡單的統計顯著性標準——這些操作者也不理解顯著性這個概念。

前漸進性
數學上的統計研究一般聚焦於當n =1 （ n 為求和的數目）和n = ∞ 的情況。而真實世界正是處於中間的那部分——這也是本書的核心。部分分布（方差有限）對於n = ∞ 的漸進極限是高斯分布，但是對於n 很大又不為無窮的情況並不成立。

風險共擔
風險共擔是一種過濾機制，強迫做菜的廚師品嘗自己做的食物，讓他們暴露在自身問題的風險之中，這樣一來就可以將危險分子驅逐出去。能夠“風險共擔”的領域包括：管道維修、牙齒診療、外科診療、工程建造，這些領域的從業者以有形的工作成果被外界評估，在職業生涯斷送或破產的風險下從事職業活動。無法“風險共擔”的領域包括：互相引用的學術界。學術領域的從業者只依賴同儕的相互評估而非從真實世界中獲得反饋。

黑天鵝
黑天鵝來自認知的不完備性，其影響在肥尾區域尤為顯著。總的來說，有些事件在你的預期和建模能力之外，而且其效應極為顯著。好的方法不是去預測它們，而是對它們產生的影響呈現出凸性（至少不是凹性）：我們能了解自身對某類事件的脆弱性，甚至可以對其量化衡量（考量二階影響和結果的非對稱性），但是想對它們做可信的統計處理基本上是癡心妄想。
這一點向來很難跟建模人員解釋清楚，我們需要和從未見過（甚至從未想過）的事物共處，但事實就是這樣。1注意認知的維度。黑天鵝和觀察者相關：火雞的黑天鵝對屠夫來說是白天鵝。9·11 恐怖襲擊事件對受害者來說是黑天鵝，但對恐怖分子不是。這種觀察者依賴是一種中心化的性質。一個所謂的“客觀”的黑天鵝概率模型不僅不存在，而且是對其自身意義的消解，因為它自身就在散播信息的不完備性。
灰天鵝：統計性質上穩定、低頻且有重大影響的大偏差被稱為“灰天鵝”。當然，“灰”的程度取決於觀察者：冪律分布使用者的灰天鵝對困在薄尾框架體系下的天真的統計學家來說就是黑天鵝。
重申一下：黑天鵝不是肥尾，只是肥尾會讓它們變得更糟糕。肥尾和黑天鵝的聯繫在於，肥尾區域的大偏差會放大黑天鵝的影響。

預測
在《隨機漫步的傻瓜》一書中，某人被問，到月底市場更有可能上漲還是下跌？他表示上漲的可能性更大，但後來發現，他在押注市場下跌。對不懂概率的人來說，這似乎很矛盾，但是對交易員來說再正常不過了，尤其是在非標準分布的條件下（確實，市場更有可能上漲，但如果下跌會跌得更多）。這個例子表明，人們常常混淆預測和風險敞口（預測的結果是二元的，而風險敞口的結果更多元，取決於整個分布的狀態）。在這個例子中，一個非常基本的錯誤是，將發生概率理解為單個數字而非分布結果，而在進一步研究之後，我們會發現很多並不明顯或不為人知的類似的悖論式問題。簡單來說，作者認為，將“概率”作為最終標的，甚至作為決策的“基礎”來討論並不嚴謹。
在現實世界中，一個人所獲得的不是概率，而是直接的財富（或生存權利等）。這時，分布的尾部越肥，就越需要關心收益空間——俗話說得好：“收益遠勝於概率。”如果犯錯的成本夠低，決策者可以經常犯錯，只要收益是凸性的（也即當他正確的時候會獲得很大的收益）。反過來說，決策者可以在預測的準確率達到99.99% 的情況下破產（實際上，破產的可能性說不定更大：2008—2009 年金融危機期間，破產的基金恰恰是那些之前業績無可挑剔的基金1）。正如《動態對衝》[225] 一書所討論的那樣（對非量化金融領域的讀者來說，可能專業性略強），這是相同行權價的香草期權和二元期權之間的區別。違背直覺的是，肥尾效應降低了二元期權的價值，同時提高了香草期權的價值。正如作者的格言所說：“我從未見過有錢的預言家。”加肥尾部會導致高於1個標準差的事件的概率下降，但對應的後果會加重（就對矩的貢獻而言，比如對平均值或其他指標的影響），我們會在章節4.3.1 中具體展開。圖3.12 展示了這個問題的嚴重程度。
概率預測誤差（“校準”）與真實世界中的損益變化（或真實收益）屬於完全不同的概率類別。
“校準”是一種衡量預測準確程度的方法，聚焦於概率空間——介於0 和1 之間。無論所預測的隨機變量是否為厚尾分布，校準對應的所有標準測度都是薄尾的（而且因為有界，必然是超薄尾的）。另外，現實世界中的收益可能是厚尾的，因此這種“校準”的分布將遵循隨機變量本身的特性。

極端斯坦下收益遠勝於概率
為了考量平均斯坦和極端斯坦之間的差異，我們以飛機失事為例。假設100~400 人在事件中喪生（令人痛心），也即一個獨立的負面事件，對預測和風險管理來說，我們會盡可能最小化此類風險，使其可以忽略不計。
接下來，我們考慮一種特殊的飛機失事事件，該事件會殺死所有乘坐飛機的人，包括所有過去乘坐過飛機的人。那麼這還是同一類型的事件嗎？後者屬於極端斯坦，而對於這樣的事件，我們不考慮概率，而是關注其影響。
· 對於第一種類型的事件，管理者主要考慮降低其發生概率——事件的發生頻率。這裡我們會數發生的次數，並嘗試減少。
· 對於第二種類型的事件，主要在於降低事件發生時造成的影響。這時我們不計算概率，而是衡量其影響。
如果覺得上述實驗有些奇怪，你可以考慮一下1982 年美國央行在危機中失去了之前歷史上賺到的所有錢，存貸行業（現在已經不復存在）也出現過同樣的事情，銀行系統在2008—2009 年賠掉了之前所有的利潤。我們會經常看到，某人在單次市場事件中賠掉之前的所有積蓄。而同樣的事情會在很多行業發生，如汽車業和航空業。上面的銀行僅僅和錢有關，對於戰爭，我們就無法只關注頻率而不考慮其量級了，正如科普作家斯蒂芬·平克所說[194]，第十六章會討論這一點。這裡還不考慮本節末尾提到的破產問題（和非遍歷性）。更嚴格地說，如果想讓原始的概率值有意義，我們就要讓一系列事件滿足非亞指數的克拉默條件。上述類比是本書作者和極富洞察力的拉斯·羅伯特在一次經濟學討論的播客中提出的。
在統計現象中，最知名的是帕累托分布（即80/20 法則），如20% 的義大利人擁有80% 的土地。表3.1 顯示，在高斯分布下需要取30 個觀測值才能使均值達到穩定的區間，而在帕累托分布下需要1011 個觀測值才能使誤差達到同樣的水平（假設均值存在）。
盡管上述計算並不複雜，卻很少有人從這個角度去思考。在估計厚尾分布均值的時候，我們並不能表明其穩定性。還有其他的辦法可以做到這一點，但肯定不是通過對樣本的觀察。

幼稚的經驗主義：不應該把埃博拉病毒和從梯子上跌落進行對比
讓我們通過一個真實世界的例子來闡述用薄尾思維衡量肥尾事件帶來的問題。有時候，人們會引用所謂的“經驗”數據來說明我們不該擔心埃博拉病毒，因為2016 年只有兩個美國人死於埃博拉病毒。他們認為，從死亡數字看，我們更應該擔心死於糖尿病或躺在床上。但如果我們從尾部的角度思考，假設有一天報紙報道突然死了20 億人，他們更可能死於埃博拉病毒還是死於吸煙、糖尿病或躺在床上呢？
另外一個邏輯漏洞是，恐怖主義發生的概率之所以很低，是因為人們對它的關注度很高。一旦放鬆警惕，它就可能會失控。兇殺案也是同樣的邏輯：恐懼帶來安全。
比較這些過程屬於幼稚的經驗主義，這表明我們太擔心埃博拉病毒（流行病或大流行病）而對糖尿病考慮不足，而事實恰恰相反，我們對糖尿病擔心得太多，而對埃博拉病毒和其他具有倍增效應的疾病擔心得太少。
這正是不理解厚尾效應導致的謬誤——遺憾的是，這種謬誤越發普遍。更糟糕的是，這種錯誤的推理方式還是被實證心理學促進的，而實證心理學似乎一點兒都不實證。行業裡有些托兒還冒充“風險專家”，邊出售殺蟲劑邊告訴我們不要擔心，因為基於歷史數據其危害不大。

風險是如何倍增的
所謂“基於證據”的方法還是太過粗略，無法處理二階效應（風險管理領域），因此在2019 年新冠肺炎疫情中給我們帶來了太多傷害。其中一個問題是，個體風險和集體風險的轉換（另一個問題是對證據不足和證據理解錯誤的混淆）。
在新冠肺炎疫情暴發初期，很多不懂統計的流行病學家將新冠肺炎死亡風險和在遊泳池中溺死的風險進行對比。這個對比可能對某個個體來說是成立的（雖然新冠肺炎迅速成為主要死因，後來甚至占紐約市死亡原因的80%），但如果加入同時導致1 000 人死亡的條件，溺死在遊泳池中的概率就微乎其微了。
這是因為，你的鄰居感染了新冠肺炎會提高你感染新冠肺炎的概率，但是你的鄰居溺死在遊泳池裡不會增加你溺死的概率（在一些條件下，其他人死亡的概率還會降低，如空難事件）。這一累積問題將在後面的橢圓性中更定量地加以討論，見第六章有關聯合分布不再具備橢圓性，導致薄尾獨立變量的和成為肥尾的論述。
這也是一個道德問題[247] ：通過感染這種疾病你導致了大於自身的死亡。雖然得傳染性疾病死亡的概率小於車禍致死的概率，但此時遵循“合理性”（也就是一階合理性模型）顯得異常荒唐，因為最終你會危害整個系統，甚至反過來傷到你自己。