數學橋：對高等數學的一次觀賞之旅（簡體書）

數學經常會讓我們感到很困惑，數學教科書又枯燥無味，似乎只是眾多的概念和定理證明的堆疊，而似乎沒有盡頭的題海更讓我們對數學望而生畏。當遇到一個新的數學名詞時，我們往往不知道為什麼要引入這個概念，導致對其一知半解。

斯蒂芬·弗萊徹·休森所著的《數學橋》一書獨辟蹊徑，將數學知識以一種截然不同的方式展示給我們。它不是教科書，也不是普及讀物，而是介於這兩點之間的“普及性教科書”；它以高中數學為起點，以一種輕鬆有趣的方式娓娓道來，向我們展示了大學數學中的核心內容和亮點。我們在欣賞那些令人驚嘆的結果的同時，可以領略數學的自然之美和使用價值。

在《數學橋》一書中，每當引入一個新的數學概念，首先作者會介紹它的應用背景，讓我們明白這個數學名詞並不是數學家憑空捏造的，這樣我們在學習一個數學理論時，也了解了理論背後的數學思想。

《數學橋》是一本雜交型的“普及型教科書”，它比通常的數學書更直觀、更親切也更具談話性。各個部分相對獨立，一個論題對另一個論題的依賴性也較低。基本上每個章節都從頭談起，所以適合不同層次水平、不同需要的讀者。從這個意義上看，該書可以說是以高中數學為基礎，對大學不同階段數學課程的串聯、整合。在以應試為主要目的的背景下，數學課程的設置沒有完整的系統性，學生理解高等數學的難度更大。而本書的價值就在於，它是一本聯繫起不同階段數學課程的綜合性、概括性的參考書，是現階段最稀缺的數學科普書。

在閱讀本書的時候需要一些數學技巧，所以這本書要求讀者要具備一些中學數學基礎。對於學習高等數學的本科生，通過它能了解大學數學課程中各個“亮點”；對於業余數學愛好者，通過它能夠了解數學是幹什麼的；而對於數學教師，通過它能對數學有更深層次的理解和感悟，從中激發自己和學生的興趣，了解數學的真正藝術。

斯蒂芬·弗萊徹·休森，數學家，1998年獲得英國劍橋大學博士學位，致力於數學科普圖書的創作。

序 言

大學數學難學是一個眾所周知的事實.但它到底有多難，直到我開始學習大學數學時，我才明白.對於要把注意重點從高中數學中以重復性操練為基礎的常規解題訓練轉移到作為真正數學的智力體操上來，我毫無準備∶慶幸的是，在我的奮力拼搏下，我通過了最初幾個月的學習，而且逐漸地開始理解正式講課中無處不在的大量符號的含義.我發現，數學是一門既令人驚嘆又讓人愉悅的生機勃勃的學科，盡管它遠在一條由形式化、簡潔性和邏輯性構成的水流湍急、險象環生的大河的那一側.

幾年以後，我在從事研究和講授數學的過程中，發現一代又一代的數學家苗子仍在與我當初面臨的同樣問題作戰.很自然，一些學生很突出，很快成了技巧嫻熟的數學家.一些學生沒能完成向更高層次數學的過渡，於是放棄，不再繼續學習數學.其他一些學生很成功，這種"成功"在於能將符號搬來弄去，並在考試中取得高分.但是他們不具備任何有意義的數學悟性.第四類由有可能成為既技巧嫻熟又聰穎過人的數學家的學生組成，但他們仍然覺得向更高層次數學的過渡很困難.這四類學生的共同之處是，他們都是有才能的學生，但他們在中學階段沒有接觸更高層次的數學就進了大學.有那麼多的學生最終歸於後兩類，這讓我一直感到吃驚.

進一步的調查發現，看來幾乎沒有一種圖書資料能以一種清晰的、直觀的，特別是以一種有趣的方式來提供這種過渡性材料.一方面，我們有著標準的教材.當然，這些教材是必需的，但從整體上講它們也是內容非常密集、閱讀非常困難、編排非常緊湊的東西，除了適用於專門的學習和參考外，其他什麼都不適用.另一方面，還有許多精彩的"普及性"數學圖書.然而，這些圖書往往關注數學中十分前沿的尖端性研究論題，這種論題只與一小部分成功的數學家直接相關，而且只經過數年的研究.此外，這些圖書往往不包含任何實在的數學細節;它們有點像在對數學進行觀光，或對人類智能進行探視，對一個景點拍一張照，然後趕往下一個景點. 雖然它們是長期靈感的重要來源，或者就是一種令人愉快的讀物，但閱讀這種圖書幾乎不需要數學技巧，人們也幾乎不能從中得到任何數學技巧.

我覺得這兩個極端之間肯定可以有一個折中點∶一種真正的數學書，它表述內容的風格比通常的數學書更具有談話性、更為直觀而且更為親切.由於這些原因，我靈感迸發，著手寫這本書——一本雜交型的"普及性教科書"，一本我在從事數學家職業之前就應該樂於擁有的書.本書的目標很簡單∶

以一種只需要基本的高中數學為起點的方式.發掘典型的數學學位

課程中的核心元素和亮點.強調許多令人驚嘆的結果所具有的自然之美

和實用價值.同時保持數學上的純正性.

於是，經過數年的努力，這本書現已完成，我想讓它適用於以下人群∶

●有抱負的數學家，他們想更多地了解關於數學的真正藝術.

●數學專業本科畢業生，他們願意閱讀關於其大學數學課程中各個"亮點"的一種引人入勝的概覽性讀物.

●科學家、工程師和熱情的業余愛好者，他們想知道數學家到底是幹什麼的.

●數學教師，他們希望對較高層次的內容有一種使人耳目一新的表述，以從中找到例子來激發自己和學生的靈感.

●進修高等數學概要或適合詩人的數學等課程的學生.

就像剛才提到的，數學是難學的.這本書也不例外.由於所述概念的豐富性，閱讀本書需要在腦力上付出高度的努力.在書中各個不同的地方，需要對附錄中所詳細敘述的數學知識有一個基本水平上的知曉或熟悉∶然而，本書非常具有談話性，而且各個部分相對獨立，因此可以在不同的深度水平上閱讀∶ 而且，一個論題對另一個論題的依賴性也保持在最低水平.只要可能，每個新章節都從頭講起，所以如果某個領域變得太難懂了，或者不令你感興趣了，你可以轉到下一個領域.此外，為了避免破壞內容的流暢性或遺漏掉作為數學思想之基礎的關鍵點，在一些地方我對某些技術性較強的細節略而不講.但願這些地方已被清楚地指明，而這些省略不會影響到大多數讀者.

數學是一種激動人心而又充滿活力的藝術形式，我希望本書能給你帶來對數學之真正意義的某種領悟.

斯蒂芬·弗萊徹·休森

2003年4月

目 錄

第一章 數/1

1.1 計數/3

1.1.1 自然數/3

1.1.1.1 自然數的構造/3

1.1.1.2算術/5 1.1.2 整數/6

1.1.2.1 零和負整數的性質/7

1.1.3 有理數/8 1.1.4 序/9

1.1.4.1 使N，Z和Q有序/10

1.1.5 從一到無窮大/11

1.1.5.1 無窮集的比較/11

1.1.6 無窮算術/12

1.1.7 超越~/16 1.2 實數/19

1.2.1 怎樣產生無理數/20

1.2.2 有多少個實數/24

1.2.3 代數數和超越數/25

1.2.3.1 超越數的例子/27

1.2.4 連續統假設和更大的無窮大/28

1.3 復數及其高維同伴/31

1.3.1 復數i的發現/31

1.3.2 復平面/32

1.3.2.1 復數在幾何中的應用/34

1.3.3 棣莫弗定理/35

1.3.4 多項式和代數基本定理/36

1.3.4.1 多項式方程的求解/37

1.3.5 還有其他的數嗎/40

1.3.5.1 四元數/41

1.3.5.2 凱萊數/43 1.4 素數/44

1.4.1計算機、算法和數學/45

1.4.2 素數的性質/46

1.4.3 素數有多少個/48

1.4.3.1素數的分布/48

1.4.4 歐幾裡得算法/49

1.4.4.1 歐幾裡得算法的速度/50

1.4.4.2 連分數/51

1.4.5 貝祖引理和算術基本定理/53

1.5 模整數/57

1.5.1 模為素數的算術/57

1.5.1.1 一個關於素數的公式/58

1.5.1.2 費馬小定理/59

1.5.2 RSA密碼 /60

1.5.2.1 建立 RSA體制/62

1.5.2.2 一種RSA密碼體制/64

第2章 分析 /66

2.1 無窮極限/68

2.1.1 三個例子/68

2.1.1.1 阿基裡斯和烏龜 /68

2.1.1.2 連續復合利率/70

2.1.1.3 方程的迭代解法/72

2.1.2 極限的數學描述/75

2.1.2.1 收斂的一般準則/78

2.1.3 極限應用於無窮和/79

2.1.3.1 一個例子∶幾何級數/79

2.2 無窮和的收斂與發散/81

2.2.1 調和級數/81

2.2.2 收斂判別法/82

2.2.2.1 比較判別法/82

2.2.2.2 交錯級數判別法/84

2.2.2.3 絕對收斂/85

2.2.2.4 比率判別法/85

2.2.3 冪級數及其收斂半徑/87

2.2.3.1 確定收斂半徑/89

2.2.4 無窮級數的重新排列/89

2.3 實函數/92

2.3.1 實值函數的極限/92

2.3.2 連續函數/94 2.3.3 微分/97

2.3.3.1 例子/99

2.3.3.2 微分中值定理/102

2.3.3.3 洛必達法則/105

2.3.4 面積與積分/106

2.3.5 微積分基本定理/108

2.4 對數函數和指數函數以及 e/111

2.4.1 Inx的定義/111

2.4.2 expx的定義/114

2.4.3 歐拉數e/116

2.4.3.1 e的無理性/119

2.5 冪級數/121

2.5.1 泰勒級數/123

2.5.1.1 作為警示的例子/126

2.5.1.2 實函數的復擴張/126

2.6 T與分析學觀點下的三角學/128

2.6.1 角度與扇形面積/128

2.6.1.1 π的一個級數展開式/131

2.6.2 正切、正弦和余弦/132

2.6.2.1 用冪級數定義 sinx和cosx/134

2.6.3 傅裡葉級數/136

2.7 復函數/140

2.7.1 指數函數和三角函數/140

2.7.2 復函數的幾個基本性質/141

2.7.3 對數函數及多值函數/142

2.7.4 復數器/143

搖啊搖，搖到數學橋

書評作者: 郭景海 程杰

發布媒體: 科學時報

有這樣一個故事：在一個酒吧裡，一個姑娘問她的情人遲到的原因，那年輕人說他在趕做一道數學題，姑娘搖著腦袋，不解地問：“我真不明白，你花那麼多時間搞數學，數學到底有什麼用啊？”那年輕人長久地看著她，然後說:“寶貝兒，那麼愛情，有什麼用啊？”

或許我們也經常這樣問自己：“數學到底有什麼用？”關於數學我們經常會感到很困惑，自踏入學堂就開始學習數學，所接觸的教科書枯燥無味，似乎只是眾多的概念和定理證明的堆疊，那些絞盡腦汁的難題讓我們對數學望而生畏。當遇到一個新的名詞時，我們往往不知道為什麼要引入這個概念，它是不是有用的和必需的，只能從定理證明和解題中慢慢體會，但這個過程往往很漫長。數學學習就成了解各種各樣的難題，而數學書就是提供解題的巧妙方法，我們對數學家們的智能驚嘆不已，卻很難體會到數學的整體架構和發展歷程。

這或許是布爾巴基造的孽。他那幾十本《數學原理》仿佛給後世寫數學書的人穿了雙甩不掉的鞋，很多數學教師對這雙鞋情有獨鐘。不知所云的名詞，讓人絞盡腦汁的難題，這讓數學初學者望而生畏，恨自己沒有數學細胞。那麼，如果我們脫掉了這雙沉重的鞋，是否會有輕鬆的方式引領我們觀賞數學世界呢？斯蒂芬·弗萊徹·休森獨辟蹊徑，所著的《數學橋》一書將數學知識以一種截然不同的方式展示給我們。如譯者所言，它不是教科書，也不是普及讀物，而是介於這兩點之間的“普及性教科書”；它以高中數學為起點，以一種輕鬆有趣的方式娓娓道來，向我們展示了大學數學中的核心內容和亮點。我們在欣賞那些令人驚嘆的結果的同時，可以領略數學的自然之美和使用價值。

《數學橋》中，當引入一個新的數學概念時，首先會向我們介紹它的應用背景，這樣就不會顯得突兀。我們可以明白這個數學名詞並不是數學家憑空捏造的，更不是從天上掉下來的，而是有用的和必需的。這樣，我們在學習一個數學理論的同時，也了解了理論背後的數學思想。比如，斯蒂芬·弗萊徹·休森在介紹無窮極限時，並沒有一開始就把無窮極限的定義、性質扔到讀者面前。通過阿基裡斯和烏龜的賽跑比賽為切入點，以影響比賽結果的因素為無窮極限下定義，在分析比賽結果的同時，向讀者介紹了無窮極限的性質、技巧。這樣抓住重點，徐徐道來，令人不知不覺地就進入了數學美境。形式上也有定義、定理等等，但已不再是從天而降的飛來之物。

《數學橋》非常具有談話性，而且各個部分相對獨立，一個論題對另一個論題的依賴性也較低。只要可能，基本上每個章節都從頭談起，所以適合不同層次水平、不同需要的讀者。從這個意義上看，該書可以說是以高中數學為基礎，對大學不同階段數學課程的串聯、整合。對大多數學生而言，學習、理解高等數學都不是一件容易的事。特別是在以應試為主要目的的背景下，數學課程的設置沒有完整的系統性，學生理解高等數學的難度更大。這就需要一本聯繫起不同階段數學課程的綜合性、概括性的參考書，而在現階段，國內類似水平的書籍著實稀缺，就更突顯了這本書的價值。

在閱讀本書的時候需要一些數學技巧，所以這本書要求讀者要具備一些中學數學基礎。對於學習高等數學的本科生，通過它能了解大學數學課程中各個“亮點”；對於業余數學愛好者，通過它能夠了解數學是幹什麼的；而對於數學教師，通過它能對數學有更深層次的理解和感悟，從中激發自己和學生的興趣，了解數學的真正藝術。

就像其名字一樣，這本書就好比一座橋梁，它能幫你順利完成從初等數學到高等數學的過渡。數學是一門既令人驚嘆又讓人愉悅的生機勃勃的學科，是一種無與倫比的藝術形式，而《數學橋》正是我們打開藝術之門的一把鑰匙。讀完這本書，你會驚奇地發現：你已經愛上了這門藝術。