文化脈絡中的數學

數學是一種語言，一種非常精準的語言，人們使用數學語言與自然對話、與藝術對話、與文學對話、與生活對話、與文化對話、與教育對話、與文明進展對話、與民主對話、與愛情對話。《文化脈絡中的數學》將引領我們，聆聽數學與各種領域的對話，層層疊疊、抑揚頓挫、從天上來、打心底起，讓數學融通了生命與生活，從而讓讀者有了屬於自己的數學聲音。

數學不僅是文化的產出，數學也形塑了文化。本書所涉及的文化領域，包括語言、文學、歷史、藝術、電腦、選舉、教育、宗教與信仰等，作者企圖以說故事的方式，一層一層慢慢展開論述：以文藝創作旁敲數學、用郵票來述說數學的大歷史、藉由人物傳記讓世界的數學發展史跟我們自己拉上更親近的關連，並針對切身熟悉的文化活動來闡述數學的角色，從而讓讀者體認到數學學習的真正價值及趣味。

單維彰

民國51年出生於臺北市，自民國80年起任教於國立中央大學。主要工作在於數學教育，其對象包括學士、碩士、博士階段的數學專業教育，國中、高中階段的數學素養教育，中等學校數學領域的師資培育，以及面對社會大眾的通識教育。這本書產出於作者在中央大學開設的同名通識課程：「文化脈絡中的數學」，而這一門課使他獲頒教育部第七屆（104學年度）全國傑出通識教育教師獎。他是臺灣數學教育學會、臺灣工業與應用數學會的終身會員，也是中華民國駱駝登山會與中華民國山岳協會的終身會員，在50歲生日時完登臺灣百岳。

數學的文化脈絡

洪萬生 臺灣數學史教育學會理事長

 

這本書主題是有關數學與數學家的故事。儘管作者單維彰教授自認為本書主要訴求是數學通識，然而，數學敘事及數學科普兩個面向的訴求，誠然也不遑多讓。事實上，本書的關鍵詞既然是「文化脈絡」，那麼，歷史敘事的進路無疑是必要的選擇，而數學普及也大都依賴如何說（數學及數學家的）故事，因此，由我這位先睹為快的數學史家來分享些許閱讀心得，似乎也頗為順理成章。

承維彰謬愛，將本書題獻給我，實在是受寵若驚！不過，他經由莫里斯．克萊因（Morris Kline）的《數學史》（臺灣版中譯書名，原書是Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972）而愛上數學史，倒是值得珍惜的結緣佳話。克萊因的數學史著述偏向文化史的進路，可能是當時西方數學史學的常見風格，因為克萊因的早期著作《西方文化中的數學》（Mathematics in Western Culture）就是最忠實的見證。至於維彰在本書中所收入的〈徐光啟與數學的最初教材〉（第6篇），很可能就是企圖「東西平衡」的一篇寫作，說明「東方文化中的數學」之旨趣，從而強調數學的發展離不開文化脈絡。

這種東西文化對比（或類比）的進路，用意不在計較哪個文化更早「達標」，而是即使針對同一命題（譬如畢氏定理），各個文化的數學家可能提出各具特色的認知方式，而帶給現代人類（尤其是學生）相當深刻的啟發。因此，如果我們將這些傑出的定理、公式或方法視為人類共有的文化遺產，那麼，如何維護及傳承，當然就是我們現代人（尤其是數學人）無可推卸的重責大任。數學史家格拉頓．吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）曾指出：將人類歷史上的數學成果視同為世界文化遺產（world cultural heritage），也是非常值得推許的一種有關數學史的「研究」進路。他的主張為數學通識與數學普及建立了極有意義的連結，無論我們的主要訴求是哪一項目，兩者總是難以偏廢。

事實上，正如前述，本書雖然意在大學（數學）「通識」─譬如本書涉及其他領域文化活動，如「語言、文學、歷史、藝術（版畫）、電腦、選舉、教育、宗教與信仰等」，然而，在選材上卻也同時考量相關知識「普及」的可能性，因而維彰得以發揮數學的洞察力，讓所謂的通識賦予了更深刻的意義。另一方面，維彰在〈PISA與西方的數學教育觀〉（第9篇）一文中，回顧了「素養」一詞的指涉及其演化，順勢對國內現行數學教育體制提出了十分細緻與體貼的觀察，其中他以自身為數學教育者的「發言位置」，使得他在本書的「現身說法」更具有說服力。這是他的書寫特色之一，值得我們注意。

本書之撰寫還有另外兩個特色，我必須在此特別指出。首先，維彰在敘說數學與數學家的故事時，由於依循了具體的歷史文化脈絡，因此，他的「額外插話」不致離題，反倒使得他的博雅素養有了合適的「依托」空間。這種節制也帶出他的文字之從容表情。他的筆鋒常帶感情，總是娓娓道來，彷彿對著老友敘舊一般，縱使偶有歷史論斷或時事評論，卻始終預留「對話」空間，讓「假想的」對話者擁有足夠的迴旋可能，相當難能可貴。

總之，本書不僅內容紮實，而且從文化脈絡切入，引導我們理解及鑑賞其中數學活動多元面向的價值及意義。這是同類著述中的傑作，值得我們高度推薦！

前言
每一本書有它的使命。這本書希望闡明數學不僅是文化的產出，數學也形塑了文化。筆者的終極關懷是教育，而教育是人人參與的社會活動，所以本書的言說對象就是社會大眾。

本書以第1篇〈數學作為一種語言〉破題。語言是界定文化的主要特徵；類似地，數學不僅本身是文化的創造，數學也參與了文化的建構。啟發人心的言論經常是歷史轉折的關鍵，我們卻很難指出哪一句話改變了歷史；類似地，數學雖已實際上編織在文化與文明裡，我們卻也不能精確地抽出一蕊纖維，說：看哪，這就是數學的貢獻。數學就像語言，全面地──而且通常難以察覺地──成為建構我們思維和生活的基調。

數學作為一種語言，卻不是任何人的母語；即使希臘人也不能自然習得數學。數學對任何人而言皆為外語，都需要藉助母語來學習，而母語也就可能成為學習特定外語的助力或阻力。本書將在第6、9篇觸及華語學習數學的助力與阻力。將數學的學習視為外語學習之後，即可推知：因為語言學習的真正意義在於文化理解，所以數學學習的真正價值在於體認由數學語言所建構的文化，特別包括它的思維方式、對待問題及其解決方案的態度，以及評價「真理」和「美」的品味。

筆者既然已經承認不可能一絲一縷地從文化中抽出數學，這本書自然也辦不到。我企圖以說故事的方式，以某種文化創造為主題，而不是以數學為主題，一層一層慢慢展開我的論述。如果我們將內容涉及數學的文件稱為數學文書，再將非專業需求的數學文書分成以下三大類：

（1）數學敘事：包含數學情節的詩歌、散文、小說（虛構故事）、傳記等。

（2）數學科普：向非數學專業之讀者說明數學知識內容。

（3）數學通識：將數學融通於文化或其他知識領域之中。

則本書內容主要屬於數學通識。書中涉及的其他領域文化活動，包括語言、文學、歷史、藝術、電腦、選舉、教育、宗教與信仰等。第2、3篇以文藝創作旁敲數學，第4、5篇為後面的內容鋪設歷史地圖。本書也有部分篇幅屬於數學敘事，例如第6篇藉由人物傳記，讓世界的數學發展史跟我們自己拉上更親近的關連。第7、8、9篇分別針對一種學生切身（熟悉）的文化活動，闡述數學的角色；在這三篇裡，數學的份量逐漸增多增重。直到第10篇藉由一部小說介紹微積分的成就（第7篇已有伏筆）。本書有些片段屬於數學科普，例如第10篇的最後一節試圖說明為什麼e的iπ次方是˗1？

筆者的初衷是對數學教育的關注。社會上（中外皆然）從不缺乏對數學教育的批評，從十九世紀後期以來，幾乎每十幾二十年就會在美國出現一部「振聾發聵」的暢銷書，將當年美國的數學教育痛快批判一番。那些批判多少也能興起一波改革之道，但由後見之明可知，那些暢銷書對於學校教育的實際影響不大，否則就不會有下一個十年的長江後浪了。我認為數學教育的問題並不在於學習的內容、教學的方法、評量的手段，而在於許多教師以及關係人（持分者）沒有體認到：數學適合被當作一種語言來學習，而數學學習的真正價值在其文化性而非功能性。所謂關係人當然是指學生及家長，但是學生及家長是快速流動的身分，拉長時間來看，學生及家長就是社會上的每一個人。因此，數學教育的關係人就是整個社會。所以如果想要為數學教育說一些話，言談的場域不能僅限於學校，而要面對整個社會。如果社會對於數學教育的認知維持在功能層面，而不了解數學和語言的類比，也不體認數學的文化價值，則個別教師能做的改變非常有限，而技術層面的課綱、教科書與考試改革，終究只能十年復十年地繞著同一個軸心旋轉，無法創建新猷。

本書內容出自於國立中央大學通識課程「文化脈絡中的數學」的講稿，所以它理應適合當作大學通識課的讀本或參考書。我的授課對象雖然包括理工領域的高年級學生，但是從一開始就設定主要服務對象是文社領域的學生，故僅以高中必修範圍內的數學為基礎。書內雖然提及微積分，所涉的深度也可能超過許多數學科普書籍，但它們仍然屬於高中程度的合理閱讀範圍。當我將講課內容整理成書的時候，明確地將高中生假設為潛在讀者，使得此書有可能成為高中選修課程的讀本（高二或高三）。

「文化脈絡中的數學」開創於99學年，筆者並獲得教育部第七屆（104學年度）全國傑出通識教育教師獎。歷屆學生的留言與評語顯示：這門課的最大價值在於啟發思考。筆者已經將他刺激學生思考的言辭寫在書裡，但是要在課程中達到啟發思考的效果，還是必須由現場教師藉由身教與言教來完成。作為學習資源之用的視聽媒體和作業題庫，都整理在筆者為這本書製作的網頁裡：shann.idv.tw/mcc。

本書題獻給洪萬生教授，他是數學史學大師，我自從大學時期就跟讀他的文章，在數學教育工作中遇到歷史方面的疑難都首先向洪老師探求方向；特別感謝洪老師惠賜序言作為鼓勵。另一位賜序的師長是林從一副校長，他開創了許多前瞻性的教育計畫，包括創設全國傑出通識教育獎，他也是臺灣通識教育的領航人之一。也感謝我的伙伴劉柏宏教授作第三篇序，他是科技部數學教育學門「數學文化」研究群的柱石。這三篇序好比這本書的三個面向：數學史、通識教育、數學文化。

這本書裡的意念和主旨，幾乎都成形於民國89至92年間我在漢聲廣播電台「關於數學的人文話題」節目的講話，然後藉由《科學月刊》從民國95到103年提供的「數．生活與學習」專欄逐漸凝聚為文字。藉此機會感謝把我帶進電台播音室的康來新教授及梅少文女士，也感謝《科學月刊》歷屆主編及同仁提供寶貴的專欄篇幅，特別感謝曾任主編的好友蔡孟利教授為本書收尾。

感謝國立中央大學文學院長暨中大出版中心總編輯李瑞騰支持這本書的出版，也要特別感謝兩位匿名的審查老師提出了鉅細靡遺的深度指教，更加提高了這本書的專業價值。感謝中大出版中心王怡靜小姐非常詳盡的編輯工作，她也是幫助我競選通識教育獎的最力伙伴。感謝國立中央大學數學系以及師資培育中心同仁給我的寬容與支持，讓我從事不立即有成果的工作；為此也須特別感謝李光華副校長、葉永烜副校長、柯華葳院長及陳斐卿主任的長期支持。感謝我的伴侶明懿教授聽過我全部的課，給我寫作的支持和修辭的專業意見。最後要感謝曾經修課的一千多位學生，我們共處的幾百個小時，以及你們寫來的筆記和作業，豐富了我的經驗也擴展了我的視野。雖然很難明確指出哪一段話有哪一位同學的貢獻，但大家肯定會在書裡察覺你/妳們留下的痕跡。

單維彰

國立中央大學師資培育中心與數學系

民國百零八年十二月於臺灣中壢

〈推薦序〉

數學的文化脈絡 洪萬生

靈魂的數學 林從一

從文化脈絡看數學的真善美 劉柏宏

前言

 

1 數學作為一種語言

♦ 數學是一種語言 ♦ 語言都是抽象的 ♦ 語言都有任意性 ♦ 語言都須訴諸直覺 ♦ 語言都有不可考的成分 ♦ 語言都編撰成辭典 ♦ 語言都須記憶 ♦ 語言都會被操弄 ♦ 數學的歷時長存 ♦ 結語

2 艾雪的心靈版畫

♦ 不可能的圖像 ♦ 球面的摹寫 ♦ 平面拼貼 ♦ 連續漸變與循環 ♦ 尺度的循環與漸變 ♦ 無窮 ♦ 數學結構 ♦ 版畫的工藝、心靈與美 ♦ 真實性 ♦ 結語

3 卡洛的遊戲人生

♦ 第一代攝影師 ♦ 滿紙荒唐言 ♦ 趙元任的翻譯 ♦ 追隨經典的再創造 ♦ 遊戲數學 ♦ 文字遊戲 ♦ 注釋愛麗絲 ♦ 每個月寫一篇文章的職業 ♦ 結語

4 看郵票說數學大歷史（上）

♦ 數學的起源 ♦ 中國 ♦ 古希臘 ♦ 阿拉伯繼往開來 ♦ 東風西漸

5 看郵票說數學大歷史（下）

♦ 歐洲的甦醒 ♦ 中國的第一次接觸 ♦ 西方正式崛起 ♦ 輝煌澎湃一百五十年 ♦ 精密分工下的現代數學 ♦ 結語

6 徐光啟與數學的最初教材

♦ 徐光啟 ♦ 中國原生的數學 ♦ 利瑪竇 ♦ Euclidis Elementorum ♦ 幾何原本 ♦ 孰能無過 ♦ 結語

7 數、計算與文明

♦ 語言內建基本的計算 ♦ 數詞與數字系統 ♦ 計算工具 ♦ 圓周率 ♦ 自動機械計算機 ♦ 微積分 ♦ 可變程式的機械計算機 ♦ 科學計算 ♦ 可儲存程式的電子計算機 ♦ 結語

8 投票──民主的技術與意義

♦ 民主程序的形上程序 ♦ 同樂會二籌 ♦ 選舉程序 ♦ 鞏多瑟和波達 ♦ 雅樂不可能定理 ♦ 薩伊的修訂理論 ♦ 得獎的是…… ♦ 結語：民主不是應許

9 PISA與西方的數學教育觀

♦ 所謂素養 ♦ 職能與掃盲 ♦ PISA評量 ♦ 素養導向評量的範例

♦ 啟示一：考試時間不宜太短 ♦ 啟示二：超大標準差的警訊 ♦ 啟示三：教育機會的不公平現象 ♦ 結語：才能天賦vs人定勝天

10 一部小說──博士熱愛的算式

♦ 引進數學情節的虛構故事 ♦ 記憶著愛情的等式 ♦ 所謂最美的等式♦ 懂了更美 ♦ 結語

 

後記

結語：數學真的是一種語言 蔡孟利

圖片說明

追隨經典的再創造
所謂經典都是後見之明。一部作品必須啟發後世的想像，使其本身一再被改編或重現，形成文化的資產，才得以成為「經典」。就好像《三國演義》和《射雕英雄傳》裡面的人物與情節，在影視和電玩裡一再被重新塑造那樣。
我們必須先擱置自己的後見之明，才能洞察經典中的偉大創意。譬如卡洛所在的1860年代，沒有人看過將動物擬人化或者擬物化的卡通，也沒有人看過淡入淡出的影像效果，他就憑想像力創造了這些視覺效果。例如《漫遊奇境》第六章用魚和青蛙創造「眼睛長在頭頂上」的僕役形象，後來藉由愛麗絲抱怨柴郡貓「你不要突然出現又突然消失好不好？」的情境，想像了一場「慢慢消失」的影像淡出效果：這一次牠慢慢地從尾巴尖端開始消失，最後是牠那永遠咧齒微笑的嘴，而且那笑嘴還留在樹上頗長一段時間。看到這個視覺效果，愛麗絲自言自語，原文用了顛倒對仗：唉呀，我經常見到沒笑的貓（a cat without a grin），至於沒貓的笑（a grin without a cat）倒還真沒見過。而皇宮裡的撲克牌園丁與士兵，槌球場上當作棒槌的紅鶴與當作滾球的刺蝟，也都在在是文字版本的卡通影片。
人說文化就是資產。這句話對許多身在臺灣的人們來說，總是過於抽象的一個口號。卡洛的愛麗絲和許多其他歐洲人在前兩個世紀的童話創作（綠野仙蹤、睡美人、木偶奇遇記……），哪一部不是直接地創造了二十世紀的大螢幕票房？這些都是淺而明顯的例子。只要我們看電影、讀小說的時候多留意些，就會一再發現西方人世代相傳的經典、神話和傳說，如何豐富了他們的商業創作。我們當然也有《三國演義》、《西遊記》、《白蛇傳》和《女媧補天》，但是這些經典似乎還沒有滋養出足夠深度的媒體產品，更可怕的是這些經典本身正在遠離我們的下一代；一旦流失了，它們就不再是文化，也不能創造資產。試想，如果閱聽大眾都不知道孟江女的典故，那個含了一粒就哭倒長城的喉糖廣告，還能有效果嗎？所以，保存住文化中的經典，其實等於保護未來的一筆資產啊。
說到經典對於現代影視商品的貢獻，我舉兩個關於愛麗絲的例子。《駭客任務》第一集的開始，就連續引用《漫遊奇境》。女主角崔妮蒂不是在電腦螢幕上暗示男主角尼歐，叫他「跟著兔子走」嗎？他跟著左肩上刺著兔子圖案的女人到了酒吧，開始跟「母體」以外的人接觸，幾經波折，他見到那位黑人老大莫斐斯。黑人拿出兩粒藥丸，那時候說的話全部引述自《漫遊奇境》的原文，可惜在電影院或看DVD的中文字幕，都沒有翻譯出來，必須自己聽電影的對白。莫斐斯比喻吃了紅色藥丸，你就會跟著兔子掉進洞裡，不同的只是，這一次你進入的不是奇幻世界（wonderland），而是真實世界（real world）。
《駭客任務》更有深度的引用愛麗絲，是《鏡中奇緣》一場關於存在性的對話。一對小胖子說愛麗絲和他們自己都不是真正的存在，大家都只是紅國王夢中的角色罷了；只要紅國王一覺醒來，他們就「噗」地消失了。愛麗絲說不過那對雙胞胎，急得哭了起來。小胖子輕蔑地說：「妳該不會以為妳正在流落的，是真的眼淚吧？」同樣的句型也從莫斐斯的嘴裡說出來。那時候他在虛擬電腦世界裡面訓練尼歐，教他武術，那是很精彩的一段戲。尼歐累得半跪在地上喘氣，莫斐斯酷酷地說：你想想，我們只不過是在電腦模擬程式裡面，「你該不會以為你正在喘息的，是真的空氣吧？」
帽匠是除了愛麗絲以外唯一橫跨兩本故事書的角色，在《鏡中奇緣》為了一樁他「還沒有」犯下的罪行而身繫囹圄。故事裡的白王后有先知能力，她在刺傷手之前先大叫了，等到真正刺傷流血的時候反而不哼一聲， 因為「我剛才已經叫過了，難道還要再重複一遍嗎？」白王后預知帽匠在三週後會犯罪，所以先將他抓起來，而下週就要審判。愛麗絲問：「如果他根本沒有犯罪呢？」王后說：「那不是更好嗎？」這情節就是電影《關鍵報告》的創意來源。
蛋頭蛋腦（Humpty Dumpty）是一支英國童謠的主角，卡洛和他的插畫夥伴賦予他一個具體形象，而這個形象也進入了英美流行文化，常有機會在雕塑和動漫裡看到。《鏡中奇緣》利用這個角色大玩「語言任意性」的遊戲。愛麗絲遇見他時，他搖搖晃晃地坐在牆頭（這是童謠的情節），兩人講不到幾句就開始鬥嘴，蛋頭認為自己辯贏了，就說：「這妳就榮耀了吧。」愛麗絲說她不懂他講的榮耀是什麼意思。蛋頭冷笑一聲，說：「妳當然不懂，得等我告訴妳。那叫『被人一句話嗆垮了』。」愛麗絲當然不服，她說「榮耀」沒那個意思。蛋頭說，妳得搞清楚是誰在當家作主？「當我用一個字，它就得照我的意思去當它的意思，不能多也不能少。」
 
遊戲數學
卡洛發明了一些小把戲，有些傳到了今天。例如讀者大概聽說過一個益智問題：某位鄉民帶著一匹狼、一頭羊和一簍高麗菜渡河，他一次只能帶一樣東西，因此當他在撐船過河的時候，必有兩樣東西要留在岸上。但是不能將狼和羊留下，因為狼會吃羊；不能將羊和高麗菜留下，因為羊會吃高麗菜。請問要如何渡河？這是卡洛發明的。
利用邏輯上的謬誤，可以發展詭論。以下詭論適合初學代數的國中生測試一下自己的觀念：令x=1且y=1，則2(x2−y2)=0而且5(x−y)=0。所以2(x2−y2)=5(x−y)。現在把等式兩邊的x−y約掉，得到2(x+y)=5。但是x+y=2，故得2×2=5。這是怎麼回事啊？
以下這個機率的詭論就不太容易了。他說，如果一個袋子裡有兩個用觸感無法分辨的球，已知每個都是黑色或白色的，則它們必定是一黑一白，「證明」如下。
 
袋子裡的兩個球，二黑的機率是1/4，二白的機率也是1/4，一黑一白的機率是1/2。假設現在投入一個黑球，則三黑的機率是1/4、一黑二白的機率也是1/4、二黑一白的機率是1/2。現在，從這裝有三個球的袋子中抽出一球，它是黑色的機率為（「三黑且抽出一黑」或「一黑二白且抽出一黑」或「二黑一白且抽出一黑」）的機率。
反過來，如果從一個裝有三個黑球或白球的袋子中抽取一個黑球的機率是2/3，那麼袋子中必定有兩個黑球和一個白球。我們知道剛才投入的是一個黑球，所以，還沒投入黑球之前的那兩個球，必定是一黑一白。故得證。
 
以上詭論出現在1893年出版的《枕頭問題集》。初版的副標題是「用在睡不著的夜晚」（sleepless nights），再版時改成正面的說法：「用在值得清醒的時刻」（wakeful hours）。說的同樣是失眠，態度卻不同，這似乎與「屢戰屢敗」改成「屢敗屢戰」有異曲同工之妙。以上詭論是《枕頭問題集》的最後一題！或許他要開玩笑，熬夜太多終究有害健康，連腦袋都糊塗了。
數學家的確有反向應用機率的作法，設法模擬一種隨機實驗取得機率的估計，用來反推未知的狀況。如果從一個裝有三顆球（每顆都是黑色或白色）的袋子中隨機抽取一球，取出放回重複很多次之後，發現抽到黑球的機率是2/3，則真的可以推論袋子裡是二黑一白。問題是卡洛設計的第一個實驗已經丟了一顆黑球進去，那就不是一個「隨機」的事件了，所以並不適用於機率定理。
類似的情況也發生在頗有名氣的蒙特霍爾問題（Monty Hall Problem），那是一個綜藝節目的把戲。有三扇門，已知其中兩扇後面是山羊，一扇後面是轎車。如果來賓選中了轎車的門，就可以贏得那輛車；主持人知道轎車在哪一扇門後。遊戲規則是，來賓先選一扇門，主持人打開另外兩扇門之中有山羊的那一扇，然後問來賓要不要換？這時候主持人會創造出許多娛樂效果。如果引用學校裡的機率定理，就該相信換不換都一樣，都有1/3的機率選中轎車。但是，這個想法錯了。關鍵在於主持人不是「隨機」打開一扇門，他是知道答案的，他故意打開一扇沒有轎車的門。主持人的行為並不是一個「隨機」的事件，機率定理從此失效了。
我有責任說完這個話題。如果蒙特霍爾主持人也是不知情地隨便打開一個門，而他選中了一頭羊，那麼根據機率定理，來賓換或不換門，得獎的機率都一樣。如果把討論的時間點設定在大家都還沒選的當初，則來賓換或不換，得獎機率都是1/3。如果把時間設定在主持人隨機打開一扇門而且看到是羊之後，則來賓換或不換，得獎機率都是1/2。但是，在蒙特霍爾的遊戲規則之下，來賓若不換，則維持他原來的1/3得獎機率。可是，如果他換，則若他原來選錯了（機率是2/3）就會變成得獎；若他原來選對了（機率是1/3）就會變成羊。可見「不換」的得獎機率是1/3，而「換」的得獎機率是2/3，理性的選擇應該要「換」。
討論隨機實驗的時間點，的確是有差別的。數學老師能夠證明：抽籤的順序不影響得獎機率。但這個定理是針對大家都還沒抽的時候說的。譬如全班30位同學抽30支籤，其中只有一支得獎，為了維護秩序總得有人先抽有人後抽。萬一第一位抽籤者打開一看就得獎，顯然這個遊戲就可以結束了。在這種「條件機率」的情境下，我們實在難以說服同學們不要在意抽籤的順序。對付這種心理上的窘境，只要規定按順序抽籤（最後一位同學雖然沒選擇，但也「抽」了），抽了之後一律不許打開，把籤捏在手中求天主拜媽祖都可以，必須等到老師一聲令下全班一起開，就能感受「抽籤順序不影響得獎機率」的數學定理了。