大學物理學：力學、熱學(第4版)（簡體書）

書分上下兩冊，涵蓋了新制定的《非物理類理工學科大學物理課程教學基本要求》中的核心內容，以“精品化、立體化、實用化”為目標，以“教學性，實用性，科學性”為特色。本書在修訂過程中繼承了第2版的特色，采取壓縮經典、簡化近代、突出重點的方法精選和組織內容。內容深淺適當，講解正確清晰，例題指導詳盡，全書聯系實際，特別是注意介紹物理知識和物理思想在實際中的應用，還編寫了大量來自生活、實用技術以及自然現在等方面的例題和習題。

張三慧，1998年被聘為清華大學主講教授。主編《大學物理學》。體例新穎,內容現代,在有較大影響,已11次重印。編寫英文版電磁學和量子物理,並用英語講授,甚為生歡迎。參與編譯《現代科學技術詞典》、《英漢詞海》等5部辭書。著有《常見的圓周運動》、《漫談相對論》等7本科普書(其中2本獲獎)。

第3章動量動量與角動量角動量動量第2章講解了牛頓牛頓第二定律，主要是用加速度加速度表示的式（2.3)的形式。該式表示了力和受力物體的加速度加速度的關系，那是一個瞬時關系，即與力作用的同時物體所獲得的加速度加速度和此力的關系。實際上，力對物體的作用總要延續一段或長或短的時間。在很多問題中，在這段時間內，力的變化復雜，難以細究，而我們又往往只關心在這段時間內力internal force內力的作用的總效果。這時我們將直接利用式（2.2)表示的牛頓牛頓第二定律形式，而把它改寫為微分形式並稱為動量動量定理theorem of momentum動量定理。本章首先介紹動量動量定理動量定理，接著把這理應用于質點系system of particles質點系，導出了一條重要的守恒定律——動量動量守恒定律動量守恒定律。然后對于質點系質點系，引入了質心center of mass質心的概念，並說明了外力外力和質心運動的關系。后面幾節介紹了和動量動量概念相聯系的描述物體轉動轉動特征的重要物理量——角動量角動量動量，在牛頓牛頓第二定律的基礎上導出了角動量角動量動量變化率和外力矩moment of force,torque力矩的關系——角動量動量定理動量定理，並進一步導出了另一條重要的守恒定律——動量動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律law of conservatioof angular momentum。后還導出了用于質心參考系參考系的動量動量定理角動量定理theorem of angular momentum角動量定理。 3.1沖量impulse沖量與動量動量定理動量定理 把牛頓牛頓第二定律公式（22）寫成微分形式，即Fdt=dp(3.1)式中乘積Fdt叫做在dt時間內質點所受合外力外力的沖量沖量。此式表明在dt時間內質點所受合外力外力的沖量沖量等于在同一時間內質點的質點的動量動量的增量。這一表示在一段時間內，外力外力作用的總效果的關系式叫做動量動量定理。 如果將式(31)對t0到t′這段有限時間積分，則有∫t′t0Fdt=∫p′p0dp=p′-p0(3.2)左側積分表示在t0到t′這段時間內合外力外力的沖量沖量，以I表示此沖量沖量，即 I=∫t′t0Fdt 則式(32)可寫成I=p′-p0(3.3)式(32)或式(33)是動量動量定理動量定理的積分形式，它表明質點在t0到t′這段時間內所受的合外力外力的沖量沖量等于質點在同一時間內的動量動量的增量。值得注意的是，要產生同樣的動量動量增量，力大力小都可以: 力大，時間可短些；力小，時間需長些。只要外力外力的沖量沖量一樣，就產生同樣的動量動量增量。 第3章動量動量與角動量角動量動量3.1沖量沖量與動量動量定理動量定理動量動量定理動量定理常用于碰撞碰撞過程過程，碰撞碰撞一般泛指物體間相互作用時間很短的過程過程。在這一過程過程中，相互作用力往往很大而且隨時間改變。這種力通常叫沖力impulsive force沖力。例如，球拍反擊乒乓球的力，兩汽車相撞時的相互撞擊的力都是沖力沖力。圖3.1是清華大學汽車碰撞碰撞實驗室做汽車撞擊固定壁的實驗照片與相應的沖力沖力的大小隨時間的時間的變化曲線。 圖3.1汽車撞擊固定壁實驗中汽車受壁的沖力沖力 （a) 實驗照片； (b) 沖力沖力時間曲線 對于短時間Δt內沖力沖力的作用，常常把式（3.2)改寫成Δt=Δp(3.4)式中是平均平均沖力沖力，即沖力沖力對時間的平均平均值。平均平均沖力沖力只是根據物體動量動量的變化計算出的平均平均值，它和實際的沖力沖力的極大值可能有較大的差別，因此它不足以完全說明碰撞碰撞所可能引起的破壞性。例3.1 汽車碰撞碰撞實驗。在一次碰撞碰撞實驗中，一質量為1200kg的汽車垂直沖向一固定壁，碰撞碰撞前速率速率為15.0m/s，碰撞碰撞后以1.50m/s的速率速率退回，碰撞碰撞時間為0.120s。試求： （1）汽車受壁的沖量沖量； （2）汽車受壁的平均平均沖力沖力。 解以汽車碰撞碰撞前的速度方向為正方向，則碰撞碰撞前汽車的速度v=15.0m/s，碰撞碰撞后汽車的速度v′=-1.50m/s，而汽車質量m=1200kg。 （1） 由動量動量定理動量定理知汽車受壁的沖量沖量為I=p′-p=mv′-mv=1200×(-1.50)-1200×15.0 =-1.98×104(N·s)(2) 由于碰撞碰撞時間Δt=0.120s，所以汽車受壁的平均平均沖力沖力為=IΔt=-1.98×1040.120=-165 (kN)上兩個結果的負號表明汽車所受壁的沖量沖量和平均平均沖力沖力的方向都和汽車碰撞前的速度方向相反。 平均平均沖力沖力的大小為165kN，約為汽車本身重量的14倍，瞬時大沖力沖力還要比這大得多。這種巨大的沖力沖力是車禍的破壞性的根源，而沖力沖力隨時間的時間的急速變化所引起的急動度急動度也是造成人身傷害的原因之一。例3.2 一個質量m=140 g的壘球以v=40m/s的速率速率沿水平方向飛向擊球手，被擊后它以相同速率速率沿θ=60°的仰角飛出，求壘球受棒的平均平均打擊力。設球和棒的接觸時間Δt=1.2ms。 解本題可用式（3.4)求解。由于該式是矢量式，所以可以用分量式求解，也可直接用矢量關系求解。下面分別給出兩種解法。 (1) 用分量式求解。已知v1=v2=v,選如圖32所示的坐標系，利用式(34)的分量式，由于v1x=-v,v2x=vcosθ，可得壘球受棒的平均平均圖3.2例3.2解法(1)圖示 打擊力的x方向分量為x=ΔpxΔt=mv2x-mv1xΔt=mvcosθ-m(-v)Δt =0.14×40×(cos60°+1)1.2×10-3=7.0×103(N)又由于v1y=0,v2y=vsinθ，可得此平均平均打擊力的y方向分量為Fy=ΔpyΔt=mv2y-mv1yΔt=mvsinθΔt =0.14×40×0.8661.2×10-3=4.0×103(N)球受棒的平均平均打擊力的大小為F=F2x+F2y=103×7.02+4.02=8.1×103(N)以α表示此力與水平方向的夾角，則tanα=FyFx=4.0×1037.0×103=0.57由此得α=30°（2） 直接用矢量公式（3.4）求解。按式（3.4）Δt＝Δp=m瘙經2-m瘙經1形成如圖3.3中的矢量三角形，其中mv2=mv1=mv。圖3.3例3.2解法（2）圖示 由等腰三角形可知,與水平面平面的夾角α=θ/2=30°，且Δt=2mvcosα，于是F=2mvcosαΔt=2×0.14×40×cosα1.2×10-3=8.1×103(N)注意，此打擊力約為壘球自重的5900倍!例3.3 圖3.4煤dm落入車廂被帶走一輛裝煤車以v=3m/s的速率速率從煤斗下面通過(圖34)，每秒鐘落入車廂的煤為Δm=500kg。如果使車廂的速率速率保持不變，應用多大的牽引力引力拉車廂(車廂與鋼軌間的摩擦忽略不計) 解先考慮煤落入車廂后運動狀態的改變。如圖3.4所示，以dm表示在dt時間內落入車廂的煤的質量。它在車廂對它的力f帶動下在dt時間內沿x方向的速率速率由零增加到與車廂速率速率v相同，而動量動量由0增加到dm·v。由動量動量定理動量定理式（3.1)得，對dm在x方向，應有fdt=dp=dm·v(3.5)對于車廂，在此dt時間內，它受到水平拉力F和煤dm對它的反作用f′的作用。此二力的合力合力沿x方向，為F-f′。由于車廂速度不變，所以動量動量也不變，式（3.1)給出(F-f′)dt=0(3.6)由牛頓牛頓第三定律f′=f(3.7)聯立解式（3.5)～式(3.7)可得F=dmdt·v以dm/dt=500kg/s，v=3m/s代入得 F=500×3=1.5×103(N) 3.2動量動量守恒定律動量守恒定律 在一個問題中，如果我們考慮的物件包括幾個物體，則它們總體上常被稱為一個物體系統或簡稱為系統。系統外的其他物體統稱為外界surroundings外界。系統內各物體間的相互作用力稱為內力內力，外界外界物體對系統內任意一物體的作用力稱為外力外力。例如，把地球與月球看做一個系統，則它們之間的相互作用力稱為內力內力，而系統外的物體如太陽太陽以及其他行星對地球或月球的引力引力都是外力外力。本節討論一個系統的動量動量變化的規律。 3.2動量動量守恒定律動量守恒定律先討論由兩個質點組成的系統。設這兩個質點的質點的質量分別為m1,m2。它們除分別受到相互作用力(內力內力)f和f′外，還受到系統外其他物體圖3.5兩個質點的質點的系統的作用力(外力外力)F1,F2,如圖35所示。分別對兩質點寫出動量動量定理動量定理式（3.1),得(F1+f)dt=dp1,(F2+f′)dt=dp2將這二式相加，可以得(F1+F2+f+f′)dt=dp1+dp2由于系統內力內力是一對作用力和反作用力，根據牛頓牛頓第三定律，得f=-f′或f+f′=0，因此上式給出(F1+F2)dt=d(p1+p2)如果系統包含兩個以上，例如i個質點，可仿照上述步驟對各個質點寫出牛頓牛頓定律公式，再相加。由于系統的各個內力內力總是以作用力和反作用力的形式成對出現的，所以它們的矢量總和等于零。因此，一般地又可得到∑iFidt=d∑ipi(3.8)其中∑iFi為系統受的合外力外力，∑ipi為系統的總動量動量。式（3.8)表明，系統的總動量動量隨時間的時間的變化率等于該系統所受的合外力外力。內力內力能使系統內各質點的質點的動量動量發生變化，但它們對系統的總動量動量沒有影響。（注意： “合外力外力”和“總動量動量”都是矢量和！）式（3.8）可稱為用于質點系質點系的動量動量定理動量定理。 如果在式（3.8)中，∑iFi=0,立即可以得到d∑ipi=0,或∑ipi=∑imi瘙經i=常矢量∑iFi=0(3.9)這就是說當一個質點系質點系所受的合外力外力為零時，這一質點系質點系的總動量動量就保持不變。這一結論叫做動量動量守恒定律動量守恒定律。 一個不受外界外界影響的系統，常被稱為孤立系統。一個孤立系統在運動過程過程中，其總動量動量保持不變。這也是動量動量守恒定律動量守恒定律的一種表述形式。 應用動量動量守恒定律動量守恒定律分析解決問題時，應該注意以下幾點。 (1) 系統動量動量守恒的條件是合外力外力為零，即∑iFi=0。但在外力外力比內力內力小得多的情況下，外力外力對質點系質點系的總動量動量變化影響甚小，這時可以認為近似滿足守恒條件，也就可以近似地應用動量動量守恒定律動量守恒定律。例如兩物體的碰撞碰撞過程過程，由于相互撞擊的內力內力往往很大，所以此時即使有摩擦力摩擦力或重力等外力外力，也常可忽略它們，而認為系統的總動量動量守恒。又如爆炸過程過程也屬于內力內力遠大于外力外力的過程過程，也可以認為在此過程過程中系統的總動量動量守恒。 (2) 動量動量守恒表示式(39)是矢量關系式。在實際問題中，常應用其分量式,即如果系統沿某一方向所受的合外力外力為零，則該系統沿此方向的總動量動量的分量守恒。例如，一個物體在空中爆炸后碎裂成幾塊，在忽略空氣阻力的情況下，這些碎塊受到的外力外力只有豎直向下的重力，因此它們的總動量動量在水平方向的分量是守恒的。 (3) 由于我們是用牛頓牛頓定律導出動量動量守恒定律動量守恒定律的，所以它只適用于慣性慣性系。 以上我們從牛頓牛頓定律出發導出了以式(3.9)表示的動量動量守恒定律動量守恒定律。應該指出，更普遍的動量動量守恒定律動量守恒定律並不依靠牛頓牛頓定律。動量動量概念不僅適用于以速度瘙經運動的質點或粒子粒子，而且也適用于電磁場，只是對于后者，其動量動量不再能用m瘙經這樣的形式表示。考慮包括電磁場在內的系統所發生的過程過程時，其總動量動量必須也把電磁場的動量動量計算在內。不但對可以用作用力和反作用力描述其相互作用的質點系質點系所發生的過程過程，動量動量守恒定律動量守恒定律成立；而且，大量實驗證明，對其內部的相互作用不能用力的概念描述的系統所發生的過程過程，如光子光子和電子電子的碰撞碰撞，光子光子轉化為電子電子，電子電子轉化為光子光子等過程過程，只要系統不受外界外界影響，它們的動量動量都是守恒的。動量動量守恒定律動量守恒定律實際上是關于自然界的自然界的一切物理過程過程的一條基本的定律。例3.4 沖擊擺ballistic pendulum沖擊擺。如圖36所示，一質量為M的物體被靜靜止懸掛著，今有一質量為m的子彈沿水平方向以速度瘙經射中圖3.6例3.4用圖物體並停留在其中。求子彈剛停在物體內時物體的速度。 解由于子彈從射入物體到停在其中所經歷的時間很短，所以在此過程過程中物體基本上未動而停在原來的平衡位置。于是對子彈和物體這一系統，在子彈射入這一短暫過程過程中，它們所受的水平方向的外力外力為零，因此水平方向的動量動量守恒。設子彈剛停在物體中時物體的速度為V，則此系統此時的水平總動量動量為（m+M)V。由于子彈射入前此系統的水平總動量動量為mv，所以有mv=(m+M)V由此得V=mm+Mv例3.5 如圖37所示，一個有1/4圓弧滑槽的大物體的質量為M，停在光滑的水平面平面上，另一質量為m的小物體自圓弧頂點由靜靜止下滑。求當小物體m滑到底時，大物體M在水平面平面上移動的距離。 圖37例35用圖 解選如圖3.7所示的坐標系，取m和M為系統。在m下滑過程過程中，在水平方向上，系統所受的合外力外力為零，因此水平方向上的動量動量守恒。由于系統的初動量動量為零，所以，如果以瘙經和V分別表示下滑過程過程中任一時刻m和M的速度，則應該有0=mvx+M(-V)因此對任一時刻都應該有mvx=MV就整個下落的時間t對此式積分，有m∫t0vxdt=M∫t0Vdt以s和S分別表示m和M在水平方向移動的距離，則有s=∫t0vxdt,S=∫t0Vdt因而有ms=MS又因為位移位移的相對性，有s=R-S,將此關系代入上式，即可得S=mm+MR值得注意的是，此距離值與弧形槽面是否光滑無關，只要M下面的水平面平面光滑就行了。例3.6 原子核147Sm是一種放射性核，它衰變時放出一α粒子粒子，自身變成143Nd核。已測得一靜靜止的147Sm核放出的α粒子粒子的速率速率是1.04×107m/s，求143Nd核的反沖速率速率。 解以M0和V0(V0=0)分別表示147Sm核的質量和速率速率，以M和V分別表示143Nd核的質量和速率速率，以m和v分別表示α粒子粒子的質量和速率速率，V和瘙經的方向如圖3.8所示，以147Sm核為系統。由于衰變只是147Sm核內部的現象，所以動量動量守恒。結合圖3.8所示坐標的方向，應有V和瘙經方向相反，其大小之間的關系為圖3.8147Sm衰變 M0V0=M(-V)+mv由此解得143Nd核的反沖速率速率應為V=mv-M0V0M=(M0-M)v-M0V0M代入數值得V=(147-143)×1.04×107-147×0143=2.91×105(m/s) 例3.7 粒子粒子碰撞碰撞。在一次α粒子散射α|particle scatteringα粒子粒子散射過程過程中，α粒子粒子(質量為m)和靜靜止的氧原子核(質量為M)發生“碰撞碰撞”(如圖39所示)。實驗測出碰撞碰撞后α粒子粒子沿與入射方向成θ=72°的方向運動，而氧原子核沿與α粒子粒子入射方向成β=41°的方向“反沖”。求α粒子粒子碰撞碰撞后與碰撞碰撞前的速率速率之比。 解粒子粒子的這種“碰撞碰撞”過程過程，實際上是它們在運動中相互靠近，繼而由于相互斥力的作用又相互分離的過程過程。考慮由α粒子粒子和氧原子核組成的系統。由于整個過程過程中僅有內力內力作用，所以系統的動量動量守恒。圖39例37用圖 設α粒子粒子碰撞碰撞前、后速度分別為瘙經1,瘙經2，氧核碰撞碰撞后速度為V。選如圖3.9所示坐標系，令x軸平行于α粒子粒子的入射方向。根據動量動量守恒的分量式，有x向mv2cosθ+MVcosβ=mv1 y向mv2sinθ-MVsinβ=0兩式聯立可解出v1=v2cosθ+v2sinθsinβcosβ=v2sinβsin(θ+β) v2v1=sinβsin(θ+β)=sin41°sin(72°+41°)=0.71即α粒子粒子碰撞碰撞后的速率速率約為碰撞碰撞前速率速率的71％。 3.3火箭火箭飛行原理3.3火箭火箭飛行原理 火箭火箭是一種利用燃料燃燒后噴出的氣體產生的反沖推力的發動機。它自帶燃料與助燃劑，因而可以在空間任何地方發動。火箭火箭技術在近代有很大的發展，火箭火箭炮以及各種各樣的導彈都利用火箭火箭發動機作動力，空間技術的發展更以火箭火箭技術為基礎。各式各樣的人造地球衛星、飛船和空間探測器space probe空間探測器都是靠火箭火箭發動機發射並控制航向的。 火箭火箭飛行原理分析如下。為簡單起見，設火箭火箭在自由空間飛行，即它不受引力引力或空氣阻力等圖3.10火箭火箭飛行原理說明圖任何外力外力的影響。如圖310所示，把某時刻t的火箭火箭(包括火箭火箭體和其中尚存的燃料)作為研究的系統，其總質量為M，以v表示此時刻火箭火箭的速率速率，則此時刻系統的總動量動量為Mv(沿空間坐標x軸正向)。此后經過dt時間，火箭火箭噴出質量為dm的氣體，其噴出速率速率相對于火箭火箭體為定值u。在t+dt時刻，火箭火箭體的速率速率增為v+dv。在此時刻系統的總動量動量為dm·(v-u)+(M-dm)(v+dv)由于噴出氣體的質量dm等于火箭火箭質量的減小，即-dM，所以上式可寫為-dM·(v-u)+(M+dM)(v+dv)由動量動量守恒定律動量守恒定律可得-dM·(v-u)+(M+dM)(v+dv)=Mv展開此等式，略去二階無窮小量dM·dv，可得udM+Mdv=0 或者 dv=-udMM設火箭火箭點火時質量為Mi,初速為vi，燃料燒完后火箭火箭質量為Mf，達到的末速度為vf，對上式積分則有∫vfvidv=-u∫MfMidMM 由此得 vf-vi=ulnMiMf(3.10)此式表明，火箭火箭在燃料燃燒后所增加的速率速率和噴氣速率速率成正比，也與火箭火箭的始末質量比(以下簡稱質量比)的自然對數成正比。 如果只以火箭火箭本身作為研究的系統，以F表示在時間間隔t到t+dt內噴出氣體對火箭火箭體（質量為（M-dm）)的推力，則根據動量動量定理動量定理，應有Fdt=(M-dm)［(v+dv)-v］=Mdv將上面已求得的結果Mdv=-udM=udm代入，可得F=udmdt(3.11)此式表明，火箭火箭發動機的推力與燃料燃燒速率速率dm/dt以及噴出氣體的相對速率速率u成正比。例如，一種火箭火箭的發動機的燃燒速率速率為1.38×104 kg/s，噴出氣體的相對速率速率為2.94×103m/s，理論上它所產生的推力為F=2.94×103×1.38×104=4.06×107(N)這相當于4000t海輪所受的浮力! 為了提高火箭火箭的末速度以滿足發射地球人造衛星人造衛星或其他航天器的要求，人們制造了若干單級火箭火箭串聯形成的多級火箭火箭（通常是三級火箭火箭）。 火箭火箭早是中國發明的。我國南宋時出現了作煙火玩物的“起火”，圖3.11“火龍出水”火箭火箭其后就出現了利用起火推動的翎箭。明代茅元儀著的《武備志》(1628年)中記有利用發動的“多箭頭”(10支到100支)的火箭火箭，以及用于水戰的叫做“火龍出水”的二級火箭火箭(見圖311，第二級藏在龍體內)。我國現在的火箭火箭技術也已達到世界先進水平。例如長征三號火箭火箭是三級大型運載火箭火箭，全長4325m,大直徑335m，起飛質量約202 t，起飛推力為28×103 kN。2003年我們發射了載人宇宙飛船宇宙飛船“神舟”5號。 3.4質心3.4質心 在討論一個質點系質點系的運動時，我們常常引入質量中心(簡稱質心質心)的概念。設一個質點系質點系由N個質點組成，以m1,m2,…,mi,…,mN分別表示各質點的質點的質量，以r1,r2,…,ri,…,rN分別表示各質點對某一坐標原點的位矢位矢(圖312)。我們用公式圖3.12質心的位置矢量 rC=∑imiri〖〗∑imi=∑imirim(3.12)定義這一質點系質點系的質心的位矢位矢，式中m=∑imi是質點系質點系的總質量。作為位置矢量，質心位矢位矢與坐標系的選擇有關。但可以證明質心相對于質點系質點系內各質點的質點的相對位置是不會隨坐標系的選擇而變化的，即質心是相對于質點系質點系本身的一個特定位置。 利用位矢位矢沿直角坐標系各坐標軸的分量，由式(3.12)可以得到質心坐標表示式如下: xC=∑imixim yC=∑imiyim zC=∑imizim(3.13)一個大的連續物體，可以認為是由許多質點(或叫質元)組成的，以dm表示其中任一質元的質量，以r表示其位矢位矢，則大物體的質心位置可用積分法求得，即有rC=∫rdm∫dm=∫rdmm(3.14)它的三個直角坐標分量式分別為xC=∫xdmm yC=∫ydmm zC=∫zdmm(3.15)利用上述公式，可求得均勻直棒、均勻圓環、均勻圓盤、均勻球體等形體的質心就在它們的幾何對稱中心上。 力學上還常應用重心center of gravity重心的概念。重心是一個物體各部分所受重力的重力的合力合力作用點。可以證明尺寸不十分大的物體，它的質心和重心的位置重合。例3.8 地月質心。地球質量ME=5.98×1024 kg，月球質量MM=7.35×1022 kg,它們的中心的距離l=3.84×105 km(參見圖313)。求地月系統的質心位置。 圖3.13例3.8用圖 解把地球和月球都看做均勻球體，它們的質心就都在各自的球心處。這樣就可以把地月系統看做地球與月球質量分別集中在各自的球心的兩個質點。選擇地球中心為原點，x軸沿著地球中心與月球中心的連線，則系統的質心坐標xC=ME·0+MM·lME+MM≈MMlME =7.35×10225.98×1024×3.84×105=4.72×103(km)這就是地月系統的質心到地球中心的距離。這一距離約為地球半徑(6.37×103km)的70％，約為地球到月球距離的12％。例3.9 半圓質心。一段均勻鐵絲彎成半圓形，其半徑為R，求此半圓形鐵絲的質心。 圖3.14例3.9用圖 解選如圖3.14所示的坐標系，坐標原點為圓心。由于半圓對y軸對稱，所以質心應該在y軸上。任取一小段鐵絲，其長度為dl，質量為dm。以ρl表示鐵絲的線密度(即單位長度鐵絲的質量)，則有dm=ρldl根據式(3.15)可得yC=∫yρldlm由于y=Rsinθ,dl=Rdθ，所以yC=∫π0Rsinθ·ρl·Rdθm=2ρlR2m鐵絲的總質量m=πRρl代入上式就可得yC=2πR即質心在y軸上離圓心2R/π處。注意，這一彎曲鐵絲的質心並不在鐵絲上，但它相對于鐵絲的位置是確定的。 3.5質心運動定理質心運動定理3.5質心運動定理質心運動定理 將式(312)中的rC對時間t求導，可得出質心運動的速度為瘙經C=drCdt=∑imidridtm=∑imi瘙經im(3.16) ……