考研數學三部曲之大話線性代數（簡體書）

潘鑫，俗稱老潘，曾在新東方等多個考研輔導機構擔任考研數學講師，現混跡于新思路，被眾多考研學子譽為“知識講解高人一等，例題解析入木三分”的考研數學講師。
其邏輯思維縝密嚴謹，尤其擅長于化繁為簡、直擊要害。曾在多個考研論壇、貼吧發表文章，在網絡上具有很高的知名度，是當前很受歡迎的考研數學講師之一。

超級導讀 線性代數大廈建造史（必看）
磨刀不誤砍柴工。只有把刀磨好了，砍柴時才會事半功倍。

1 考研數學線性代數就是一座大樓
運用比喻，生動形象地為大家展示線性代數之美。
2 幫你蓋樓
我是一個小有名氣的建筑師，我將和大家一起蓋好這座六層的大樓。
3 第1章到第6章的內容
大家來看看吧，這里有每一章展開后的樣子。
4 滿分要這樣才行
內因才是最重要的，大家要想考高分，就必須按本節所說的這樣去做。
5 給大家的話
愿我的話能激勵大家在最疲倦、最懈怠的時候，因為責任而堅持，因為擔當而無畏。
第1章 第一層--行列式
所謂行列式，無非是有行有列的東西。同學們，你們分得清什么是行什么是列嗎？如果分得清，就一定能學好行列式！
1.1 第一車磚--行列式長什么樣
我們在了解新事物的時候，最好先能對此事物有一個直觀的認識。
1.2 第二車磚--行列式的本質
看事物不能只看表面，還要看到事物的本質。
1.3 第三車磚--行列式的基本計算方法
如果大家認為行列式很難計算的話，那么在看完本節之后，一定會有不一樣的感受！
1.3.1 特殊行列式的計算
1.3.2 一般行列式的計算
1.4 第四車磚--行列式的五條性質
干一件事情，不光要把它干出來，還要有效率。行列式的五條性質將會使得行列式的計算變得容易。
1.4.1 性質1
1.4.2 性質2
1.4.3 性質3
1.4.4 性質4
1.4.5 性質5
1.5 第五車磚--克拉默法則
克拉默法則是什么？它和行列式有什么關系？
1.6 第六車磚--矩陣
來看看矩陣與行列式的區別吧，它們可不是同一個東西！
1.7 第七車磚--矩陣的運算
矩陣的運算一共有三種，想知道是哪三種嗎？
1.7.1 矩陣與矩陣相加
1.7.2 數字與矩陣相乘
1.7.3 矩陣與矩陣相乘
1.8 第八車磚--矩陣的轉置
矩陣與行列式一樣，都可以進行轉置，而且無論是行列式還是矩陣，轉置指的都是將第一行變為第一列，將第二行變為第二列……
1.9 第九車磚--方陣、對角矩陣、單位矩陣、逆矩陣
方陣是特殊的矩陣，對角矩陣是特殊的方陣，而單位矩陣又是特殊的對角矩陣……
1.9.1 方陣
1.9.2 對角矩陣
1.9.3 單位矩陣
1.9.4 逆矩陣
1.10 第十車磚--矩陣的向量表示法
矩陣可以用向量來表示，到底該怎么表示呢？
1.11 房間101--關于代數余子式的三句話
這三句話太重要了，考研中經常會考到。這是大樓第一層的第一個房間，大家一定要用心去搭建這個房間哦。
1.11.1 第一句話
1.11.2 第二句話
1.11.3 第三句話
1.11.4 真題分析
1.12 房間102--克拉默法則的推論
克拉默法則前面已經講過了，可又有誰能想到，克拉默法則還有推論呢。
1.12.1 第一個充分必要條件
1.12.2 第二個充分必要條件
1.12.3 第三個充分必要條件
1.12.4 第四個充分必要條件
1.12.5 真題分析
1.13 房間103--關于行列式的兩種計算題
前面的“磚”中所講的行列式的基本計算方法還不夠應對考研中所涉及到的行列式的計算題。要想輕松應對考研中的行列式計算題的話，就要認真閱讀本節。
1.13.1 抽象行列式的計算
1.13.2 具體行列式的計算
1.14 房間104--貫穿考研試題的思維定勢
第1章的最后一個房間，在這個房間中，我要告訴大家一個好消息--一個萬能公式。
1.15 小結
1.16 練習題
1.17 結尾語

第2章 第二層--矩陣
矩陣就是矩形啊，就是長方形。同學們，你們知道什么是長方形嗎？如果你們知道的話，還有什么理由學不好矩陣呢？
2.1 第一車磚--矩陣的初等變換
任何一個矩陣，都可以進行初等變換。那么，矩陣的初等變換究竟是什么呢？請閱讀本節的內容。
2.2 第二車磚--初等矩陣
單位矩陣只經過一次初等變換后形成的矩陣稱為初等矩陣。
2.3 第三車磚--矩陣的秩
矩陣的秩是線性代數學科中的一個至關重要的知識點，一個承上啟下的“橋梁”。
2.3.1 矩陣的子式的定義
2.3.2 矩陣的秩的定義
2.3.3 利用初等行變換來求矩陣的秩
2.4 房間201--第一個大總結
這個大總結可以說是重要極了，它貫穿于整個線性代數學科。請大家一定要把這個大總結熟練地背下來。
2.5 房間202--第二個大總結
本節內容完全可以由矩陣的運算推出來，但是本節的內容并不多余。如果大家能夠熟練地將本節內容背下來，做題速度將會大大加快。
2.6 房間203--矩陣乘法的兩條算定律
矩陣乘法滿足結合律，矩陣乘法對矩陣加減法滿足分配律。
2.6.1 矩陣乘法滿足結合律
2.6.2 矩陣乘法對矩陣加減法滿足分配律
2.7 房間204--可交換的矩陣相乘特例
注意，矩陣乘法不滿足交換律。但是，在本節的五個式子中，矩陣相乘是可以交換的。
2.8 房間205--關于矩陣轉置的四個公式
之前給大家講過矩陣的轉置，本節將要給大家介紹關于矩陣的轉置的四個公式。
2.9 房間206--關于矩陣可逆的六個公式
大家對于可逆矩陣并不陌生吧？既然如此，那么本節所講的關于矩陣可逆的六個公式對大家來說應該也是沒有難度的。
2.10 房間207--可逆矩陣、初等變換、初等矩陣、矩陣的秩之間的
關系以及等價矩陣
可逆矩陣、初等變換、初等矩陣以及矩陣的秩都已經給大家講過了，房間207則是把這幾個知識點融會貫通，使得同學們對于這部分知識的掌握達到考研的要求。
2.10.1 可逆矩陣與初等矩陣的關系
2.10.2 初等矩陣與初等變換的關系
2.10.3 初等變換與矩陣的秩的關系
2.10.4 初等矩陣的逆矩陣
2.10.5 等價矩陣
2.11 房間208--分塊矩陣以及一些知識點的深化
本節對一些常考題型的解題方法做了歸納總結，使得同學們可以更加輕松快捷的解題！
2.11.1 分塊矩陣
2.11.2 反對稱矩陣
2.11.3 求一個矩陣的逆矩陣
2.11.4 特殊分塊矩陣的逆矩陣
2.11.5 求一個矩陣的若干次冪
2.12 小結
2.13 練習題
2.14 結尾語

第3章 第三層--向量
同學們，你們矩陣都能學得那么好，而從矩陣中抽出一行或一列就是向量。也就是說，向量也是矩陣，只不過是特殊的矩陣罷了，更簡單了。你們有理由學不好嗎？
3.1 第一車磚--向量與向量組的基本概念
我們可以把向量組看成是一個大箱子，里面裝著可愛的“向量們”。
3.2 第二車磚--線性表出的概念
“線性表出”也叫“線性表示”，是反映一個向量與一個向量組之間關系的專有名詞。
3.3 第三車磚--線性相關與線性無關的概念
本節內容如果大家能掌握好，本章的后續章節就都不用怕啦！
3.4 第四車磚--最大無關組
“最大無關組”也稱“極大無關組”、“最大線性無關組”、“極大線性無關組”。
3.5 第五車磚--“向量組的秩”的概念
啊！又出現了一個帶“秩”的詞！大家快來看看它是啥玩意兒吧！
3.6 第六車磚--“向量組的秩”與“矩陣的秩”的關系
“向量組的秩”與“矩陣的秩”都帶“秩”字，它們到底有沒有關系？
3.7 第七車磚--線性表出的推廣
百尺竿頭，更進一步。讓我們將“線性表出”推廣開來吧！
3.8 第八車磚--等價向量組
什么？難道不光是兩個矩陣能等價，向量組也能？
3.9 房間301--關于線性相/無關要記的幾個結論
理科有時也像文科，該記的就記，該背的就背！
3.10 房間302--方程組的求解
本節我要給大家講的解方程組的方法與“克拉默法則”有什么區別呢？
3.10.1 求齊次方程組的通解
3.10.2 求非齊次方程組的通解
3.11 房間303--五個重要的定理
背下來！
3.11.1 定理1
3.11.2 定理2
3.11.3 定理3
3.11.4 定理4
3.11.5 定理5
3.11.6 真題分析
3.12 房間304--線性表出的本質
看到本質就一通百通啦！
3.13 房間305--初等行變換前后相應的列向量組具有相同的
線性相關性
本節是很有意思的一節，標題就是知識點，要搞明白哦。
3.14 房間306--與秩有關的八個公式
八大公式要背下來，務必！考研題中常在此處做文章。
3.15 房間307--向量空間
向量空間的不傳之秘。
3.15.1 向量空間，基，維數，坐標
3.15.2 基變換公式
3.15.3 正交向量，正交矩陣，正交化
3.16 房間308--線性相/無關的證明題
本節要總結一下線性相/無關的證明題的解題方法。只要大家認真閱讀，考研題中關于線性相/無關的證明題基本可以像劉翔一樣迅速跨過。
3.16.1 方法1
3.16.2 方法2
3.17 小結
3.18 練習題
3.19 結尾語

第4章 第四層--解線性方程組
小學就學過解方程組，現在只不過是未知數個數多了一點兒。什么？你不會？你一定是在開玩笑。
4.1 房間401--求兩個方程組的公共解
在第3章中，我們已經了解了如何求解齊次方程組和非齊次方程組。這一節我要告訴 大家的是如何求兩個方程組的公共解。很簡單，聯立即可……
4.2 房間402--同解方程組的證明
“同解方程組”與上一節所討論的問題“兩個方程組的公共解”有共同點也有不同點。
4.2.1 方法1
4.2.2 方法2
4.3 房間403--已知齊次方程組的基礎解系，反求齊次方程組
已知齊次方程組求基礎解系這大家肯定是會了，如果反過來呢？已知齊次方程組的基礎解系，該如何反求齊次方程組呢？
4.4 房間404--線性方程組解的性質
你了解線性方程組解的性質嗎？如果還是一頭霧霾，看完霾就散了。
4.5 房間405--通過討論方程組中參數的取值，判斷解的類型
方程組大家都會求解了吧？現在只不過是帶參數的方程組而已，換湯不換藥。
4.6 房間406--已知方程組解的類型，求方程組中的參數
如果上一個房間的解題方法掌握好的話，那本房間的落成簡直不費吹灰之力。
4.7 小結
4.8 練習題
4.9 結尾語

第5章 第五層--特征值、特征向量、相似矩陣
當大家看到車的標志，就可以分辨“奧迪”、“寶馬”和“奔馳”。車標就相當于“特征值、特征向量”。相似三角形了解不？相似矩陣比相似三角形更簡單。
5.1 第一車磚--特征值、特征向量的基本概念
特征值和特征向量一定要搞透，才能進行之后的計算。
5.2 第二車磚--特征值、特征向量的計算方法
一個方陣的特征值和特征向量可以通過某種計算方法計算出來嗎？廢話！
5.3 第三車磚--對稱矩陣、正交矩陣的復習
本節純屬復習，但相當有必要，結合其他知識，可以“溫故而知新”。
5.4 第四車磚--矩陣有多少個特征值為零
第二車磚中，我們搞清楚了求特征值的方法。本節要討論一個矩陣有多少個特征值為0。
5.5 第五車磚--相似矩陣
相似矩陣，顧名思義，真的很相似……
5.6 第六車磚--對角化
如果矩陣A可以相似于對角矩陣，則稱矩陣A可以對角化。信老潘，就這么簡單！
5.7 第七車磚--合同矩陣
合同矩陣與相似矩陣的定義式類似，所以請大家務必要區分清楚，記混是要犯錯誤的！
5.8 房間501--如何證明兩個矩陣有相同的特征值
四種方法，一節搞定。
5.9 房間502--幾個需要記住的結論
四條結論，務必背下。
5.9.1 結論1
5.9.2 結論2
5.9.3 結論3
5.9.4 結論4
5.10 房間503--與特征向量有關的證明題通常會用到反證法
有時，從結論出發，一順到頭才叫爽！
5.11 房間504--通過A的特征值、特征向量來推關于A的多項式的
特征值、特征向量
推理是很有意思的，破案。
5.12 房間505--什么樣的方陣可以對角化
在本章的第六車磚中，我給大家介紹了對角化的概念。但是，并不是說任意的一個方陣A，就一定可以對角化！
5.13 房間506--若方陣可以對角化，那么 以及P怎么求
本節內容基于上一節內容，上一節弄明白了，本節就跟看小說一樣。
5.14 房間507--關于相似矩陣的五個小結論
五個小結論，無窮大用途！
5.15 房間508--實對稱矩陣的兩個來自于不同特征值的特征向量
必正交
任何一個矩陣的兩個來自于不同特征值的特征向量必線性無關，而對于對稱矩陣來說，它的兩個來自于不同特征值的特征向量不但線性無關，而且正交。
5.16 房間509--實對稱矩陣一定可以相似于對角矩陣
在房間505中，我告訴了大家判斷某矩陣是否可以對角化的兩個步驟，而對于實對稱矩陣來說，一定可以對角化，根本就不需要用那兩個步驟去判斷。
5.17 房間510--實對稱矩陣一定可以合同于對角矩陣
標題即結論，很重要。
5.18 小結
5.19 練習題
5.20 結尾語

第6章 第六層--二次型
二次型就是多項式，而且是二次多項式。高中時大家連三次和四次多項式都見過，那么二次多項式又怎么會有難度呢？
6.1 第一車磚--二次型的定義
二次型只不過是每項均由“常數 變量 變量”所組成的多項式（大家上初中時就學過多項式）而已，就這么簡單。
6.2 第二車磚--二次型的對應矩陣
每個人都有一個夢想，每個二次型都有對應矩陣，而且可以互推，有點像函數表達式與函數圖像的關系！
6.3 第三車磚--利用矩陣乘法來表示二次型
任何一個二次型 都可以表示成 （其中 ，A為二次型的對應矩陣）。
6.4 第四車磚--標準形
標準形是特殊的二次型，那么，它到底如何“標準”呢？
6.5 第五車磚--規范形
規范形是特殊的標準形。也就是說，它比“標準形”更“標準” ！
6.6 第六車磚--化二次型為標準形
基本技能，不多少，看正文吧。
6.7 第七車磚--合同二次型
若兩個二次型的對應矩陣是合同矩陣，那么稱這兩個二次型為合同二次型。
6.8 第八車磚--正定二次型、正定矩陣
正定二次型是特殊的二次型。特殊性體現在：當 不全為零時，二次型 恒大于零。
6.9 房間601--用正交變換法化二次型為標準形
本節要與下一節結合來回看，了解兩種方法的特點。
6.10 房間602--用配方法化二次型為標準形
本節要與上一節結合來回看，了解兩種方法的特點。
6.11 房間603--兩個對稱矩陣合同的充分必要條件
在第5章的第七車磚中介紹了兩個矩陣合同的定義。可是實際上，我們很難通過定義來判斷兩個矩陣是否合同。于是我們迫切需要一個充分必要條件！
6.12 房間604--正定二次型、正定矩陣的證明方法
大家不要害怕證明題，其實很多時候，證明題甚至比計算題更簡單！
6.12.1 正定矩陣的證明方法
6.12.2 正定二次型的證明方法
6.13 小結
6.14 練習題
6.15 結尾語

超級導讀 線性代數大廈建造史（必看）
致正在準備研究生入學考試的同學們的話：本書共七章，此章雖不講具體的知識點，但其地位是相當重要的。因此，強烈建議大家，一定要閱讀本章的內容。
1 考研數學線性代數就是一座大樓
這座大樓共六層。第一層有四個房間，第二層有八個房間，第三層有八個房間，第四層有六個房間，第五層有十個房間，第六層有四個房間。你是一名工人，房地產開發商要求你在一片空地上蓋這么一座大樓，并且你和開發商簽了合同，合同中規定了停工日期。只要到了停工日期，無論你蓋完沒蓋完，你都不能再蓋了，必須接受開發商的檢查。開發商比較懶，他并不真正來工地一個一個門牌號的依次檢查，而是把你叫到辦公室，然后問你關于其中幾個房間的構造是什么樣的。比如，你到了他辦公室后，他可能會問三個問題（當然有可能問更多的問題）。
· 你介紹一下房間207和房間103的構造。
· 你介紹一下房間304的構造。
· 你介紹一下房間508和房間602的構造。
……
這三個問題如果你都答得讓他滿意，他會認為你已經把大樓完全蓋好了，于是他會給你三十萬元作為獎勵；如果你有一個問題沒有答出來，只答出了兩個問題，他會給你二十萬元；如果你只答出了一個問題，他就只給你十萬元；如果你一個問題都沒答出，他會非常生氣，認為你根本沒蓋，一分錢也不給你。
以上這段話我想說的是什么呢，請繼續往下看。
大樓： 考研數學線性代數這個學科；
大樓的每層： 指考研線性代數這個學科的每一章；
每層的房間數量： 每一章的考點數量；
房地產開發商： 考研數學線性代數部分的命題人；
工人： 你自己；
停工日期： 考試的日期；
開發商的辦公室： 考研考場；
開發商問你的問題： 考研數學線性代數部分的題目；
開發商給你的錢： 考研數學線性代數部分的得分。
有了這些對應關系后，我把前面的一大段話換一種方式敘述一遍。
考研數學線性代數部分的知識可以分為6章。第1章有4個考點，第2章有八個考點，第3章有8考點，第4章有6個考點，第5章有10個考點，第6章有4個考點。考研命題人規定了考研的日期，日期一到，不管你有沒有復習完，都要去考場參加考試。在考試中，你也許會在卷子上遇到三道（當然，有可能更多）線性代數的題，比如：
第1題：考到的是第2章的考點7和第1章的考點3。
第2題：考到的是第3章的考點4。
第3題：考到是第5章的考點8和第6章的考點2。
這三個問題你如果都答對了，你就得滿分，否則你將會被扣掉相應的分。
2 幫你蓋樓
親愛的同學，相信你看完上一節后，已經對你即將要蓋的這座考研數學線性代數大廈有了最初步的認識。而我，是一個小有名氣的建筑師，我將和你一起蓋好這座六層的大樓。無論如何，請相信我一句話：不管你的建筑功底如何，哪怕你是學音樂美術的，對建筑一竅不通，只要你愿意接受我的幫助，我可以保證你把這座六層的大樓蓋的金碧輝煌，我更可以保證你在面對開發商的詢問時，對答如流。
也許我上面的話太啰嗦。好，那我說直白點：任何人，記住是任何人，只要具有初中（連高中都不用）的數學基礎，只要你認真看完此書，那么，考研數學線性代數部分得滿分是十分容易的。
3 第1章到第6章的內容
第1章：第一層——行列式（其中有4個房間）；
第2章：第二層——矩陣（其中有8個房間）；
第3章：第三層——向量（其中有8個房間）；
第4章：第四層——解線性方程組（其中有6個房間）；
第5章：第五層——特征值、特征向量、相似矩陣（其中有10個房間）；
第6章：第六層——二次型（其中有4個房間）。
以上只是第1章到第6章的標題，下面我要告訴大家的是每一章展開后的樣子。
我就以第1章為例，說一下展開后的第1章是什么樣子的，其他各章的表達形式是一樣的。
看到這里，我相信你會覺得很奇怪，因為根據我之前說的，你們通常會覺得第1章的樣子應該如下圖：
可實際上，為什么除了房間以外，又多了“磚”呢？聽我解釋：沒有磚能蓋樓嗎？不能吧，因為巧婦難為無米之炊，磚是蓋樓的基礎。
那么這個“磚”，在線性代數大樓中又相當于什么呢？我以高考數學舉例。
高考數學考試大綱中一定會寫：要考排列組合、要考等差數列、要考立體幾何等，卻絕對不會寫：要考加減乘除四則運算、要考正負數、要考絕對值等。為什么不寫考這些？因為這些是基礎，是“磚”，會這些東西是必須的，是最基本的要求，所以高考考試大綱里就不必提了。盡管沒提，但是你能不會嗎？顯然不能不會。在線性代數中也是一樣，雖然考研卷子上只考“房間”，但是如果沒有“磚”，你怎么可能搭建一個個的房間呢？明白了吧。
所以接下來每一章的內容都是由“磚”和“房間”兩部分所組成的。
4 滿分要這樣才行
想要考研數學線性代數部分全對，這是每位考生的心愿。要想達成這個心愿，你需要做到以下兩點：
（1）書中的每一個知識點都要看。我想強調的是：本書不存在任何看不懂的可能性，因為我采用的表達方式非常通俗。因此，別落下任何一個知識點。
（2）在你看完每一章后，你需要把每一章的“房間”背下來（“磚”不用刻意去背，只要會了就行了，因為“磚”是最基本的。正如同參加高考的考生要背高考考試大綱中的考點，而不用去背最基本的加減乘除四則運算法則）。不是看懂就行，一定要背下來，這一點至關重要。我舉個例子，比如當你看完第1章之后你需要對自己說：這一章共有4個房間，每個房間的內容是什么。如果忘了，就查書，直到背下來為止。相信我，這一招可以收到奇效。當然，如果能夠默寫下來的話，那就更好了。比如，當你看完第1章后，你最好的方式就是拿一張白紙，白紙上這么寫：
大樓第一層：
房間101： ……………
房間102： ……………
房間103： ……………
房間104： ……………
你只要能默寫出來，那么這第一層就可以算是蓋好了。每層都這樣，考研數學線性代數部分一定是可以得滿分的。
5 給大家的話
有志者，事竟成。破釜沉舟，百二秦關終屬楚；
苦心人，天不負。臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳。