考研數學(二)歷年真題分題型精解（簡體書）

毛綱源教授，畢業于武漢大學，留校任教，後調入武漢理工大學擔任數學物理系系主任，在高校從事數學教學與科研工作40餘年，發表多篇關於考研數學的論文，主講微積分、線性代數、概率論與數理統計課程，理論功底深厚，教學經驗豐富，思維獨特，曾多次受邀在山東、廣東、湖北等地主講考研數學，並得到學員的廣泛認可和一致好評：“知識淵博，講解深入淺出，易於接受”，“解題方法靈活，技巧獨特，輔導針對性極強”，“對考研數學的出題形式、考試重難點瞭若指掌，上他的輔導班受益匪淺”……同樣，毛老師的系列數學輔導書也受到讀者的歡迎與好評，有興趣的讀者可以上網查詢有關對他編寫的圖書的評價。
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《毛綱源考研數學輔導系列:考研數學(2)歷年真題分類精解》除了可以供備考考研數學二的人員使用外，還可以作為理工類的學生平時學習時的參考資料。

第1部分 高等數學
第1章 函數極限連續
考點1.1.1函數的概論及其性質
題型1.1.1.1求分段函數的復合函數
題型1.1.1.2求反函數的表示式
題型1.1.1.3判別函數的奇偶性
題型1.1.1.4判別變上限積分函數F（x）=∫x0f（t）dt的奇偶性
題型1.1.1.5判別（證明）函數的週期性
考點1.1.2極限的概念與基本性質
題型1.1.2.1正確理解極限定義中的“ε—N”，“ε—δ”，“ε—X”語言的含義
題型1.1.2.2運用極限的保序性、保號性求解有關問題
題型1.1.2.3數列極限的概念及其運算性質
考點1.1.3求函數極限
題型1.1.3.1求0/0或∞/∞型未定式極限
題型1.1.3.2求∞—∞型未定式極限
題型1.1.3.3求冪指函數型（00型、∞0型、1∞型）未定式極限
題型1.1.3.4求含根式和（或根式差）的未定式極限
題型1.1.3.5求需先考察左、右（單側）極限的函數極限
題型1.1.3.6求含指數函數差因數的函數極限
考點1.1.4數列極限
題型1.1.4.1數列極限存在性的判定
題型1.1.4.2由遞推關系式定義的數列極限存在性的證明及其極限的求法
題型1.1.4.3求數列極限
題型1.1.4.4求某些積和式的極限
考點1.1.5無窮小量或無窮大量的比較
題型1.1.5.1無窮小量階的比較
題型1.1.5.2無窮大量階的比較
考點1.1.6已知一極限。確定待定常數、待定函數或另一待求極限
題型1.1.6.1已知極限式的極限反求其所含的未知參數
題型1.1.6.2已知含未知函數的一極限，求含該函數的另一函數極限
考點1.1.7討論函數的連續性及間斷點的類型
題型1.1.7.1討論函數的連續性
題型1.1.7.2判別函數f（x）的間斷點的類型
題型1.1.7.3利用連續性確定待定常數
題型1.1.7.4利用函數的連續性證明方程實根的存在性
第2章一元函數微分學
考點1.2.1導數定義的應用
題型1.2.1.1討論函數在某點的可導性
題型1.2.1.2討論分段函數的可導性及其導數的求法
題型1.2.1.3利用導數定義求極限或導數
題型1.2.1.4利用導數定義討論函數性質
考點1.2.2討論含絕對值函數的可導性
題型1.2.2.1討論絕對值函數|f（x）|的可導性
題型1.2.2.2討論函數f（x）=|（）（x）|g（x）的可導性
考點1.2.3求一元函數的導數和微分
題型1.2.3.1求隱函數的導數
題型1.2.3.2求反函數的導數
題型1.2.3.3求由參數方程所確定的函數的導數
題型1.2.3.4求某些簡單函數的高階導數
題型1.2.3.5求一元函數的微分
考點1.2.4利用微分中值定理證明中值等式
題型1.2.4.1利用羅爾定理證明中值等式
題型1.2.4.2利用拉格朗Et中值定理在證明與中值等式有關的問題上的應用
題型1.2.4.3柯西中值定理的應用
題型1.2.4.4求解高階導數中值滿足的等式
考點1.2.5利用導數和極限討論函數的性態
題型1.2.5.1判定函數的單調性
題型1.2.5.2函數極值點的判定
題型1.2.5.3利用極限式判定函數是否取得極值
題型1.2.5.4利用所給（二階微分）方程討論函數是否取得極值，其曲線是否有拐點
題型1.2.5.5求曲線的凹凸區間與拐點
題型1.2.5.6利用極值點或拐點討論函數性質
題型1.2.5.7求函數f（x）在區間[a，b]上的最值
題型1.2.5.8求曲線的漸近線
題型1.2.5.9確定函數方程存在實根
考點1.2.6利用導數證明函數不等式
題型1.2.6.1證明函數不等式
題型1.2.6.2證明數值不等式
考點1.2.7導數的幾何和物理應用
題型1.2.7.1平面曲線方程由顯函數y=f（x）給出，求其切線和法線方程
題型1.2.7.2曲線方程由隱函數方程F（x，y）=0給出，求其切線和法線方程
題型1.2.7.3曲線方程由參數方程{x=x（t） y=y（t）給出，求其切線與法線
題型1.2.7.4曲線方程由極坐標方程r=r（θ）給出，求其切線與法線方程
題型1.2.7.5求解與切線在坐標軸上的截距有關的問題
題型1.2.7.6求解現兩曲線相切的有關問題
題型1.2.7.7求解與曲率有關的問題
題型1.2.7.8求解與變化率有關的問題
第3章一元函數積分學
考點1.3.1計算不定積分
題型1.3.1.1計算被積函數中含有積分變量的無理根式的不定積分
題型1.3.1.2計算被積函數中含有對數函數的不定積分
題型1.3.1.3求被積函數含反三角函數的不定積分
題型1.3.1.4計算被積函數為有理函數的不定積分
題型1.3.1.5求被積函數為兩類不同函數乘積的不定積分
考點1.3.2計算定積分
題型1.3.2.1用分部積分法計算定積分
題型1.3.2.2計算需用換元法計算的定積分
題型1.3.2.3利用定積分的重要特性簡化計算定積分
題型1.3.2.4計算被積函數含抽象函數導數或被積函數導數已知的積分
題型1.3.2.5比較和估計定積分的大小
考點1.3.3變限積分
題型1.3.3.1求含變限積分的函數導數
題型1.3.3.2求分段函數的變限積分
題型1.3.3.3求與變限積分有關的極限
題型1.3.3.4求變限積分函數的定積分
題型1.3.3.5討論變限積分函數的性質
考點1.3.4計算反常積分（廣義積分）
題型1.3.4.1計算無窮區間上的反常積分
題型1.3.4.2計算無界函數的反常積分
題型1.3.4.3判別混合型反常積分的斂散性
考點1.3.5定積分在幾何上和物理上的應用
題型1.3.5.1計算平面圖形的面積
題型1.3.5.2已知曲線方程，求其繞坐標軸旋轉所得旋轉體的側面積（表面積）
題型1.3.5.3已知曲線方程，求其繞坐標軸旋轉所得的旋轉體體積
題型1.3.5.4計算平行截面面積已知的立體體積
題型1.3.5.5計算平面曲線的弧長
題型1.3.5.6求解定積分的應用與最值問題相結合的綜合題
題型1.3.5.7求函數在區間上的平均值
題型1.3.5.8定積分在物理上的應用
第4章多元函數微分學
考點1.4.1多元函數微分學中若干基本概念及其聯系
題型1.4.1.1多元函數微分學中幾個基本概念
題型1.4.1.2二元函數在某點極限存在、連續、可偏導及可微的關系
考點1.4.2計算多元函數的偏導數和全微分
題型1.4.2.1求多元顯函數的偏導數或全微分
題型1.4.2.2求抽象復合函數的偏導數或全微分
題型1.4.2.3利用隱函數存在性定理確定隱函數
題型1.4.2.4求隱函數的偏導數或全微分
題型1.4.2.5求二元函數的二階混合偏導數或全微分
題型1.4.2.6求含變限積分的二元函數的偏導數
題型1.4.2.7求在變換下方程的變形
考點1.4.3多元函數的極值與最值
題型1.4.3.1二元函數元條件極值的判別及其求法
題型1.4.3.2求二（多）元函數的條件極值
題型1.4.3.3求二元函數的最大值和最小值
第5章二重積分
考點1.5.1計算直角坐標系下的二重積分
題型1.5.1.1化二重積分為累次積分
題型1.5.1.2交換二次積分的積分次序
題型1.5.1.3利用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性簡化計算
題型1.5.1.4分塊計算二重積分
考點1.5.2用極坐標系計算二重積分
題型1.5.2.1計算圓域或部分圓域上的二重積分
考點1.5.3轉換坐標系計算二重積分
題型1.5.3.1將直角坐標系下的二重積分轉換為極坐標系下的二重積分計算
題型1.5.3.2將極坐標系下的二重積分轉換為直角坐標系下的二次積分計算
第6章常微分方程
考點1.6.1求解一階微分方程
題型1.6.1.1求解可分離變量的微分方程
題型1.6.1.2求解齊次方程
題型1.6.1.3求解一階線性方程
考點1.6.2求解高階常系數線性微分方程
題型1.6.2.1利用解的結構和性質求解微分方程
題型1.6.2.2求解可降階的微分方程
題型1.6.2.3求解高階常系數線性齊次微分方程的通解
題型1.6.2.4確定二階常系數非齊次微分方程的特解形式
題型1.6.2.5求解二階常系數非齊次線性方程
題型1.6.2.6求解含變限積分的方程
題型1.6.2.7求在變量代換下微分方程的變形，並求其解
考點1.6.3已知微分方程的通（特）解反求該微分方程
題型1.6.3.1已知微分方程的通（特）解，反求該齊次微分方程
題型1.6.3.2已知其特解或通解反求該非齊次線性方程
考點1.6.4微分方程的應用
題型1.6.4.1微分方程在幾何上的應用
題型1.6.4.2微分方程在物理上的應用
……
第2部分 線性代數

題型1.2.5.2 函數極值點的判定
導數為零的點即駐點或導數不存在的點都是可能的極值點。
判斷函數是否取得極值，是取極大值還是取極小值，可利用極值定義或函數取得極值的第一和第二充分條件來判別。
函數取得極值的第一充分條件是通過可能極值點左右兩邊導數的正負號來判斷函數在該點是否取得極值，是取極大值還是極小值。
第一充分條件用於判斷駐點處或導數不存在的點處函數的極值。
函數取得極值的第二充分條件是通過駐點處函數二階導數的正負號來判斷函數在該點是取極大值還是取極小值。
第二充分條件只用於判斷駐點處的函數極值，且要求駐點處函數的二階導數不為零，若為零，還得用另外的充分條件如第一充分條件判別。
例1.2.5.4[2003年2]設函數f（x）在（—∞，+∞）內連續，其導函數的圖形如圖1.2.5.3所示，則f（x）有（ ）。
（A）一個極小值點和兩個極大值點 （B）兩個極小值點和一個極大值點
（C）兩個極小值點和兩個極大值點 （D）三個極小值點和一個極大值點
[解題思路]可能的極值點是導數為零或導數不存在的點共4個，是極大值點還是極小值點可由極值的第一充分條件確定。
解 （1）因y′=f′（x）在x1處等於0，且在x1的兩旁改變符號，由正變負，故點x1為其極大值點。
（2）3y′在x2及x3處都等於0，且在它們的兩旁，y均改變符號，且都由負變正，故均為極小值點。
（3）在x=0處f（x）連續（因f（x）在（—∞，+∞）內連續），雖然f（x）不可導，但在其兩旁導數改變符號，由正變負，故x=0也為f（x）的極大值點。因而僅（C）入選。
注意 求極值點時，除考察駐點外還應考察不可導點，只要f（x）在點x=x0處連續，即使f′（x0）不存在，由極值的第一判別法知該點x0仍可能為極值點。
[考查知識點] 函數極值點的判定。
[錯解分析] 不少考生錯選答案為（B），錯選的原因是忘記了考察點x=0的性質，或將點x=0誤認為是間斷點。