數字奇航

一洗數學枯燥乏味的惡名
學生與老師都該一讀的數字趣味雜談

艾利克斯以最生動的方式帶領讀者重新認識數學的奧祕。
從人類的計數歷史文化出發，漫談不同文化的數字宇宙觀、摺紙的科學、數字遊戲、圓周率與黃金比例的祕密，甚至是賭場上的下注機率方式。本書也講述數學家們的生平軼事，既是數字的歷史雜談，也是奇妙的數字人類學。

＊ ＊　＊

你以為從1數到10是全世界的人都會的事嗎？
你知道1089的數字祕密嗎？
你曉得彩券是最糟的合法賭博嗎？
如果我們不用24小時制，而是把一天的時間分成一千份，這樣的生活節奏會變得如何呢？

數學被認為既枯燥又困難，而實際接觸起來通常也是如此。可是數學也深具啟發性、是可以理解的，更重要的是它極具原創力。本書作者艾利克斯想傳達出每一個數學發現的興奮與奧妙，他認為抽象數學是人類最偉大的成就之一，更算得上是人類進步的基石。數學是個令人驚歎的世界、充滿奧祕的遊樂園，歡迎大家到此一遊。

本書從第○章開始，先討論在有數字之前的世界是怎麼回事，數字又是如何出現的。緊接著第一章開始，「數」已經是人類生活不可分割的一部分，可以開始著手做正事了。從數字的計算方式、各種計算器、動物的數學觀念、○的概念、圓周率、X和Y的代數世界、機率，到生命靈數、摺紙的科學、數字魔術、數獨、黃金比例的祕密……，作者以最有趣生動的方式來探討我們生活周邊的各種數字和數學的呈現。

＊ 推薦／洪萬生（臺灣師範大學數學系退休教授）
＊ 導讀／胡守仁（淡江大學數學系教授）
＊ 入圍2010年英國山謬‧強森獎（Samuel Johnson Prize）非文學類
＊ 英國《星期天泰晤士報》（The Sunday Times）暢銷書

「讀完這本書將會讓您對數學著迷。」
──每日電訊報（The Daily Telegraph）

「這真的是一趟神奇的旅程，……哲學的、宗教的、魔術的、歷史的和基本的數羊都被包含在貝洛斯的數字行囊了。」
──泰晤士報（The Times）

「貝洛斯寫這本書的目的，就是要向讀者介紹令人興奮的數學發現，他做到了。」
──星期天泰晤士報（The Sunday Times）

「每一頁都能讀到艾利克斯對數學的熱情，……這本書值得被視為是風靡一時的經典之作。」
──伊恩．史都華（Ian Stewart），《給青年數學家的信》、《數學可以救羅馬嗎？》等十餘本數普書知名作家

孩童時代，我喜歡數學，也愛好寫作。青少年時期，仍然保持對這兩方面的熱愛，希望大學時可以專攻數學與哲學，一方面立足科學，另一方面也涉獵人文，那就完美極了。不過大學時，我把大部分時間都投身在學生報刊上，還曾在英國全國性的報刊上發表過文章，包括在《衛報》（Guardian）上的一篇文章，談論數學有多棒，這是我第一次寫與數學相關的文章，也是過去二十年僅有的一篇。

畢業後，我做了記者，我似乎放棄了數字的世界以擁抱文字的世界。我先在英國布萊頓（Brighton）的一份晚報工作，之後轉到幾份倫敦的報紙，最後成了派駐里約熱內盧的外國記者。偶爾，我受過訓練的數學頭腦發揮了作用，例如，找出美國哪一州的面積最接近亞馬遜剛被採伐殆盡的雨林帶面積，或是在各式各樣的金融危機中做匯率的轉換。不過，基本上我已把數學拋諸腦後了。

幾年前，我返回英國家鄉，不太確定下一步要做什麼。有段時間，我販賣巴西足球員的運動衫；我寫過部落格，想過進口熱帶水果，不過都不成功。在這段重新思考的過程中，我決定回頭看看年輕時耗費許多精力的課題，就因如此，我找到了靈感的火花，引領我寫下了現在這本書。

成年後再踏入數學世界，我的經驗與孩童時期截然不同。當時由於應付考試，往往忽略了真正引人入勝的事物，而現在我得以自由自在地涉獵看起來新奇有趣的事物。我學到了「民族數學」，研究不同文化如何看待數學，還有宗教如何塑造數學。近來行為心理學與神經科學的研究，拼合出頭腦如何思考數字的成果，令我著迷。

我覺得我就像一個身負重任的駐外特派記者，只不過這次，我的駐在地是抽象的數學世界。

由於我想要體驗數學的實際運用，我的旅程很快就變得全球性了。我飛往印度去學習這個國家如何發明了零，這可是歷史上人類心智最偉大的突破；我住進雷諾一間豪華賭場，親眼觀察機率如何成為博弈的基礎；在日本，我遇到了全世界最會計算的猩猩。

我的研究不斷進展，我發現我處於既是專家又是業餘者的微妙地位。再度學習學校教過的數學就像重新認識老朋友，此外還遇上許多老朋友的相識，而我從前並不認識他們，以及許多新出現的人物。例如，在我寫這本書之前，我並不知道好幾百年來，人們試圖在十進位的數系中引進兩個新的數，我也不知道摺紙術是很嚴肅的科學方法，對於數獨背後的理論我更是一無所知（因為那時候還沒有這玩意兒）。我踏上了許多意想不到的地方，如德國的萊比錫，亞歷桑納的斯考特戴爾；還有圖書館中未曾想過會探訪的書架。我花了難忘的一日閱讀與植物相關的儀式，去了解為什麼畢達哥拉斯（Pythagoras）吃東西極端挑剔。

本書由第○章開始，因為我想在這章討論在有數學之前的內容，是關於「數」是如何出現的。而第一章開始時，「數」已經是人類生活不可分割的一部分，可以開始著手做正事了。我盡量減少技術性的內容，但是並不想迴避所有的數學式子與證明。我希望讀者們有機會經驗一些數學的藝術成果，體會它們的優美。不過如果你不想管什麼數學式子或證明，本書的寫法也能夠讓你直接跳到下一節。各章的閱讀次序可以隨你所好，因為每一章的內容都各自獨立，不用讀過前面的章節也能了解。不過我還是希望讀者能從頭開始按順序閱讀，因為本書大致上是根據數學發現的歷史來編排，偶爾我也會用到前面所談過的材料。

我加入了相當份量的歷史資料，因為數學就是數學發展的歷史。人文科學永遠都因為新想法或新潮流取代了舊思維，而處於一再重複發現的狀態，應用科學的理論則總是經歷不斷的修正。但數學和它們不一樣，數學永遠不老化。畢氏定理或歐幾里得（Euclid）定理的成立，現今一如往昔，這也就是為什麼畢達哥拉斯和歐幾里得是我們在學校學到的最古老的名字。到了十六歲，學生所學到的數學不超過十七世紀中葉人們所懂的數學，到了十八歲，學到的也不過是十八世紀中葉的數學，而我在大學裡學到最現代的數學，則是來自一九二○年。

寫這本書時，我無時無刻不希望能傳達數學發現的興奮與奧妙，希望讓各位知道數學家是有趣的人，他們是邏輯之王，因此極度排斥不合邏輯的感覺。數學流傳在外的名聲是它既枯燥又困難，實情通常也是如此，可是數學也深具啟發性，是可以理解的，更重要的是它極具原創力。抽象數學的想法是人類最偉大的成就之一，它算得上是人類進步的基石。

數學，是個令人驚歎的世界，我建議各位不妨一遊。

艾利克斯．貝洛斯
二○一○年一月

導讀
歡迎光臨數字樂園／胡守仁（淡江大學數學系教授）

歡迎光臨數字樂園！雖然這是個古老的樂園，漫步其間依然是讚歎不絕，驚奇連連。

讓我們先走馬看花，逛逛這個樂園。數字樂園中最古老的把戲就是數數。數字在我們的生活中再平常不過了，幾乎自有記憶以來這些阿拉伯數字就如影隨行，然而從扳著手指數數，到確認這些能夠隨心所欲操弄的符號，可是個精采的故事。光是進位基底的數目，就經歷不少的嘗試與改變，直到今日，依然可見二進位、五進位、十二進位、二十進位、六十進位的痕跡。零的出現不僅讓數的表達與計算方便，更代表了人類對於數的概念更高層次的抽象化，引領數學「發明」了許多概念，例如負數、小數。

數完數之後，就要做算術了。阿拉伯數字來自印度，他們聲稱在吠陀經中找到算術方法，比起現在學校教的更為有效而快速，有些方法還真叫人拍案稱奇。在沒有計算機之前，算得快，算得準可是個了不起的本事。有段時間速算者是表演舞台的焦點，有些甚至受聘為歐洲核子研究中心的人肉計算機。人們也曾設計不少精巧的機械來做四則運算，而真正讓我們有效的計算複雜的乘法及除法，則是靠了對數的發明。然而能徒手計算出1到1,005,000的對數，精確到小數第七位，仍然讓人覺得不可思議。更別說計算到小數兩百位。是數中的名流，它是永不循環的無理數，它的小數展開完全沒有什麼規律可循。記憶的小數展開更是表演的好對象，一面記住的小數展開一面玩雜耍還是一項比賽呢！就算今天，還有人不斷地計算更多位數的，這可有個高尚的理由：測試電腦的處理容量，改進它的計算表現。

除了找尋越來越小的的小數位值，人們也找尋越來越大的質數。網路上的《網路梅森質數大搜尋》（The Great Internet Mersenne Prime Search）可說是最早的「分散式計算」計畫之一，目前連結了75,000部電腦，在這些電腦閒置時，使用它們的處理器來搜尋質數。搜尋質數又是為哪樁？這也有個高尚的理由：我們常用的密碼系統立足於整數相乘容易、分解困難的事實。我們需要大質數來確保安全。

縱使數學不是人人所愛，人們仍不免為一些益智謎題所吸引。從希臘神話中獅身人面怪獸提出的謎語到偵探小說，每當遇到一個謎題，我們的本能促使我們去解決它，直到達到目標。十九世紀初人們瘋迷七巧板，十九世紀末數字推盤也帶來了狂熱。幾年前，我們沉迷於數獨。魔術方塊的挑戰更是直到今日仍然熱絡，有單手的，有用腳轉動的，還有蒙眼的等等。然而最少到底需要多少步才能解決任意的魔術方塊呢？數獨方格中要先給出多少數字才有唯一的解？謎題不僅以神奇而簡潔的方式傳遞數學令人稱奇的內容，也常提出了許多深奧的數學問題。以好玩開始的問題，也能引起深度的探索。二十世紀初謎題專家杜德奈把三角形切成四片，重組為正方形，現在麻省理工的教授德緬推廣為分割一個多邊形，重新排列、相連而組成另外一個多邊形，如此一來，變形金剛豈不得以成真。

機率與統計的園地，更是驚奇連連。知道嗎？過去十屆世界盃足球決賽中有七屆至少有兩個球員的生日在同一天，巧合是吧！雖然說德國的樂透彩每一種數字組合中獎的機率是一千四百萬分之一，然而一九九五年和一九八六年有同一組數字中獎，詭異的巧合還是弊端？其實這個機率超過四分之一，嚇一跳吧。人的腦袋其實並不擅於了解隨機，機率的領域中充斥許許多多悖論和驚奇。我們直覺認為模式出現必有其因，很難相信這會是隨機的結果。當蘋果電腦推出iPod的隨機播放功能時，常有播完一首後，又重播同一歌手歌曲的現象，因而引起抱怨連連。想一想，既是隨機播放，每一首新播的歌都和先前播過的歌無關，出現一連串同一歌手的歌曲應該一點也不出奇。猜猜看，賈伯斯對這項抗議有什麼反應。

去到拉斯維加斯，總免不了試試手氣，我們是否真有機會打敗賭場？范恩的「隨機漫步」告訴我們賭徒破產是必然的結局。不過，一九六二年數學家索普（Ed Thorp）出版了《擊敗莊家》（Beat the Dealer）一書，發表了關於二十一點的算牌術，這本書不僅是賭博的經典書籍，更在經濟與金融界產生迴響，進而創造出財經市場的模型，並且將下注的策略應用其中。布萊克與休斯二人更創造出公式，指出如何訂定金融衍生產品的價格，這是華爾街最著名的公式。十六世紀時當卡丹諾（Girolamo Cardano）寫下《機遇遊戲之書》（The Book of Games of Chances）時，恐怕很難想像到這幅光景吧！

十九世紀統計學在機率論的基礎上發展起來。數學家龐卡瑞就由他購買麵包的重量，逮到麵包店偷斤減兩的證據。這正是現代消費者保護的理論基礎。商業標準部門為什麼能夠隨機抽取販售的商品樣本，就能判斷廣告是否不實？巨量的數據又如何檢驗是否偽造？

幾何園地幾乎和數字園地一般古老。歐幾里得以五個公理描述了這個美好而平坦的世界。龐卡瑞以圓盤為模型展示了一個奇特的世界，在我們的眼中，越靠近圓周，物體越變越小。然而其間的生物對此一無所知，依然生生不息。聽起來像是科幻小說中的空間，其實只需要更動歐幾里得的第五公理，讓過線外一點，有無窮多條直線通過該點並與此直線平行，得到的空間就和我們快樂生活的空間一樣真實，而上述的圓盤就是這個雙曲空間的模型，它像是經過了一個奇特鏡頭的扭曲。於是我們要問：到底如何將空間分類？而真實世界的雙曲面又是什麼樣子呢？電腦無法呈現它，因為希爾伯特證明了雙曲面無法由一個公式表示。然而，康乃爾大學的副教授泰米爾卻以鉤針織出了雙曲面，能在上面畫出可以摺成褲子一樣的正八邊形，也能顯示極限圓的樣子。古老的樂園還真充滿驚奇。

比較東西的多寡是進入數字樂園最早碰到的一個把戲。我們的概念中，一部分的東西當然要比全體的少。然而，當我們踏入有著無限多間房間的希爾伯特大飯店，明明客滿的飯店，多來了一個客人，能給他找出一間空房，多來兩個沒問題，就算來了一個、兩個、三個……無窮多的客人，也沒什麼好怕的，即使來了一輛、兩輛、三輛……無窮多輛遊覽車，每輛上有一位、兩位、三位……無窮多位客人，全部入住也不成問題。全部真的比部分多？比大小到底是怎麼一回事？似乎還有我們想不到的花樣。當我們踏入十九世紀康托建立的樂園，驚奇地發現我們可以無窮地比較無窮，無窮不只是數也數不完，它還有等級之分。整數、有理數是一樣多的無窮，實數卻是比他們還多的無窮。豈能不瞠目結舌！

多麼奇特的數字樂園，再一次，歡迎光臨！

導讀 歡迎光臨數字樂園
序言

第○章　數字之始
數字從何而來？在尚未發展出數字的語言與符號以前，人類是如何計數？亞馬遜叢林裡的孟杜魯庫人無法數數超過5以上；然而日本卻有一隻黑猩猩能理解「序數」的概念。人類與生俱來對於數字的直觀與現今精確的數學概念有何差別？
 
第一章　計數文化
從1到10，緊接著11、12、13……，看似理所當然，但並非絕對，其實世界上有許多文化是以非「10」為基底來計數。而日本與中國的算盤文化，也與基底有關。刻板印象中，中國人與日本人的數學很強，其實原因出在發音簡單的九九乘法表，以及有規則的數字文字。

第二章　看吧！
生命靈數看似迷信，然而數學史上最有名的畢氏定理發明人畢達格拉斯，也有一套反映自然的數學命理。另一位名人，歐幾里得開啟了有趣的幾何世界，而伊斯蘭世界則運用幾何藝術來崇敬宇宙真理。至於摺紙藝術的發展，已從休閒活動進而影響數學研究。

第三章　關於空無一物
印度聖者商羯羅大阿闍蔾，是宗教上的領袖，也是印度吠陀數學大使。吠陀數學是印度的科學，也代表了印度教的宇宙觀，例如「空」即是「零」的概念。他的方法不僅讓學童快速地學習數學，也讓全世界最頂尖的理工學者嘖嘖稱奇。

第四章　的故事
速算天才被當成神奇的表演者，人腦計算機，他們的目標就是超越一個又一個的紀錄。而圓周率，一個不循環不斷展開的無理數，更是獵者窮盡心力追求的終極目標。不論是速算者或是獵者，都在追求數字無窮無盡的境界。

第五章　X因子
代數的發明，幫助人們進一步解開困難的數學計算，而每個文化的代數運算符號都不相同，也各有其歷史。運算符號的改進也促成新概念的誕生，自從蘇格蘭數學家納皮爾發明對數之後，複雜的乘法變簡單了，還出現了對數計算尺，但現在已是珍貴的古董收藏。

第六章　遊戲時間
數字作為娛樂的歷史和數學一樣古老，像是中國古代的七角板還有幻方，幻方不僅是風水的的法則，也是最早期的數字拼圖遊戲。數讀更掀起全球熱潮，它讓鉛筆的銷售量增加了700%；還有歷久不衰的魔術方塊。且看看數字遊戲狂熱的一面。

第七章　數列的祕密
以一定方式排列的數，稱為數列。美國亞特蘭大的史隆是數列收藏達人，從最簡單的數列到惡魔數列還有音樂數列，都是他的收藏品，一一編號，並且架設網路整數數列大全，讓全球的數列收藏家共襄盛舉。

第八章　金手指
黃金比例，1:1.618，又稱為神聖比例，或是費波那契數列。仔細觀察大自然，花瓣的數目、樹葉的分布、動物的螺紋，都依從了黃金比例。而這個比例也是人類藝術的依據，舉凡建築、iPhone，都看得到她的身影，她是數字界的維納斯。

第九章　機遇好極了
賭博是機率的化身，如何破解吃角子老虎、輪盤、二十一點背後的機率，一直是賭徒們鑽研的數學課題，賭徒的智慧甚至啟發了財經保險市場各類金融商品的運作模型。但數學家指出，樂透彩是最差勁的賭注。

第十章　一切歸於正常
測量物品、計算數字，就是對事物進行統計。最著名的統計分布，就是高斯曲線，也就是鐘形曲線，但有時看似尋常的統計結果卻能改變歷史，端看人類如何解讀。

第十一章　盡頭到了
三角形的尖端有多尖？宇宙有多大？有沒有一個旅館能夠容納無限多的房客？無限延伸的雙曲面是什麼樣子？關於無限，一直困擾著數學家們。而康托引進了新的符號「א」來代表無限，開啟了無限的數字樂園。

第○章
數字之始

當我走進皮耶．皮卡（Pierre Pica）位於巴黎擁擠的公寓時，著實被那一整排的驅蚊劑給嚇壞了。經歷了五個月與當地印第安人的相處，皮卡剛從亞馬遜雨林回來，正在消毒帶回來的禮物。他的書房裝飾著部落面具、羽毛做成的頭飾以及編織的籃子，學術書籍重重壓著書架，一個沒做完的魔術方塊躺在壁架上。

我問皮卡旅途可好。

「很艱難。」他回答。

皮卡是位語言學家，或許正因為如此，他說話總是慢條斯理，也很小心，煞費苦心遣字用詞。他大約五十歲，不過看起來有點孩子氣，明亮的藍眼睛、紅潤的臉龐、柔軟卻凌亂的銀髮。他的聲調平和，舉止卻有些緊繃。

他是著名語言學家諾姆．喬姆斯基（Noam Chomsky）的學生，現在任職於法國國家科學研究中心。過去十年，他的研究重心是孟杜魯庫人（Munduruku），他們是居住於巴西亞馬遜的原住民，大約有七千人。孟杜魯庫人散居的亞馬遜雨林大小相當於美國紐澤西州，他們聚居於村落，過著狩獵與採集的生活。皮卡有興趣的是孟杜魯庫人的語言：它沒有動詞的時態、沒有複數、沒有超過五的數字。

為了進行他的考察工作，他經歷的旅程相當於偉大的探險家。距離這些印第安人最近的機場位於亞馬遜的聖塔萊姆（Santarém），離大西洋五百英里。從那裡，他搭乘十五小時的輪渡，沿著塔帕荷斯河（Tapajós River）行進了兩百英里，到達伊泰土巴（Itaituba），這裡以前是個淘金熱的小鎮，也是補充食物及燃料的最後一站。最後一次的旅程中，他在伊泰土巴僱了輛吉普車，滿載所需設備，包括電腦、太陽能板、電池、書籍和一百二十加侖的汽油。然後踏上橫越亞馬遜的公路，這是一九七○年代高價建造的國家基礎建設，現已成破敗的泥路，有時甚至艱險難以通行。

皮卡的目的地是加卡里坎嘎（Jacareacanga），伊泰土巴南面兩百英里的小聚落。我問他多久可以抵達那裡。「看情形嘍！有時候似乎一生一世，有時候兩天。」

「那這次花了多少時間？」我追問他。

「你知道，我們根本不知道多久可以到達，因為每次花的時間都不一樣。如果一切順利，雨季時大約需要十到十二小時。」

加卡里坎嘎位於孟杜魯庫人領域的分界線。要進入他們的居住地，皮卡必須等候印第安人出現，協商他們以獨木舟載他進去。

「那你要等多久？」我又問他。

「我等了相當一段時間，不過別問我等了多少天。」

「一、兩天嗎？」我試探著問。

過了好幾秒鐘，他皺了皺眉頭，「差不多兩個星期。」

離開巴黎一個月後，皮卡終於抵達他的目的地。當然，我還想知道由加卡里坎嘎到村落又花了多少時間。

現在皮卡對我這一系列的問題相當不耐煩了。「所有問題的答案都一樣，得看情形而定。」

我滿堅持：「這次花了多久時間？」

他結巴著說：「我不知道，我想可能……兩天……一天一夜……」

我愈是想從他口中得到實情和資訊，他愈是不想回答。我有點兒生氣。我不知道他答案的背後是法國人不妥協的性格，學術界的迂腐，還是單純的不想回答。我停止了繼續追問，轉而談論其他的事情。直到幾個小時之後，當我們談到由那個杳無人煙的蠻荒之地回家的感覺時，他才打開了心房。他說：「當我剛從亞馬遜回來時，我失去了對時間的感覺，對數字的感覺，可能還有對空間的感覺。」他會忘記約會、簡單的方向也會混淆。「巴黎的直線和角度，讓我在重新適應上，困難至極。」皮卡所以無法提供我量化的資訊，也是這種文化衝擊的一部分。他和那些幾乎不會數數的孟杜魯庫人相處太久了，連自己也失去以數字描述這個世界的能力。

* * *

雖然人們無法確定，不過數字的歷史不過只有一萬年。我的意思是指以一套有系統而實用的語言和符號來表達數字。有一種理論說，這種系統是隨著農業與交易發展而產生的，因為數字是記載存貨，保證不受騙不可或缺的工具。孟杜魯庫人只是勉強得以維持生計的農民，直到最近才有金錢交易的事，因此從未有機會發展計數的技巧。至於巴布新幾內亞的土著，數字的使用據說是由於他們有相當複雜交換禮物的習俗。亞馬遜的土著則沒有這種傳統。

幾萬年前，在沒有數字的時代，我們的祖先一定就有了某種數量的概念。他們知道一隻長毛象不同於兩隻長毛象，一晚不同於兩晚。不過由兩個東西的具體概念，到發明出符號或語言來表示抽象「二」的概念，這種人類心智上的大躍進，可是花費很長的時間才達成的。事實上這正是某些亞馬遜社會目前的情況，有些部落中關於數字的文字只有「一」、「二」和「許多」。孟杜魯庫人還可以一直數到五，算是比較複雜的了。

數字在我們的生活中再平常不過了，很難想像少了它們怎麼過日子。可是當皮卡與孟杜魯庫人一起生活時，他很快就陷入沒有數字存在的狀態。他睡在吊床上，去打獵，吃的是貘，犰狳和野豬。他根據太陽的位置推算時間。下雨天就呆在屋內，天晴就出門。根本沒有計數的需要。

不過，大於五的數字不在亞馬遜人的生活中出現，還是令我覺得很怪異。我問皮卡印第安人如何說「六條魚」。譬如說要為六個人準備晚餐，每個人要有一條魚。

「不可能，『我要六人份的魚』這樣的句子根本不存在。」他說。

如果問一個有六個小孩的孟杜魯庫人「你有幾個小孩」，他怎麼回答。

皮卡的答案還是一樣的：「他會說『我不知道』，這根本沒辦法表達。」

不過，皮卡加了一句，說這是文化的問題。孟杜魯庫人並不會一、二、三、四、五的數著小孩，然後抓抓腦袋不知道如何數下去。對他們而言，數數有幾個小孩是很荒唐的事。事實上，數任何東西都很荒唐。

皮卡說，孟杜魯庫人幹嘛要數有幾個小孩？小孩是由全社區的人共同照顧，沒人在意哪個小孩誰的。他說，就像法國人所說的，j’ai une grande famille.（我有一個大家族）。「當我說我有一個大家族時，我的意思是我不知道到底有多少人。哪些算是我家中的，哪些又是屬於別人家中的，沒人告訴過我。」類似情況，如果你問一個孟杜魯庫成年人，哪幾個小孩是他要負責任的，他會回答「我不知道」，這也是實話。

歷史上，孟杜魯庫人並不是唯一不點數社區人口的人。當大衛王點數他的人民時，他遭遇了三天瘟疫的懲罰，死了七萬七千人（《歷代志》上．二十一章）。猶太人只能夠間接的點數猶太人的數目。在猶太教堂中，要確定有起碼的十個人（minyan），以便進行宗教儀式時，就說一句十個字的禱告文，每個字針對一個人。用數字來點數人被認為是將人特別挑出，這使他們更容易遭逢厄運。如果你問一個正統猶太教的教士他有幾個小孩，你得到的答案很可能和問一個孟杜魯庫人一樣。

我曾經和一位長期從事原住民工作的巴西老師交談。她說那些印第安人對於外來者老是問他們有幾個小孩，特別感到壓逼，即使有時候那些人只是禮貌性的詢問。為什麼要點數小孩的數目，這讓他們起疑。

有關孟杜魯庫人的紀錄最早出現在一七六八年，有些墾荒者在一條河岸上看到了他們。一個世紀之後，方濟會（Fransiscan）的教士在孟杜魯庫人的居住地建立基地，十九世紀末葉，由於橡膠開採的熱潮，採膠人侵入該處，才有較多接觸。大多數的孟杜魯庫人還是相當與世隔絕，不過就像許多和外界接觸久了的印第安人，他們會穿著運動衫及短褲。無可避免地，現代生活的其他方面終歸會進入他們的生活，比方說電力及電視，還有數字。事實上，有些住在區域外圍的印第安人會說葡萄牙語（巴西的國語），也會用葡萄牙語數數。「他們會用葡語說一、二、三，一直到幾百。」皮卡說。「可是當你問他『那麼五減三是多少呢？』」他誇張的聳了聳肩。他們根本不知道。

* * *

在雨林中，皮卡靠著太陽能充電的筆電進行研究工作。由於潮濕炎熱的環境，維持硬體設備已經是個惡夢，但有時候更麻煩的是召集研究的對象。有一次一個村落的村長要求皮卡吞下一隻當地的大螞蟻，才讓他會見一個小孩。作為一位費盡心血的研究人員，皮卡只得苦著臉，嚼爛那隻螞蟻，再吞下去。

研究只用一隻手數數的人具有怎樣的數學能力，其目的就在發現人類對數字基本直覺的本質是什麼。皮卡想知道，哪一些是人類共通的能力，哪些是文化養成的。他做了一個很棒的實驗，觀察這些印第安人對數字空間性的認知。他們如何看待數字在直線上的分布？在現代社會中，我們經常得這麼做：使用量尺、直尺、圖表、街道上門牌的排列等。因為孟杜魯庫人並沒有數字，皮卡以電腦螢幕上的點來測試他們。對於每位受試者都在螢幕上顯示一條沒有刻度的直線。線的左邊有個一點，右邊有個十點。再給每個受試者一組一到十個點的集合。受試者則須指出這組點應該在線上的哪個位置，皮卡就會把游標移到該處，標示一下。經過重複的標示動作，他就能知道孟杜魯庫人如何間隔一到十。

當美國成年人做這個試驗時，他們把數字等距離的放在數線上。他們重新做出學校所學到的數線，相鄰的兩個數的距離都相等，就像直尺量出的一樣。而孟杜魯庫人的反應則相當不一樣。他們認為剛開始的數字相距較遠，數字越大，它們間的距離隨之變小。例如，一點與兩點的標示、兩點與三點的標示距離，要比七點與八點的標示、八點與九點標示的距離大得多。

這個結果頗出人意料。我們一般認為相鄰整數等距相隔是再明顯不過的事了。學校這麼教，我們也就這麼接受了，這也是所有度量和科學的根本。可是孟杜魯庫人卻不是這麼看世界，他們對於大小的看法與我們截然不同。

當數字以等距刻度在直尺上，這種比例的刻度稱之為線性的（linear）。當越大的數字靠得越近，這種刻度就是對數性的（logarithmic）。這種對數式刻度的看法並不是亞馬遜印第安人所獨有的。我們天生對數字的看法就是如此。二○○四年，卡內基麥倫大學的席格勒（Robert Siegler）與布詩（Julie Booth）曾對幼稚園（平均五．八歲）、一年級（六．九歲）及二年級（七．八歲）的學童做過類似的數線實驗。實驗結果顯示，我們的直覺如何隨著數數的成熟度漸漸塑造而成。幼稚園的孩童尚未接受正規的數學教育，數的對應呈現對數性。當他們學習了數的語言和符號，對應的圖形慢慢變直了。到了二年級，數字終於在數線上均勻分布了。

為什麼印第安人及孩童認為大的數字間隔要比小的數字間隔更為靠近？有個滿簡單的解釋。在實驗中，受試者要把給定的一組點，放在線段之間，左邊是一點，右邊是十點（給學童的實驗則是一百點）。想像一下，當一個孟杜魯庫人拿到五個點，他仔細研究後發現，五個點是一個點的五倍，而十個點是五個點的兩倍。孟杜魯庫人和小孩子似乎都是由數量的比例來決定數的位置。從比例的觀點出發，認為五與一的距離大於十與五的距離就很合邏輯了。如果以比例的角度判別數量的大小，所得到的刻度就一定是對數性的了。

皮卡相信由估計比例來了解數的大小是人類的天性。事實上沒有數的人，例如印第安人和小孩，除了用這個角度看世界，別無選擇。相反的，以精確的數字理解數量並不是與生俱來的，而是文化的產物。皮卡認為，比例與近似先於精確的數字是為了在荒野之地求生存，比例要比計數更為重要。面對揮舞著長茅的敵人，我們立刻需要知道他們的人數是不是比我們多。當我們看到兩棵樹時，我們立即想知道哪棵樹的果子比較多。兩種狀況下，我們都不需要一一數清楚，關鍵在於能夠快速估計相對的數量。

對數尺度也能真實反映我們所認知的距離，或許這是為什麼對數比較合乎直覺，對數考慮到透視。例如，我們看到一百公尺外有一棵樹，在它之後一百公尺有第二棵樹，第二個一百公尺看起來要短一點。對一個孟杜魯庫人而言，每一個一百公尺都一樣長，扭曲了他的感官世界。

精確的數目提供的是一個線性的架構，與我們對數的直觀相矛盾。事實上，我們對於精確數目的熟練，表示了在大多數情況下對數的直觀受到了壓制，不過並沒有完全消除，生活中，對於數的了解，線性與對數共存。例如，我們對於時間消逝的感覺通常是對數性的。我記得孩童時代時間過得似乎比現在要慢得多了。可是，反過來，昨天過得好像比上星期整個星期長得多。當我們思考很大的數目時，根深蒂固的對數本能就浮現了。我們都知道一與十的差別，我們不至於弄不清楚一瓶和十瓶啤酒。但是十億加侖的水和一百億加侖的水，差別有多大？雖然兩者相差的量十分龐大，在我們眼中，這兩個數量卻很相似，都是數量龐大的水。同樣的，「百萬富翁」、「億萬富翁」用起來就像同義詞，似乎很有錢和非常非常有錢沒有太大的差別，不過億萬富翁可比百萬富翁要有錢一百倍。數目越大，感覺起來差異卻沒那麼大。

皮卡在叢林中幾個月就暫時忘記了數字的運用，這表示我們對於數字的線性了解並不如對數性那樣深植於大腦之中。我們對於數的了解出乎意料的脆弱，這就是為什麼如果不是經常使用，我們就會喪失操弄精確數字的能力，恢復到本能的以近似與比例判別數目。

皮卡說他們關於人類數學本能的研究對於數學教育將帶來重大的影響，不管是對亞馬遜的印第安人或已發展國家。我們必須要了解線性的數線才能運行於現代社會，這可是量度與計算的基礎。但是或許我們對於線性的過分依賴以至於壓抑對數性的直覺，皮卡說或許這就是為什麼很多人覺得數學很難。或許我們應該更重視比例的判別而非精確數目的操作。同樣的，或許我們不該教孟杜魯庫人計數，因為這可能剝奪了他們數學的直觀以及生存的知識。