中學競賽數學（簡體書）

《中學競賽數學》是高等師范院校數學教育專業選修課競賽數學的教材。它既覆蓋中學數學的內容，又有高等數學的背景，更體現高等數學中解決問題的思想方法，是一本綜合性、提高性、銜接性的教材，《中學競賽數學》是在學生掌握了一定高等數學理論知識的基礎上，根據中學數學教學工作的實際需要進行編寫的，力求運用現代數學和高等數學中處理問題的思想方法來解決中學數學問題，對解題方法進行剖析、整理和研究，對學生已有的中學數學知識和技能進行復習鞏固、查缺補漏和進一步充實提高，以達到拓展思維能力、提高數學修養的目的。通過對《中學競賽數學》的學習，學生可了解中學數學競賽的開展情況，了解初、高中數學競賽的基本知識，掌握競賽數學的思維方法，提高數學修養，從而具有熟練分析和解決問題的基本能力，為能夠擔任中學數學競賽的輔導工作打下堅實基礎，《中學競賽數學》可作為高等師范院校、教育學院、教師進修學校數學系開設的競賽數學課程教材，也可作為數學奧林匹克教練員培訓班、優秀競賽選手培訓班的參考書。

劉影，1987年本科畢業于四平師范學院數學系，碩士畢業于東北師范大學數學與統計學院。現為吉林師范大學數學學院教授、碩士生導師、數學學科教學論方向學科帶頭人，吉林省高等師范院校數學教育研究會副理事長、全國高等師范院校數學教育研究會理事。為本科生開設數學教學論、中學數學研究、微格教學、數學教學測量與評價等課程，其中數學教學論課程自1994年至今一直是吉林省高等學校優秀課程。主持或參與完成教育部軟科學重點-研究項目和省級高等教育教學改革項目多項。在《吉林大學學報(理學版)》、《中小學教師培訓》、《中學數學的教9學》等刊物上發表學術論文30余篇，主編和參編教材10余部。2011年其主編的《數學教學論》教材獲吉林省優秀教材獎。指導學生參加“東芝杯”全國師范大學理科生教學技能創新大賽，并于2010年獲二等獎，2011年獲一等獎和創新獎。

《中學競賽數學》是21世紀高等師范院校數學教育教學系列教材,本科數學教育選修課教材之一。

緒論
第一節 數學競賽的產生
一、中國數學競賽的產生
二、歐洲數學競賽的產生
第二節 國際數學奧林匹克競賽
一、世界各國的數學競賽熱潮
二、國際數學奧林匹克競賽的誕生
三、國際數學奧林匹克競賽的發展階段
四、國際數學奧林匹克競賽的運轉常規
第三節 中國數學競賽
一、中國數學競賽發展的三個階段
二、中國數學競賽的組織機制
三、對數學競賽“熱”的思考
第四節 中學數學競賽大綱
一、初中數學競賽大綱
二、高中數學競賽大綱
本章參考文獻

第一章 整除與同余
第一節 整數的整除性
一、整數的整除性
二、奇數與偶數
三、質數與合數
四、完全平方數
第二節 同余
一、基本概念
二、基本性質
三、典型例題解析
第三節 高斯函數
一、基本概念
二、基本性質
三、基本結論
四、典型例題解析
第四節 復數
一、基本概念
二、復數的三種形式
三、基本性質
四、典型例題解析
習題
本章參考文獻

第二章 數列與不等式
第一節 數列
一、等差數列與等比數列
三、高階等差數列與等比數列
三、遞推數列與周期數列
四、數列的求和
五、數列的性質
第二節 不等式
一、不等式的解集
二、基本性質
三、不等式的常用解法
四、不等式的證明
五、一些重要的不等式
第三節 條件最值
一、利用不等式求條件最值
二、利用換元法求條件最值
三、利用函數的知識求條件最值
四、利用數形結合思想求條件最值
五、離散型條件最值問題
習題二
本章參考文獻

第三章 多項式與方程
第一節 多項式
一、基本知識
二、常用方法
三、典型例題解析
第二節 函數方程
一、基本知識
二、常用方法
三、典型例題解析
第三節 不定方程
一、基本知識
二、幾個特殊類型不定方程的求解定理
三、常用方法
四、典型例題解析
習題三
本章參考文獻

第四章 平面幾何與立體幾何
第一節 平面幾何
一、幾個著名定理及其應用
二、三角形的“五心”
三、點共圓、點共線、線共點、定點及面積問題
四、平面幾何問題基本解題方法
第二節 立體幾何
一、空間共線、共面與平行
二、空間中的角
三、空間中的距離
四、棱柱與棱錐
五、旋轉體
習題四
本章參考文獻

第五章 平面解析幾何與幾何不等式
第一節 平面解析幾何
一、基本結論
二、典型例題解析
第二節 幾何不等式
一、幾何不等式
二、幾個著名的代數不等式在幾何中的應用
三、幾個著名的定理和幾何不等式的應用
習題五
本章參考文獻

第六章 組合數學
第一節 抽屜原理
一、抽屜原理的四種形式
二、抽屜原理的解題思想
三、典型例題解析
第二節 容斥原理
一、預備知識
二、容斥原理
三、容斥原理的解題思想
四、典型例題解析
第三節 排列與組合
一、加法原理與乘法原理
二、排列與組合
三、典型例題解析
習題六
本章參考文獻

第七章 組合幾何與圖論
第一節 組合幾何
一、 基本知識
二、典型例題解析
第二節 圖形覆蓋
一、基本知識
二、典型例題解析
第三節 圖論
一、基本知識
二、典型例題解析
習題七
本章參考文獻

第八章 構造法與數學歸納法
第一節 構造法
一、構造關系
二、構造幾何模型，使代數問題幾何化
三、構造方程模型，使幾何問題代數化
四、構造極端情況
五、構造對應的平面模型，將空間問題化為平面問題
六、構造集合
七、構造新數列
第二節 數學歸納法
一、第一數學歸納法
二、第二數學歸納法
三、跳躍數學歸納法
四、反向數學歸納法
五、螺旋式數學歸納法
六、二重數學歸納法
習題八
本章參考文獻

賽的認識，并不一致。有人認為：數學競賽只作用于少數天才兒童，會忽略大多數；過早的專業興趣會妨礙青少年的全面發展；競賽題多為偏難怪題，與日常數學教學脫節等。但比較統一的認識是：競賽本身不會自動產生問題，關鍵是如何組織競賽，如何使多數人都能參與，如何使競賽符合日常教學等。這些情況提醒國內數學競賽“熱”要注意把握“普及性”與“數學上普遍的高標準”之間、“大眾數學”與“最好的學生在數學上的發展”之間的平衡為此應該做到以下幾點：
(1)處理好課內課外的關系，以課內為主，課外為輔，不能脫離教學實際，要讓數學競賽成為日常教學的有效補充。
(2)處理好普及與提高的關系，以普及為主且與提高相結合。
(3)處理好大多數與少數尖子的關系，以保護大多數為基礎的出發點，鑒于此，分層次、分階段進行金字塔式選拔是合適的，各地區、各單位獨立評選優勝者是切實和可行的。
(4)大面積開展的競賽應以中學為主，中學又應以高中為主。
(5)要堅持能力發展原則和趣味性原則。
數學競賽“熱”已經把很多部門和單位卷了進來，功利主義的誘惑也使一些人失去了理性，也出現了推波助瀾的惡果，這在我國已經有過許多一哄而起的失敗教訓，但是，中國數學會對數學競賽的組織一直是清醒的，并且按照原國家教委1995年《關于加強中小學生競賽、評獎活動管理的通知》的精神，本著全面貫徹教育方針，不使學生有過多課業負擔的原則，堅持正確引導、合理組織，保證數學競賽活動沿著正確的軌道運行。