數值分析（簡體書）

李乃成、梅立泉編著的《數值分析》介紹了科學與工程計算中常用的數值計算方法及相關理論。內容包括解線性方程組的直接法和迭代法、插值法、函數最優逼近、數值微積分、非線性方程（組）的迭代解法、矩陣特征值和特征向量的計算、常微分與偏微分方程數值解法等。其中包含了一些在實際中有重要應用的新方法，如求解超定方程組的最小二乘法、求解線性方程組的基于伽遼金原理的迭代法、奇異值分解、廣義特征值問題的求解方法等。同時。對數值計算方法的計算效率、穩定性、收斂性、誤差估計、適用范圍及優缺點也進行了分析和介紹。 《數值分析》可作為高等院校數學系各專業本科生和各類工科專業研究生的教材或教學參考書，也可供從事科學與工程計算的科研工作者閱讀參考。

李乃成、梅立泉編著的《數值分析》是為理工科大學各專業研究生72學時“數值計算方法”課程編寫的教材。以介紹常用、實用的數值計算方法為主，在介紹經典計算方法的基礎上，本著推陳出新、與時俱進的精神，增加了一些在實際中有著重要應用的、近年來發展的新方法。如超定方程組的求解方法、求解線性方程組的基于伽遼金原理的迭代法、奇異值分解、廣義特征值問題的求解方法等。 本書重點突出、層次分明、推導詳細、清晰易懂，內容由淺入深、循序漸進，便于自學與教學，可供從事科學與工程計算的科技工作者參考，也適宜于相關專業人員自學。

前言第1章 緒論 1.1 數值分析研究的內容與特點 1.2 誤差 1.2.1 誤差的來源與分類 1.2.2 絕對誤差、相對誤差與準確數字 1.2.3 計算機中數的表示與舍入誤差 1.2.4 數據誤差影響的估計 1.3 算法的數值穩定性 小結 習題第2章 解線性方程組的直接法 2.1 高斯消去法 2.1.1 高斯消去法 2.1.2 高斯消去法中乘除法的運算量 2.1.3 高斯消去法順利進行的條件 2.1.4 高斯消去法的算法組織 2.1.5 列主元高斯消去法 2.2 矩陣的三角分解 2.2.1 高斯消去法的矩陣形式 2.2.2 矩陣的LU分解 2.2.3 平方根法和改進平方根法 2.2.4 求解三對角方程組的追趕法 2.3 舍入誤差對解的影響 2.3.1 向量范數與矩陣范數 2.3.2 舍入誤差對解的影響 2.4 正交變換與矩陣的QR分解 2.4.1 吉文斯變換與豪斯霍爾德變換 2.4.2 矩陣的QR分解 2.5 超定方程組 2.5.1 線性最小二乘問題 2.5.2 最小二乘問題的求解 小結 習題 計算實習第3章 解線性方程組的迭代法 3.1 向量序列和矩陣序列的極限 3.2 解線性方程組的基本迭代法 3.2.1 迭代法的一般格式 3.2.2 三種基本迭代法 3.3 迭代法的收斂性 3.3.1 迭代法的矩陣表示 3.3.2 迭代法的收斂性 3.4 共軛梯度法 3.4.1 求解線性方程組與求解二次函數極小點的等價性 3.4.2 共軛梯度法 3.5 基于伽遼金原理的迭代法 3.5.1 伽遼金原理和克雷洛夫子空間 3.5.2 阿諾爾迪過程 3.5.3 阿諾爾迪算法 3.5.4 廣義極小殘余算法 小結 習題 計算實習第4章 插值法 4.1 多項式插值問題 4.2 拉格朗日插值多項式 4.3 牛頓插值多項式 4.3.1 差商的定義 4.3.2 牛頓插值多項式 4.3.3 差商的性質 4.4 埃爾米特插值多項式 4.5 分段低次插值多項式 4.5.1 高次插值多項式的缺陷 4.5.2 分段低次插值法 4.6 三次樣條插值函數 4.6.1 三次樣條插值函數的定義 4.6.2 三次樣條插值函數的導出 4.6.3 三次樣條插值函數的收斂性與誤差估計 小結 習題 計算實習第5章 函數最優逼近 5.1 函數的內積、范數和正交多項式 5.1.1 函數的內積和范數 5.1.2 正交多項式 5.2 最優平方逼近 5.2.1 最優平方逼近 5.2.2 E規方程組 5.3 最優一致逼近 5.3.1 最優一致逼近多項式 5.3.2 近似最優一致逼近多項式 小結 習題 計算實習第6章 數值積分與數值微分 6.1 牛頓—科茨求積公式 6.1.1 數值積分的基本思想 6.1.2 牛頓—科茨求積公式 6.1.3 復化求積公式 6.1.4 變步長積分法 6.1.5 龍貝格積分法 6.2 待定系數法與高斯型求積公式 6.2.1 代數精度與待定系數法 6.2.2 廣義佩亞諾定理 6.2.3 高斯型求積公式 6.2.4 常用的4種高斯型求積公式 6.3 數值積分的穩定性 6.4 數值微分 6.4.1 插值型數值微分公式 6.4.2 待定系數法 6.4.3 外推求導法 6.4.4 利用三次樣條插值函數求導法 小結 習題 計算實習第7章 非線性方程（組）的迭代解法 7.1 求解非線性方程的迭代法 7.1.1 幾種基本迭代法 7.1.2 迭代法的收斂性 7.1.3 迭代法的收斂速度 7.1.4 加速收斂技術 7.2 求解非線性代數方程組的迭代法 7.2.1 簡單迭代法 7.2.2 牛頓法 7.2.3 弦割法 7.2.4 布洛依登法 小結 習題 計算實習第8章 矩陣特征值與特征向量的計算 8.1 基本性質 8.2 求一般矩陣特征值的計算方法 8.2.1 乘冪法及反冪法 8.2.2 求矩陣全部特征值與特征向量的QR方法 8.2.3 阿諾爾迪方法 8.3 求實對稱矩陣特征值的計算方法 8.3.1 雅可比方法 8.3.2 吉文斯方法 8.3.3 蘭喬斯方法 8.4 奇異值（SVD）的計算 8.5 廣義特征值問題 8.5.1 廣義Schur分解 8.5.2 對稱正定矩陣的廣義Schur分解 小結 習題 計算實習第9章 常微分方程數值解法 9.1 初值問題常用數值解法的建立與使用 9.1.1 基本數值解法的建立與隱式法的求解 9.1.2 龍格—庫塔法 9.1.3 待定系數法、預測—校正公式 9.2 數值解中誤差的積累、數值方法的收斂性和絕對穩定性 9.2.1 數值解中誤差的積累和數值方法的收斂性 9.2.2 絕對穩定性 9.3 一階微分方程組與高階方程的數值解法 9.3.1 一階微分方程組 9.3.2 高階常微分方程 9.4 邊值問題的數值解法 9.4.1 有限差分法 9.4.2 打靶法 小結 習題 計算實習第10章 偏微分方程的數值解法 10.1 橢圓型邊值問題 10.1.1 差分方程的建立 10.1.2 差分解的誤差估計與收斂性 10.1.3 一般二階橢圓型方程邊值問題 10.2 拋物型方程初、邊值問題 10.2.1 差分方程的建立與求解 10.2.2 差分格式的穩定性 10.2.3 差分解的誤差估計與收斂性 10.3 雙曲型方程混合問題 10.3.1 一階雙曲型方程 10.3.2 一階常系數雙曲型方程組 10.3.3 階雙曲型方程 10.4 有限元法 10.4.1 變分原理 10.4.2 伽遼金逼近解 10.4.3 單元及形狀函數 10.4.4 有限元求解步驟 小結 習題 計算實習參考文獻