廣義Ball曲線曲面的幾何造型研究（簡體書）

在計算機輔助幾何設計中，定義在千變萬化的拓撲結構上的自由曲線曲面存在著千變萬化的形式，而廣義Ball曲線曲面則是其中一種在曲線求值及升降階的計算速度方面明顯優于Bezier曲線的曲線曲面。本文主要是基于不同形式曲線曲面之間的轉換，并結合區間（圓域）算法、曲線曲面的降階等問題，對廣義Ball曲線曲面幾何造型的相關問題進行了較深入的研究。研究成果主要體現在以下幾個方面：
1．在wsGB基函數的對偶基的基礎上，得到了wsGB曲線與Bezier曲線之間的互換關系式，同時也就得到了Bezier曲線與Said-Ball曲線、wang-Ball曲線之間的互換。另外，還給出了一種wsGB曲線的顯式細分算法，從而避免了轉換成冪基及求逆的過程。還給出了幾個相關的組合恒等式以及冪函數在wSGB基下的Marsden恒等式。同時，由wSGB基與Bernstein基之間的轉換公式，還給出了wsGB曲線的包絡算法（幾何生成算法）。
2．劉松濤和劉根洪（〔劉96〕）、鄔弘毅（〔鄔98〕）曾分別利用菱形算法與直接展開法給出了三角域上Said—Ball曲面與B∈zier曲面之間的轉換公式。而本文通過引入一族三角域上帶位置參數H的廣義Ball基和廣義Ball曲面，利用相鄰兩曲面的基函數之間的關系，給出三角域上said—Ball曲面與B∈zier曲面之間互相轉換的遞歸算法。該算法計算量小，編程簡單，更有助于廣義Ball曲面的推廣應用。最后還在計算復雜性方面與〔劉96〕的菱形算法與〔鄔98〕的直接展開法這兩種不同的算法進行了比較。
3．目前，Bezier曲線曲面降多階方法中多采用求逆矩陣的方法得到逼近曲線的控制點表達式，這無疑會導致計算的復雜性。Tchebyshev多項式的最小零偏差性質在研究曲線曲面降階時起到了非常重要的作用，有鑒于此，本文給出了Tchebyshev多項式與Bernstein基函數之間的轉換遞推算法，將其應用于Bezier曲線曲面的降階處理，避免了求近似最佳一致逼近曲線時需要求逆矩陣的麻煩，且該算法穩定、計算量小。
4．給出了區間said—Ball曲線的邊界表示，并分別用線性規劃法及最佳一致逼近法討論了區間Ball曲線的降階算法。實驗結果表明，用最佳一致逼近法效果顯然比線性規劃法好。若利用線性規劃法得到的區問曲線不能達到預期的誤差，則可以先對曲線在t=1／2處做細分，再逐段用線性規劃法降階，而且用線性規劃法對n（n≥3）次區間Ball曲線降階時。降階后的曲線必定插值端點，而利用最佳一致逼近法則不一定，若要實現插值端點，則必須增加約束條件。
5．討論了圓域said—Ball曲線的降階問題。首先給出圓域said—Ball曲線的定義，討論了圓域Said—Ball曲線的相關性質，在提出圓域Said—Ball曲線的降階問題后，主要利用最佳一致逼近法給出一般的降階和保端點插值的降階算法。當降階算法不能達到預期效果時，我們同樣可以采用先對圓域said—Ball曲線細分的方法再分段進行降階。
6．給出了wSGB曲線兩種不同的降階算法，即：擾動法和最佳一致逼近法；給出了兩種方法所得降階曲線與原曲線的逼近誤差與相對逼近誤差，并通過實例對兩種降階算法進行了比較。

江平，女，1972年10月生，博士，副教授。1995年畢業于華東師范大學應用數學專業，獲學士學位；2005年畢業于合肥工業大學計算數學專業，獲理學碩士學位；2006年合肥工業大學計算機應用與技術專業博士畢業，獲工學博士學位。目前從事的主要研究領域為計算數學和計算機應用。主持完成了合肥工業大學科學研究發展基金項目，目前還承擔安徽省高等學校青年教師資助科研計劃1項，參加了國家自然科學基金和安徽省自然科學基金項目等多個項目的研究工作。近年來在國內外重要學術期刊上發表論文10余篇。其中2篇被SOI收錄，7篇被日收錄。

總序
致謝
摘要
Abstract
第1章 緒 言
1.1 參數曲線曲面造型技術的發展歷史
1.2 廣義Ball曲線
1.2.1 Wang Ball曲線
1.2.2 Said Ball曲線
1.2.3 Said Bezier型廣義Ball曲線（SBGB型曲線）
1.2.4 Wang—Said型廣義Ball曲線（WSGB型曲線）
1.3 Bezier曲線、曲面的降階
1.4 區間算法
1.5 本文的內容安排
第2章 WSGB型廣義Ball曲線的細分和包絡
2.1 SSGB型廣義Ball曲線的細分
2.1.1 奇數次WSGB型廣義Ball曲線的細分
2.1.2 偶數次WSGB型廣義Ball曲線的細分
2.1.3 計算wSGB型曲線的細分矩陣的算法
2.1.4 WSGB基函數下的Marsden恒等式
2.1.5 數值實例
2.2 WSGB型曲線的包絡
2.2.1 n次WSGB型曲線由n-1次WSGB曲線族的包絡
2.2.2 n次WSGB型曲線由n-s（s≥1）次WSGB曲線族的包篾
2.2.3 數值實例
2.3 結論
第3章 三角域上Said—Ball曲面與Bezier曲面之間一種新的轉換算法
3.1 Bezier曲面到廣義Ball曲面的轉換公式
3.2 三角域上一族帶位置參數的廣義Ball曲面
3.3 三角域上Bezier曲面與廣義Said—Ball曲面的遞歸算法
3.4 算法與實例
3.5 本文算法與原算法計算量的比較
3.6 結論
第4章 區間Said—Ball曲線的邊界及降階
4.1 區間算法與區間Said—Ball曲線
4.2 區間Said Ball曲線的邊界
4.3 區間Said—Ball曲線的降階
4.3.1 線性規劃法
4.3.2 最佳一致逼近法
4.3.3 保端點插值的最佳一致逼近法
4.4 實例
4.5 結論
第5章 圓域Said Ball曲線的降階
5.1 圓域Said Ball曲線
5.1.1 圓域算法
5.1.2 圓域Said—Ball曲線
5.1.3 圓域Said Ball曲線的性質
5.2 圓域said—Ball曲線的降階
5.2.1 圓域Said Ball曲線的一般降階
5.2.2 圓域Said—Ball曲線的保端點插值降階
5.3 邊界誤差
5.4 實例
5.5 結論
第6章 Wang—Said型廣義Ball曲線的降階
6.1 引言
6.2 WSGB型曲線的降階
6.2.1 擾動法
6.2.2 最佳一致逼近法
6.3 誤差
6.4 數值實例
6.5 結論
第7章 Tchebyshev多項式與Bernstein多項式的互換及其在曲線曲面降階上的應用
7.1 Tchebyshev多項式與Bernstein多項式的互換
7.2 Bfizier曲線的近似最佳一致降多階
7.2.1 一般的降多階
7.2.2 保端點插值的降多階
7.3 Bezier曲面的近似最佳一致降多階
7.4 結論
第8章 總結與展望
8.1 全文總結
8.2 今后研究工作展望
參考文獻
攻讀博士學位期間發表的論文