大學生數學競賽習題精講(第3版)（簡體書）

本書是為大學生數學競賽（非數學專業）編寫的教學輔導教材，內容覆蓋了大學高等數學(微積分)等課程。全書共有7章，共約1200多道題，其中有精心選取的全國競賽（非數學類）的部分原題。書中還給出了*近幾屆全國大學生數學競賽（非數學類）的試卷，有別於試卷本身的“參考答案”，我們對部分題目重新做了解答，為讀者提供了更高質量的參考解答。題目難度有一定的差異，以適合不同層次和不同專業的學生對數學競賽或考研輔導的需求。全部習題都附有較詳細的解答，以便於讀者自學。書中經典的基本題約占二分之一，且涵蓋的題目類型廣泛，近年數學競賽的很多題目都可在本書中找到蹤影。對於經濟和管理類的學生，除了“曲線與曲面積分”一節的內容之外，其他章節皆適用。此外，書中加入了一些歷史上的數學名題，如“*速降線問題”“等周問題”“圓周率是無理數”； 還提供了一些數學新題，如“公路占地原理”“彎管的啟示”等，以適合高層次學生對數學知識的追求。新版中對每一節的習題都做了詳細的分類，特色題大都給予命名並開列在目錄中，以幫助讀者歸納和查找，使該書的內容更加系統化。

陳兆斗

1950年生人，理學碩士，中國地質大學（北京）數學教師，教授。多年參加北京市大學生數學競賽的命題工作，並多次對學生做競賽輔導。
科研方面，參加過國家自然科學基金和863等科研項目；在國內外發表過30多篇論文。編寫教材方面，編寫出版了《高等數學（工本）》北京大學出版社（2006年）（主編），《高等數學（工本）習題詳解》清華大學出版社（2006年）（主編），《高等數學（下冊）》北京大學出版社（2008年）（主編）。

作者從各種相關圖書中精選了1200多道競賽水平的例題和習題，並重新作答，有些題目還給出了多種解法，以拓展讀者的解題思路。為了便於讀者集中練習，對所選的習題進行了細致的分類和並按照先易後難的次序對同類題目進行排序。雖然每道練習題都給出了詳細的解答，但為了給讀者營造自主完成練習的環境，分提示、答案、解答三個層次來幫助讀者逐步完成練習。

前言

自2010年《大學生數學競賽習題精講》發行以來，受到全國各高校師生的廣泛關注和熱評，收到了輔導教師和參賽學生大量的反饋信息和建議，我們在此基礎上對本書進行了多次修改、重印和再版，至今已經是第3版了。在多次的改版中，仍堅持以數學競賽的訓練為主導思想，保留了很多基本題，並且增加了更多的新題目，同時刪除了很多過於繁瑣枯燥且不適合數學競賽的題目。使得教材中的題目穩定保持在1200多道題，同時給出了最近幾屆全國大學生數學競賽(非數學類)的試卷。有別於試卷本身的“參考答案”，本書對部分試題重新做了解答，為讀者提供了更高質量的參考解答。
在本書中，有特色的題大都被命名並開列在目錄中，如“用施托爾茨定理求極限”“線性微分方程特解的算子解法”“將地球變為黑洞”等。對每一節的習題都以標題的形式做了詳細的分類，以幫助讀者歸納和查找，也使該書的內容更為系統化。為適合“非數學專業”學生的特點，習題的解答避免使用諸如“εδ”“一致連續”“一致收斂”等專業化的數學概念和方法，這樣更適合非數學專業的學生解題。全書習題的難易差異較大，以適合不同層次的學生對數學競賽或考研輔導的需求。經典的基本題約占二分之一，書中難度較大的題目都標以“*”號。本書涵蓋的題目類型廣泛，近年數學競賽的很多題目都可在本書中找到蹤影。由於只在決賽階段才會出現15%~20%的線性代數試題，其數量很少且不成系統，因此在本書中沒有安排線性代數的內容。
為滿足高層次學生對“數學夢”的追求，本書中增加了很多趣味性的題目。這些題目本身或解題的技巧性都很有吸引力，它們在其他的教學參考書中幾乎是見不到的，如“陳家全的百米世界紀錄”“默比烏斯帶的參數方程”“曲線簇的包絡線”“公路占地原理”“彎管的啟示”等題目。一些歷史名題也被列入本書之中，如 “等周問題”“圓周率是無理數”“最速降線問題”等。它們都經過作者的改寫，使得非數學專業的學生也能夠讀懂。這些題被標以“**”，並介紹了相應的歷史背景。現在理工科本科學生所學的微積分知識已經非常豐富，遠超於牛頓的微積分水平，因此對於牛頓時期的歷史名題，讀者可以小試牛刀，看看自己與數學大師們的差距，以此鍛煉創造性的思維，這是一件很有樂趣的事情。一些純數學問題在本書中做了應用化處理，以強調數學建模的重要意義，如“咕嚕金定理”“一刀二餅問題”“公路隔離欄原理”“馬王堆一號墓的年代考證”等，這樣的題目也可以作為數學建模的教學案例。
教師在輔導的過程中，應注意多講基本題。具有代表性的基本題大都被編排在例題之中。很多基本題盡管也有一定的難度，但教師講授的重點則應放在解題的基本方法和思路上。例如“微分中值等式”問題，本書給出了構造輔助函數的一般性方法，教師只需把這個方法講明白，此類習題可由學生自己完成。本書配有詳細的習題解答，很適合學生自學之用。特別是積分應用中的各種微元法，其基本思想分別在各個積分章節的“內容要點”和題目的評注裡做了闡述，講授時要做到融會貫通。微積分的復雜演算是眾多參賽學生的弱項，教師應在競賽的培訓中注意對學生的演算能力、耐心和技巧的培養。本書中提供了大量的演算技巧和簡算方法，這也是在培訓中需加以強調之處。對於經濟和管理類的學生，除去“曲線與曲面積分”的內容，其他內容皆適用。
本書的編寫受到了很多高校教師的關心和幫助，他們是： 北京郵電大學的孫洪祥，中國地質大學(北京)的李志剛、邢永麗，北京科技大學的李衛東、王輝等，在此表示感謝。也感謝曾慶黎、李少琪、陳振國、趙麗娟等老師為本書提供的大量咨詢工作。
大學生數學競賽是促進大學數學教育，培養學生創新能力的重要方式。期望本書成為廣大參賽學生和數學愛好者的有益讀物，書中的很多習題也可以用於其他數學教學之中。此書還有很多不足之處，懇請讀者批評指正。

編者2019年12月

目錄

第1部分要點、例題與習題

第1章一元函數的極限與連續

1.1極限

1.1.1內容要點

1.1.2例題選講

1.1.3習題匯編
 內容分類
一般數列的極限
遞推、迭代數列的極限
數列的收斂速度
數列極限的綜合題
函數極限
 特色題
數列極限的平均值例2
數列xn 1=c xn的極限例3
用比值法和根值法求數列極限例5
數列an，n-p趨於零的速度比較例7（1）
lnαx,xβ,eγx趨於無窮大速度的比較例7（2）
用施托爾茨定理求數列極限題10
用夾逼準則求數列極限題12
數列 sinnθ 的極限題15
用單調有界原理求數列極限題25
方程tanx=x的根所成數列的
極限題37
交叉迭代的數列極限題41
空間中4個點交叉迭代的點列
極限題43
冪指型極限的等價無窮小代換題51
用微分中值定理求極限題52
笛卡兒葉形線的漸近線題56

函數 (ax1 ax2 … axn)/n1/x的
極限題61
x→0 時函數 xxxx的極限題62
1.2一元函數的連續性

1.2.1內容要點

1.2.2例題選講

1.2.3習題匯編
 內容分類
介值定理、零點定理與連續性
函數方程與連續性
連續函數的應用題
 特色題
2x的函數方程例1
橢圓的外切正方形例2
奇偶次多項式的實零點與最值例3
連續性與不動點例4
最大、最小函數的連續性題8
地球上的同溫點題14
陳家全的百米世界紀錄題15
方桌的平穩擺放問題題17
“一刀二餅”問題題19
第2章一元函數微分學

2.1導數、微分中值定理

2.1.1內容要點

2.1.2例題選講

2.1.3習題匯編
 內容分類
求導法

高階導數

導函數的性質
微分中值等式
 特色題
用遞推公式求x=0處arctanx的
高階導數例3
導函數的極限定理例5

導函數的介值定理例7
微分中值等式的一般解法例10
函數行列式的導數題14
相關變化率題16
反函數的二三階導數題27

導數不為零的函數是單調函數題33
導函數沒有第一類間斷點題34
重根與導函數題39
其他特色題題2，25（2），31
2.2導數與函數的單調、極值、凸凹及
泰勒公式

2.2.1內容要點

2.2.2例題選講

2.2.3習題匯編
 內容分類
泰勒公式
泰勒公式與不等式
函數的單調性與不等式
函數的凹凸性與不等式
函數的極值與最值
 特色題

函數展開為麥克勞林公式的常用
方法例1
麥克勞林公式與等價無窮小例2
泰勒公式與不等式例3，4
極值的高階導數判別法例8
關於嚴格凹（凸）不等式例10
從低階到高階排列的4個無窮小題7
若爾當不等式 2θπ≤sinθ≤θ題24
反函數的凹凸性題29
平均值不等式題35
柯西不等式題36
凹凸函數與最值題44
數列 {nn}的最大項題46
函數∑ni=1|x－ai|的最小值題47
伯努利不等式(1 x)α≥1 αx題49
其他特色題
題9，26，27，28，32，37，39，54
2.3一元函數微分學綜合題
 內容分類
導數與函數方程、恒等式
方程的根與導數
優化問題
其他綜合題
 特色題
f(x)=tanx的函數方程題4
方程2x=x2 1有3個不同的實根
題17
多項式［(x2－1)n］(n)的實零點分布
題20
由圖形判斷x3－3x p=0的根題26
公路上的選址問題與重心法題30
函數1 x … xn/n!的實零點題38
e是無理數題43
誤差悖論與泰勒公式題45
與arctanx的高階導數有關的問題題47
數列{nsin(2πen!)}的極限題50

最大熵原理題55

其他特色題
題1，10，14，15，24，42，49，57

第3章不定積分與定積分

3.1不定積分

3.1.1內容要點

3.1.2例題選講

3.1.3習題匯編
 內容分類 
有理函數的積分
三角函數有理式的積分
無理函數的積分
冪三指函數的積分
綜合題
 特色題
有理函數積分的5個常見類型例1
三角函數有理式積分的常用換元法例2
函數系{Pn(x)eλx}對原函數的封
閉性例8
非常規分解的有理函數的積分題2
∫tannxdx與∫sinnxdx的遞推公式題5
∫cosmxsinnxdx的遞推公式題7
用倒代換計算的積分題10
∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的積分
題13
函數系{Pn(x)eaxcosbx Qn(x)eaxsinbx}對原函數的封閉性題15
分段函數的原函數題26
3.2定積分及其在幾何與物理中的
應用

3.2.1內容要點

3.2.2例題選講

3.2.3習題匯編
 內容分類
定積分與廣義積分的計算
積分等式及變限積分
定積分在幾何與物理中的應用
 特色題
某些定積分的簡算例2，題1
連接兩點的最短路徑是線段例4
求變項和的極限例5
定積分與微元法例6
圖形繞斜軸的旋轉體體積例7，題30
正交函數系題7,8
柱殼法求旋轉體體積題29
橢圓外等距線的長度題38
惠更斯擺的等時性題44
旋輪線的等時性題45
其他特色題例3，題2，15，17，19，23
3.3定積分綜合題
 內容分類
積分不等式
積分極限
其他綜合題
 特色題
積分的柯西不等式題3
凹凸形函數的積分不等式與等式題15
積分極限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx題21
積分極限 limx→ ∞∫x0|sint|dt/x題29
原函數的奇偶性和周期性題32
圓周率π是無理數題37
最大微分熵題43
其他特色題題2,4，11，12,18，42，48

第4章多元函數微分學

4.1函數與圖形

4.1.1內容要點

4.1.2例題選講

4.1.3習題匯編
 特色題
下料問題例1
曲面上的螞蟻尋路問題例2，題14
正劈錐的參數方程例3
默比烏斯帶的參數方程例5
一般旋轉曲面的參數方程例6
在橢球面上截圓題1
單葉雙曲面是直紋面題6
歐拉四面體問題題8
齊次函數與錐面方程題11
空間圓的參數方程題15
禮花綻放題21
其他特色題題16，17，18
4.2多元函數的極限、連續與微分

4.2.1內容要點

4.2.2例題選講

4.2.3習題匯編
 內容分類
多元函數的極限與連續
偏導數
全微分
高階偏導數
綜合題
 特色題
x2 y2的方向導數與偏導數例4
已知全微分求原函數例7，題18
高階偏導數例10，題20
解偏微分方程例13，題31
極坐標下的偏導數題6
調和函數題21,22
一個二元函數的恒等式題34
齊次函數題38
其他特色題例8，題7，37
4.3多元函數微分學的應用

4.3.1 內容要點

4.3.2例題選講

4.3.3習題匯編
 內容分類
多元函數微分學的幾何應用
多元函數的極值與最值
多元函數微分學的綜合題
 特色題
曲線簇的包絡線例2，題6,7
等距線例3，題9
最遠（近）點的垂線原理例5，題24,25，26，27
一個不尋常的切線問題題2
橢球面的切線束題10
柱面方程的特征題11
唯一極值非最值的例子題22
點到3條直線的距離之和最小題32
4點共圓時四邊形的面積最大題36
三角形的費馬點題37
其他特色題題15，21，37，38，
第5章多元函數積分學

5.1重積分

5.1.1內容要點

5.1.2例題選講

5.1.3習題匯編
 內容分類
重積分的計算與簡算
重積分的一般變量代換
含參數的積分
積分不等式
求面積和體積問題
綜合題
 特色題
重積分的對稱奇偶性例1
用重心法計算的重積分例3
卷積的計算例7，題21
卷積的運算律題20
二次型與橢圓的面積題31
二次型與橢球的體積題33
其他特色題例5,6，題5，11，22，23，26，34，42，44
5.2曲線積分與曲面積分

5.2.1內容要點

5.2.2例題選講

5.2.3習題匯編
 內容分類
曲線積分
對面積的曲面積分
對坐標的曲面積分
 特色題
用平移變換計算的一個曲線積分例1
閉曲線內部有奇點的曲線積分例2
調和函數的平均值定理例4
靈活選擇的面積微元 例5
用積分坐標的轉換計算曲面積分例6，題22
用輪換對稱計算的曲面積分例9
湊原函數計算曲線積分題10
用對稱奇偶性計算曲面積分題14
用斯托克斯公式計算曲線積分
題27，28
其他特色題題6，11，23，30
5.3多元函數積分學的應用

5.3.1內容要點

5.3.2例題選講

5.3.3習題匯編
 內容分類
多元積分學的幾何應用
多元積分學的物理應用
 特色題
用微元法解釋對稱奇偶性例1，題1
用曲線積分求柱面的面積例2
星形線的旋轉面面積例3
圓錐面鋪平後其上的曲線長度不變例4
公路隔離欄原理例5
公路占地原理例6
等周問題的證明例7
圓柱面鋪平後其上的曲線長度不變
題2
咕嚕金定理題6

彎管的啟示題8
阿基米德定律的推導題16
旋轉液面的形狀題18
雪堆的融化問題題19

第6章無窮級數

6.1數項級數

6.1.1內容要點

6.1.2例題選講

6.1.3習題匯編
 內容分類
級數求和
正項級數
一般項級數
綜合題
 特色題
拆項相消法求級數的和例1，題1
正項級數的斂散性與一般項趨於零的
速度例3
正項級數斂散性的積分判別法例4
條件收斂級數中的正負項級數例5
條件收斂的級數不滿足加法交換律
例6
用泰勒公式分解級數例7，題29，30
級數的斂散性與數列的斂散性例8
比較法的極限形式不適合非正項
級數例9
一個二重級數的斂散性題17
數列xn=cosxn－1的斂散性題45
斐波那契數列與黃金分割比題47
無窮積分的斂散性與級數的斂散性題51,52
狄利克雷積分∫ ∞0(sinx/x)dx條件收斂題53
壓縮映射原理題58

其他特色題題13，14，31，34，35，48
6.2函數項級數

6.2.1內容要點

6.2.2例題選講

6.2.3習題匯編
 內容分類
冪級數的收斂域
函數的冪級數展開式
冪級數求和
一般函數項級數
綜合題
 特色題
兩個冪級數和的收斂域例1
e－1/x2不能展開為麥克勞林級數例6
傅裡葉級數的閉合性公式例8
冪級數 ∑∞n=1sinnn2xn的收斂域題5
斐波那契數列的母函數題14
∑∞n=0sinnx與∑∞n=0cosnx的收斂域題20
用傅裡葉級數求數項級數的和題24
有理函數的冪級數特征題30，31
提不盡的銀行存款題38
傅裡葉級數的維爾丁格不等式題42
用傅裡葉級數證明等周問題題43
其他特色題題19，25，34，37
第7章微分方程

7.1初等積分法與線性方程

7.1.1內容要點

7.1.2例題選講

7.1.3習題匯編
 內容分類
用初等積分法解微分方程
線性微分方程
綜合題
 特色題
積分因子例1，題8，9
非齊次線性方程特解的算子解法例5,6，7，題11
二階線性齊次方程的朗斯基行列式例8

由通解求方程形式題1
二階常系數非齊次線性方程的一個新
解法題19
用逆算子求不定積分∫x3e2xdx題20
可化為常微分方程的偏微分方程題21
其他特色題題14,25

7.2微分方程的應用題
 內容分類
微分方程的物理應用
微分方程的幾何應用
其他應用題
 特色題
將地球變為黑洞題1
滑行距離問題題2
浮筒的振動題3
單擺小幅擺動的周期題4
懸鏈線題7
最速降線問題題8
馬王堆一號墓的年代考證題9
攀巖的路徑題10
雨滴流淌的軌跡題11
曳物線題12
追線問題題13
橫渡江河的線路題14
擺渡線路題15
4人追逐線路題16
盤山公路的修筑題17
湖泊污染的治理題18
降雪與掃雪問題題21
兇犯的排除題22
給CPU降溫題23
新技術的推廣題24
第2部分習 題 解 答

第1章一元函數的極限與連續

1.1極限

1.2一元函數的連續性 

第2章一元函數微分學

2.1導數、微分中值定理

2.2導數與函數的單調、極值、凸凹及
泰勒公式

2.3一元函數微分學綜合題

第3章不定積分與定積分

3.1不定積分

3.2定積分及其在幾何與物理中的
應用

3.3定積分綜合題

第4章多元函數微分學

4.1函數與圖形

4.2多元函數的極限、連續與微分

4.3多元函數微分學的應用

第5章多元函數積分學

5.1重積分

5.2曲線積分與曲面積分

5.3多元函數積分學的應用

第6章無窮級數

6.1數項級數

6.2函數項級數

第7章微分方程

7.1初等積分法與線性方程

7.2微分方程的應用

附錄A中國大學生數學競賽大綱
（非數學類）
附錄B8~11屆全國大學生數學競賽預賽
（非數學類）賽題及解答
第8屆全國大學生數學競賽預賽賽題
（非數學類，2016年）

第9屆全國大學生數學競賽預賽賽題
（非數學類，2017年）

第10屆全國大學生數學競賽預賽賽題
（非數學類，2018年）

第11屆全國大學生數學競賽預賽賽題
（非數學類，2019年）

附錄C7~10屆全國大學生數學競賽決賽
（非數學類）賽題及解答
第7屆全國大學生數學競賽決賽賽題
（非數學類，2016年）

第8屆全國大學生數學競賽決賽賽題
（非數學類，2017年）

第9屆全國大學生數學競賽決賽賽題
（非數學類，2018年）

第10屆全國大學生數學競賽決賽賽題
（非數學類，2019年）

附錄D常用公式與記號

參考文獻