從初等數學到高等數學‧第1卷（簡體書）

本書是希望在中學數學和高等數學之間搭一座橋樑――以高中數學為起點，逐步展示高等數學的基本思想和方法，便於大學新生快速適應高度抽象的高等數學。反過來，如何把握高等數學的高觀點，更好地服務于中學數學的教與學。本書用數學分析、線性代數和高等幾何等現代數學的思想方法解釋和理解中學數學，力求用通俗易懂的語言，深入淺出地揭示現代數學的思想方法，找出現代數學與中學數學的結合點，從高觀點來引領初等數學，指導中學數學教學。讓大一新生能立足所學的中學數學，快速適應大學數學，讓走向教師崗位的中學老師能應用所學的高等數學，更好地教好中學數學。而不是像F·克萊因所說的那樣“雙重忘記”，進入大學學習高等數學忘記了中學數學，畢業後去當中學老師又忘記了高等數學。

彭翕成，博士，數學科普作家，主要從事數學文化傳播和數學教育技術的普及，熱衷於數學科普寫作，發表文章百餘篇，出版著作十餘部，主要有《數學哲學》《繞來繞去的向量法》《向量、複數與質點》《點幾何解題》《仁者無敵面積法》《動態幾何教程》《數學教育技術》《課本上學不到的數學》《師從張景中》《不等式探秘》《數學人的邏輯》《從初等數學到高等數學》等。參與編寫湘教版初中、高中數學教材等。
近年研究智能解答，提出恆等式算法，使得數以乾計的幾何難題一行解決，將幾何定理機器證明從可讀水平推進到明證水平，研究成果在Journal of Automated Reasoning、Journal of Systems Science and Complexity、《中國科學：數學》等期刊上發表。

《從初等數學到高等數學:第1卷》案例翔實，思想新穎，方法簡明，可啟迪讀者的思維，開闊讀者的視野，增強讀者提出問題、分析問題與解決問題的能力，適合高中學生、教師、師范生，以及數學教育研究者參考。

學習高等數學，對中學數學教學有何幫助？這是很多師範生常有的疑惑，這個疑惑甚至等到他們走上工作崗位還未消除。
如果有師範生跑去問他的大學老師，老師可能會這麼回答：
深入才能淺出，居高才能臨下。
要給學生一杯水，教師必須有一桶水。
只有深刻掌握了數學的思想、方法，對數學本質認識清楚，才能高屋建瓴，胸有成竹。
學習了高等數學去教初等數學，遇到一些看似平凡的內容，你可以看出內在的不平凡，這叫舉輕若重，遇到一些在初等數學裡解釋不清的疑難問題，則可透過本質，輕鬆化解，這叫舉重若輕。
如果師範生追問：能否舉例說明，我怎麼感覺大學四年所學對將來的中學教學好像幫助不大，特別是偏微分方程、複變函數這些課程？
這時大學老師常常語塞，大多又會回到前面那些大道理：“居高臨下，深入淺出……”。
大道理好講，具體細緻的工作不好做，其實這個問題由來已久，也不只是困惑師範生和中學老師，這個問題也引起了很多專家學者的思考，他們也嘗試著回答它。
F·克萊因曾提出一個名詞——雙重忘記，意思是進入大學學習高等數學忘記了中學數學，畢業後去當中學老師又忘記了高等數學，雙重忘記，這是很多人的感受，進入大學學習，感覺不到大學數學和高中數學有什麼聯繫，好像是重新學習一個新東西，而不是在前面的基礎上提升，而走上中學教師的崗位之後，所學的高等數學知識又不大用得上。
F·克萊因為了解決這一問題，寫了《高觀點下的初等數學》，這已經成為數學教育研究領域的經典名著。
此後，類似著作不斷湧現，如張奠宙、鄒一心的《現代數學與中學數學》算得上代表性著作，若不糾結於書名，很多名家所寫的普及性著作都可以算作此類，如上海教育出版社的《初等數學論叢》、中國科學技術大學出版社的《數林外傳系列》等。
初等數學研究，是一個大課題；高等數學研究，又是一個大課題，將兩者綜合研究，涵蓋更廣，且絕不是兩者的簡單相加。對於這麼大的一個課題，也絕不是幾個人，發幾篇文章，出幾本書就能研究清楚的。需要不斷有人研究，向前推進。更何況，初等數學和高等數學的研究內容也在不斷變化著，那如何研究初等數學和高等數學二者之間的關係呢？角度有很多，F·克萊因作為著名的數學家，由於自身深厚的數學功底，他選擇了居高臨下這個角度，這樣的研究角度可以讓人看清楚一些初等數學問題的背景，提高數學修養，但這樣寫也存在一些問題，譬如在某些問題上，作者所站高度過高，超出了一般讀者的接受能力；又如作者主要是以數學家的身份在寫這本書，與中學數學的聯繫較少。
能否從初等數學出發，向高等數學走去呢？這當然也是可以考慮的一個研究角度，這也正是本書書名的來由。
“從”，表示出發點；“到”，表示希望前進的方向。
有讀者看了我這方面的幾篇文章，問：“為何你研究這麼淺？找的題目大多是初等數學能解決的，你為何不多找些初等數學解決不了的？這才能凸顯出高等數學的優勢。”
這是由於這位讀者對我的寫作定位不了解，我的立足點就是初等數學，希望向高等數學走去，但能走到哪一階段，不好說。如果是要找一些初等數學解決不了的問題，這太容易了，高等數學習題集裡比比皆是，但要找一些題目，可以從初等數學和高等數學兩個角度來思考，從而加深對數學的理解，這才是不容易的。
必須承認，與《高觀點下的初等數學》相比，《從初等數學到高等數學》在書名上弱了不少，這一方面是因為我學識有限，談不出什麼高觀點，就算想鼓足勇氣，做個虛假廣告，冒充高觀點，但也怕讀者質疑：憑什麼說你的觀點高？高在哪？獻醜不如藏拙，因此還是老實一點為好。另一方面，是因為我也受到了弗賴登塔爾的影響。
弗賴登塔爾曾問：為什麼中學數學和大學數學之間缺口的彌補工作拖延了這麼久，至今仍未實現？隨著數學的社會重要性日益增加，溝通缺口的迫切要求也更強烈。今天我們若想實現F·克萊因的想法，去教“高觀點下的初等數學”，就必須從接近中學數學的較低水平做起。

前言
1一題多解架構初等、高等數學橋梁
1.1代數
1.2幾何
1.3三角
1.4不等式
1.5雜題
2初等數學問題高等數學解答
2.1代數
2.2幾何
2.3三角
2.4不等式
2.5雜題
3不等式與函數
3.1不等式篇
3.1.1均值不等式的引入和證明
3.1.2從課本上的簡單不等式談起——從初等數學到高等數學
3.1.3小學題？中學題？大學題？
3.1.4解讀神證明
3.1.5也說Nesbitt不等式
3.1.6均值不等式的隔離
3.1.7答正切函數不等式猜想
3.1.8一個對數不等式的五種證法
3.1.9變式教學與數學背景
3.1.10三角不等式的證明——從用導數到不用導數
3.1.11高等數學思想指導完善初等數學錯漏
3.2函數篇
3.2.1從常系數到變系數——從羅增儒教授的無奈談起
3.2.2以康托函數為背景的函數題
3.2.3三次方程判別式問題兩例
3.2.4三次方程和韋達定理
3.2.5洛必達法則及其替代品
3.2.6十五歲的圖靈如何推導級數形式的反正切公式
3.2.7從f（x+y）=f（x）+f（y）說開去
3.2.8對開方迭代式的認識過程
4線性代數
4.1線性組合和線性無關
4.1.1漫談線性組合
4.1.2已知根式解尋求原方程
4.2行列式解題
4.2.1行列式解代數問題舉例
4.2.2行列式與面積
4.2.3從“經過已知三點的一元二次函數”談起
4.2.4圓方程、三角形五心、圓冪定理
4.2.5海倫公式與托勒密定理的行列式統一公式
4.2.6行列式與射影定理
4.2.7行列式解幾何題舉例
5雜篇
5.1認識的深入
5.1.1不一樣的加法和乘法
5.1.2從乘法是加法的簡便運算談起
5.1.3漫談1+2+3+4+
5.1.4向量
5.1.5結構與同構
5.1.6什麼是距離
5.1.7絕對值多種定義以及分段函數定義缺陷
5.1.8無處不在的一一對應
5.1.9一定是斐波那契數列嗎？
5.2初等數學、高等數學面面觀
5.2.1特殊與一般——《吉米多維奇數學分析習題集》一題
5.2.2談談循環論證
5.2.3根式方程有理化
5.2.4包絡線與賦范空間的一點小應用
5.2.5學貴有疑——《數學解題的特殊方法》一題
5.2.6證明sin2x+cos2x=1——《陶哲軒實分析》一題
5.2.7平方差公式的三角擴展
5.2.8從代數恒等式到三角恒等式
5.2.9例證法：從代數式到三角式
5.2.10勾股定理的三維推廣
5.2.11一道多情形幾何題的多種證明
5.2.12初等、高等數學不同視角一題多解更顯風采
5.2.13你也可以做幻方
5.2.14劍橋大學的一道經典名題
5.2.15從高考題談迭代
5.2.16微積分新概念的教學腳步何妨慢一點
5.2.17高等數學的“敗筆”
5.2.18不好的高等數學解法舉例
5.2.19陳省身沒做出來的數學題
5.2.20相信付出才有回報
參考文獻