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簡明數學物理方程(簡體書)
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簡明數學物理方程(簡體書)

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商品簡介
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目次

商品簡介

本書主要討論三類典型的數學物理方程:波動方程?熱傳導方程?拉普拉斯方程.全書共分5章.第1章介紹三類典型方程的推導?定解問題的提法及數學物理方程的一些基本知識.第2章至第4章分別介紹波動方程?熱傳導方程?拉普拉斯方程定解問題的求解方法,以及這些典型方程定解問題解的適定性.第5章則是對二階線性偏微分方程做簡要的分析和總結.
本書敘述詳盡,條理清晰,通俗易懂,讀者只需掌握微積分基礎知識就可以閱讀和學習.
本書可作為一般高校(含師範院校)數學專業?物理學專業學生的本科教材,也可作為其他相關專業的研究生及工程技術人員的參考書.

名人/編輯推薦

敘述詳盡 條理清晰 通俗易懂,

前言

數學物理方程是指自然科學和工程技術的各門分支中出現的一些偏微分方程(有時也包括積分方程、微分方程等),這些方程反映了物理量關於引數(時間變數和空間變數)和其偏導數之間的制約關係.例如:在研究振動和波、聲波、電磁波等問題時建立的波動方程
2ut2-a22ux2=0(一維波動方程),
2ut2-a22ux2+2uy2+2uz2=0(三維波動方程);

在研究固體中熱傳導問題時所建立的熱傳導方程
ut-a22ux2=0;

在研究平穩溫度場和靜電場等問題時所建立的拉普拉斯方程和泊松方程
Δu=0(拉普拉斯方程),
Δu=f(x,y,z)(泊松方程),

式中Δ=2x2+2y2+2z2是一個算符,叫作拉普拉斯算符.
人們對數學物理方程研究的歷史可追溯到17世紀.17世紀微積分產生以後,人們就開始把連續介質力學中的一些問題和規律歸結為常微分方程或偏微分方程來進行研究.早在18世紀初,人們已經將弦線振動的基本規律歸結為如下的偏微分方程
2ut2=a22ux2,

並探討了它的解法.隨後,人們又陸續瞭解了流體的運動、彈性體的平衡和振動、熱傳導、電磁場相互作用,以及原子核和電子的相互作用等自然現象的基本規律,把它們寫成偏微分方程的形式,並且給出了典型問題的解答.與此同時,人們對偏微分方程及其解的性質方面的瞭解也越來越多、越來越深入,並在此基礎上逐漸形成了數學物理方程這一學科.
雖然數學物理方程的研究範圍十分廣泛,且在不斷更新和發展,永葆著旺盛的生命力,但是它所研究的內容主要還是來自於自然科學和技術科學領域的偏微分方程.因此,它緊密聯繫著微積分、線性代數等基礎數學課程,故各高校都希望在學生學完微積分、線性代數、常微分方程課程後,再來學習數學物理方程這門課程,以便使學生在學完上述三門課程後進一步瞭解並體會所學數學知識在自然科學及工程技術中的應用,增加學生的數學應用意識和進一步的求知創新意識.然而,據瞭解在全國目前開設有數學與應用數學本科專業的500多所高校中,除了一些重點高校的數學與應用數學專業外,有較多的一般高校未能開設數學物理方程課程.其中原因之一是適合這類高校學生學習這門課的教材較少.編寫本書的目的就是想為一般高校(含師範院校)的數學專業學生和工科研究生提供一本較為適用的教材,使數學物理方程這一課程能夠在一般高校中更多地開設起來.

本書有下列特點:
1.降低了學習數學物理方程的入門要求.
本書主要介紹數學物理方程的經典部分:波動方程、熱傳導方程、拉普拉斯方程.鑒於部分高校的數學專業不開設“實變函數”和“泛函分析”課程,或將其安排在本科的較後學年甚至安排成選修課,廣大的非數學專業的工科本科生及研究生更沒有機會接觸到“實變函數”和“泛函分析”課程,同時考慮到課時數的限制(48~64課時),本書著重講解三類典型方程的基本內容、基本理論和基本方法,不涉及非線性偏微分方程的內容和廣義函數等知識,使只具備微積分基礎知識的讀者可以閱讀和學習,這樣也便於一般高校的非數學專業學生使用.
2.按照學生的認知規律,力爭做到通俗易懂、深入淺出.
例如,為了減少學生初學時對初始條件和邊界條件的不理解,本書將這部分內容單獨列為一節,並舉例詳細介紹如何匯出第二類邊界條件和第三類邊界條件,使學生對以後出現的定解條件理解其背景,減少因不理解而產生的學習上的困難.又如,由於學生對中學物理學的動能、勢能及能量守恆定律是熟知的,為了引起學生學習時的聯想和共鳴,我們對混合問題解的唯一性和穩定性的討論僅限於一維情形,而對初值問題解的唯一性和穩定性的討論則僅限於二維情形.
3.盡力按“探索—發現”的方式介紹重點內容,便於啟發式教學.
例如,2.1節用分離變數法解混合問題的介紹,及2.3節高維波動方程的初值問題的介紹. 2.3節中,先討論三維波動方程的球對稱解——由於球對稱解u(r,t)與r的乘積滿足一維波動方程,故可得球對稱解u(r,t)的一般運算式,但對於一般的非球對稱解u,則不能寫成r與t的函數,此時的ru不可能滿足一維波動方程,為了利用一維波動方程解的一般式匯出三維波動方程初值問題的解,應該考慮“什麼樣的函數既與解u有關又只是r和t的函數,而且還是球對稱的……”順著這個思路引導學生想到解u在半徑為r的球面上的平均值u,這個平均值u顯然與u有關且只是r和t的函數,然後再引導學生考察 ru是否滿足一維波動方程,再匯出三維波動方程初值問題解的泊松公式.
本書由張衛國和章國慶主編,參與編寫的還有李想、張海強、汪文軍、徐建.
在本書的編寫過程中我們參考了一些國內外的優秀教材、著作及研究成果,已在參考文獻中列出.在此我們向諸位前輩和作者表示由衷的感謝.
由於編者水準有限,錯誤和不足之處在所難免,懇求廣大讀者批評指正.
編者

目次

前言
第1章典型方程和定解條件
1.1典型方程的推導
1.2偏微分方程的一些基本知識
1.3初始條件和邊界條件
1.4定解問題
習題

第2章波動方程
2.1用分離變數法解混合問題
2.2達朗貝爾公式和波的傳播
2.3高維波動方程的初值問題
2.4能量方法、唯一性和穩定性
習題

第3章熱傳導方程
3.1混合問題的分離變數法
3.2傅裡葉變換及其基本性質
3.3用傅裡葉變換解初值問題
3.4極值原理、唯一性與穩定性
習題

第4章拉普拉斯方程
4.1邊值問題的提法
4.2用分離變數法解邊值問題
4.3格林公式、調和函數的基本性質
4.4極值原理、第一邊值問題的唯一性和穩定性
4.5格林函數、用格林函數法解邊值問題
4.6強極值原理、第二邊值問題解的唯一性
習題

第5章二階線性偏微分方程的分類與總結
5.1兩個引數的二階方程的化簡與分類
5.2多個引數的二階方程的分類
5.3三類典型方程的比較
習題

附錄傅裡葉變換簡表
參考文獻

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