數學核心能力研究（簡體書）

項目的研究旨在立足國際視野、反映中國數學教育特色，以此為行動基礎，一方面研究義務教育階段數學學科核心能力模型的構建的理論依據、功能定位，闡述數學能力具體內涵、數學能力水平分層、數學能力在具體數學核心概念上的表現；另一方面開發測評數學能力表現的學習任務（測試題）和工具，形成測評試題庫，進行預測和認證。研究從四個方面展開：
數學學科核心能力模型及其測評框架的國際比較研究
義務教育階段數學學科核心能力內涵以及分層研究
義務教育階段數學學科核心能力在數學核心概念上的行為表現研究
義務教育階段數學學科核心能力測評任務的開發與實施
這四個方面的研究縱橫交錯，層層推進。一是，比較研究國際性評價項目對數學學科能力的要求，比較研究相關國家對義務教育階段學生數學學科能力的要求，梳理能力要求的異同，研究背後的理念。二是，對照國際比較的成果，結合中國人才培養目標和中國數學教育特點，研究我國義務教育階段數學學科核心能力的內涵、水平層面，研究這些分層水平在具體核心數學概念上的行為表現，形成一套數學學科能力模型。三是，在這同時開發測評這些核心能力的具體測試任務以及測試分析工具，在若干學校進行預測，進而也是驗證所研究的能力模型，並且形成測評框架。

徐斌豔，德國奧斯納布呂克大學理學博士。現任華東師範大學教師教育學院教授，博士生導師；教育部人文社科重點研究基地華東師範大學課程與教學研究所兼職研究員；中國數學會女數學家工作委員會委員；國際數學教育委員會執行委員會委員。曾獲上海市高校優秀青年教師稱號，教育部優秀回國人員青年基金，德國洪堡基金會研究基金。2006年入選上海浦江人才計劃，2007年入選教育部“新世紀優秀人才支持計劃”。

本書呈現研究項目的終結性成果。從內容上看，以科學規範的研究方法創建一套針對不同數學內容領域的、可檢測的數學能力模型，同時還建立經過實踐驗證的檢測數學能力的試題庫（測評任務庫）。從過程上看，系統梳理國際項目以及世界上其他國家關於數學核心能力研究的成果，比較它們的共性與特殊性，並闡述其理論根源。從意義上看，將創建能力模型和測評框架的研究過程顯性化，為我國在其他學科上的相關研究提供系統參照和工具。

前 言

本書系教育部人文社會科學重點研究基地重大項目”義務教育階段數學核心能力模型與測評框架研究”(項目編號:11JJD880027)最終研究成果。
項目的研究旨在立足國際視野、反映中國數學教育特色，以此為行動基礎，一方面研究義務教育階段數學核心能力模型的構建的理論依據、功能定位，闡述數學核心能力具體內涵、核心能力水平分層、核心能力在具體數學核心概念上的表現；另一方面開發測評數學能力表現的學習任務（測試題）和工具，形成測評試題庫，進行預測和認證。研究從四個方面展開：
 數學核心能力模型及其測評框架的國際比較研究
 義務教育階段數學核心能力內涵以及分層研究
 義務教育階段數學核心能力在數學核心概念上的行為表現研究
 義務教育階段數學核心能力測評任務的開發與實施
這四個方面的研究縱橫交錯，層層推進。一是，比較研究國際性評價項目對數學核心能力的要求，比較研究相關國家對義務教育階段學生數學核心能力的要求，梳理能力要求的異同，研究背後的理念。二是，對照國際比較的成果，結合中國人才培養目標和中國數學教育特點，研究我國義務教育階段數學核心能力的內涵、水平層面，研究這些分層水平在具體核心數學概念上的行為表現，形成一套數學核心能力模型。三是，在這同時開發測評這些核心能力的具體測試任務以及測試分析工具，在若干學校進行預測，進而也是驗證所研究的能力模型，並且形成測評框架。
本書呈現研究項目的終結性成果。從內容上看，以科學規範的研究方法創建一套針對不同數學內容領域的、可檢測的核心能力模型，同時還建立經過實踐驗證的檢測數學核心能力的試題庫（測評任務庫）。從過程上看，系統梳理國際項目以及世界上其他國家關於數學核心能力研究的成果，比較它們的共性與特殊性，並闡述其理論根源。從意義上看，將創建能力模型和測評框架的研究過程顯性化，為我國在其他學科上的相關研究提供系統參照和工具。本書由如下章節構成：
第一章以國際比較的視角概述數學核心能力研究的現狀與特點。主要探討的研究問題包括，國際性數學評價項目中的數學核心能力模型分別如何界定核心能力內涵？如何對核心能力進行分層？所設計的測評任務或測評工具具有怎樣的功能；美國、英國、德國、法國、日本、新加坡等國的數學核心能力框架具有怎樣的功能？是否以及如何對核心能力進行分層？是否以及如何對它們進行測評？開發了怎樣的測評工具等？
第二章在比較研究的基礎上，構建我國義務教育階段數學核心能力內涵的理論框架。主要回答的研究問題包括：我國義務教育階段教育目標和數學課程標準對數學核心能力提出了哪些要求？與國際評價項目以及相關國家的核心能力要求有何共性與差異？反映我國人才培養目標、數學學科特點以及數學教育特點的數學核心能力包括哪些方面？如何論述各個能力要素的內涵？
第三章至第八章，分別對六大核心能力：數學問題提出、數學問題解決、推理與論證、表徵與變換、數學交流、數學建模進行研究。首先分別對這六大核心能力的研究現狀進行梳理，然後構建具體的能力測評框架，包括核心能力的行為表現及其水平分層，測評任務開發的原則，測評實施的手段等。通過對測評數據的統計分析，及時瞭解學生數學核心能力狀況，為改進課程與教學質量提供指導。
第九章則與前面各章呼應，依據數學核心能力測評整體框架，全面探討我國義務教育階段學生數學核心能力的表現，系統分析我國學生數學核心能力特點。
本書是整個研究團隊以踏實、嚴謹研究態度、採用科學的研究方法得到的研究成果。團隊成員從不同角度，對研究成果做出貢獻。第一章由朱雁完成，斯海霞主要參與；第二章由徐斌豔和朱雁合作完成；第三章、第四章由孔企平完成，周芳芳、許自強和姚一林主要參與。第五章、第六章由鮑建生完成，孫婷、姜慧慧、張晉宇主要參與；第七章、第八章和第九章由徐斌豔完成，沈丹、彭墨緣、朱婭梅主要參與。徐斌豔完成全書統稿和校對工作。
整個研究經歷了開題、中期報告、預結題等多個重要環節，在每個環節都得到專家們的細心指導，儘管在此無法一一列舉他們的名字，但是我們代表整個研究團隊對他們表示衷心感謝。調查研究離不開被抽樣到的學校師生，在此也對他們的熱心參與表示感謝。在研究過程中，為及時把握國際發展動態，我們曾經組織國際專題論壇，來自日、韓、新加坡和泰國等國際學者積極響應，前來與會；來自香港、澳門等地的研究者同樣積極參與討論，為課題獻計獻策。在此對這專家群體表示衷心感謝。
感謝項目評審專家對課題結題提出寶貴意見和建議，課題組成員對書稿中不妥之處承擔相應責任。
徐斌豔
華東師範大學課程與教學研究所
華東師範大學教師教育學院
2016年12月12日

第一章 數學核心能力研究概述
從上世紀開始，數學能力尤其是數學核心能力開始成為各國心理學家、數學教育學家研究的重點，但研究側重點不一樣，前者側重於通過研究數學能力揭示智力機制，後者則是想為數學教育的改革提供依據。當前，為應對國際社會的快速變化，數學能力尤其是數學核心能力研究成為數學課程改革與數學教育研究的熱點。
綜觀數學能力的研究，主要涉及三個方面：數學能力概念界定、數學核心能力成分以及學生數學核心能力現狀調查研究。由於我國目前關於數學核心能力的研究尚且沒有統一或公認的框架，在此基礎上介紹數學能力培養易淪為介紹主觀經驗或理解，因此本章主要從上述三方面介紹數學核心能力研究。
第一節 數學能力的內涵
奧蘇貝爾（D.P. Ausubel）曾說“教育就是當學的東西全都忘了的時候，仍保留下來的東西”。所謂“保留下來的東西”便是能力，就數學教育而言，所要保留的即為學生的數學能力 。數學能力作為一種特殊能力，其研究源於能力研究，在探討其實質時，首先需明確基本問題：“能力是什麼？”，“能力與知識、技能、智能的區別是什麼？”
一、能力的內涵
能力研究一直是心理學上關注的焦點，它指為使人能成功地完成某種活動所需的個人心理特徵或人格特質 。能力不是與生俱來，而是在人的遺傳素質的基礎上，在實踐活動中逐漸形成和發展起來的，表示能力的英文詞匯主要有：ability，competence，competency, capability ,efficacy 。與能力容易混淆的概念是技能與智力。
技能（skill）指個體通過練習形成的合法則的操作活動方式 。能力雖不等同於知識與技能，但又與技能有密切的聯繫，他們相互轉化、相互促進。智力(intelligence)是心理學基本概念，至今心理學界尚無公認的定義 。不同的心理學家從不同的角度進行界定。韋克斯勒認為：智力是使個人有目的地行動、合理地思考、有效地應付環境的一種綜合的心理能力。斯騰伯格（R. J. Sternberg）認為是一種心理上的自我管理。能力與智力處於相互包容的關係中，雖然內涵各有不同，但是兩者相互影響，相互滲透，研究者們對能力與智力沒有進行嚴格的區分，在分析能力時也常引用心理學智力研究成果說明能力結構。
二、數學能力的內涵
雖然數學能力的研究源於能力研究，但不同時期、不同研究者對數學能力有不同的界定。
研究者對數學能力的界定主要有從心理學能力概念演繹得出，如下兩類：
（一）心理學能力概念演繹
西方早期研究者們與我國數學教育研究者常通過心理學能力概念演繹得出數學能力概念。早期西方研究者將數學能力分為“學校式”數學能力和“創造性”數學能力。所謂“學校式”數學能力指掌握、再現以及獨立運用數學信息能力，“創造性”數學能力指能獨立創造具有社會價值的新成果的能力。蘇聯心理學家 克魯切茨基（Kruchevskii）對數學能力進行了深入的研究，他認為“學校式”數學能力和“創造性”數學能力兩者之間相互關聯、相互依賴，並將數學能力定義為：符合中小學校數學活動需要的，並在其他一切條件都相同的情況下，影響著在創造性地掌握作為中小學校一門學科的數學上的成就的――特別是，能較為迅速、容易並透徹地掌握數學知識、技能和習慣的那些獨特的心理特徵（主要是心理活動特徵） 。
克魯切茨基對數學能力的研究對我國數學能力研究產生了重大影響。我國數學教育研究者對數學能力的界定比較統一，研究者們從心理學研究視角出發，將數學能力視為順利而有效地完成數學活動的個性心理特徵 ， ，並認為數學能力作為一種特殊的能力，它只存在於數學活動之中，在數學活動中形成和發展 。
（二）強調數學活動特點
西方數學教育界近年來對數學能力的界定強調形成數學能力的數學活動特徵。丹麥學者摩根·尼斯（Mogens Niss）認為掌握數學意味著擁有數學能力(mathematical competence)，而數學能力指能在不同的數學背景與情景內外理解、判斷、使用數學，能被清晰識別的主要的數學能力結構成分即數學能力成分(mathematical competency)。 擁有大量的數學知識與技能是形成數學能力的基礎。如今國外許多研究者 引用尼斯的這一數學能力界定，包括國際學生評價項目（Programme for International Student Assessment, PISA）的數學素養測試中有關數學能力部分亦是以尼斯的數學能力研究為基礎。
相比之下，從心理學能力概念演繹得出的數學能力界定更多體現的是數學能力的宏觀特徵，而尼斯的界定則更為具體地解釋了如何進行順利而有效的數學活動以形成數學能力。在筆者看來，後者界定更有助於人們理解數學能力的本質特徵，並有針對性地開展數學能力教學和評價研究。