多項式系統求解的算法研究（簡體書）

多項式方程組的構造性理論及相關的求解算法是具有基本重要性的經典課題。偉大的數學家、哲學家笛卡爾曾有過這樣一個偉大的設想（並為之進行了偉大的實踐，從而創立了解析幾何學）：
一切問題都可以轉化為數學問題；
一切數學問題又可以轉化為代數問題；
一切代數問題最終可以轉化為方程的求解問題。
雖然這一偉大的設想沒有成功，然而，隨著科學研究的不斷進步，多項式系統的求解問題在技術工程領域起著越來越重要的作用。對於單變元（線性）系統，學術界已經進行了非常深入的研究。單變元（線性）系統在科技中起到了非常重要的作用。關於多項式系統的研究，由於其本身所具有的高複雜性，以前的研究僅僅停留在理論層面上。隨著電子計算機的出現，多項式系統的求解問題逐漸從理論研究轉換到算法研究。
在《多項式系統求解的算法研究》中，筆者根據自己多年的學習和研究，分別介紹了牛頓迭代在特殊情況下二階收斂性的重構、半代數系統的實根隔離、正維數系統的實根計算及其應用以及三種常用結式之間的關係等問題。為了使讀者對多項式方程組求解有一個系統的瞭解，筆者還補充了若干必要的基本知識。它們主要集中在書中第二章。，書中屬�筆者的工作主要是：
（1）非線性系統奇異解的計算；
（2）半代數系統實根隔離的數值方法；
（3）正維數系統的實根的計算方法及其在微分系統穩定性判定中的應用；
（4）三種多項式系統多餘因子之間關係的討論；
（5）代數系統非混合分解的快速算法設計。，
作為迭代算法中的經典方法，牛頓迭代算法是牛頓在17世紀提出的在實數域和複數域上近似求解方程的一種方法。由於它具有二階收斂性，牛頓迭代算法成了眾多數值迭代算法的核心，然而，牛頓迭代算法仍然有它的局限性：奇異解，、《多項式系統求解的算法研究》第三章依據對偶空間中元素的性質，給出了恢復奇異解二階收斂性的算法，且給出了完整的理論證明；在此基礎上，開發了Maple程序Refine_root，通過一些實際例子表明，它的效率比我們已知的若干方法的通用程序要高。利用該方法，我們給出了簡單的潮流系統的病態解。
眾所周知，通過數學建模，我們可以將眾多的生產實際問題轉化為數學問題，特別是轉化為方程問題。然而，由於實際問題中各種參數具有不同的實際意義，我們往往得到的不只是等式系統，同時也會得到一些不等式系統。半代數系統的求解在實際問題中具有重要的意義。結合同倫方法和區間牛頓方法，我們開發了求解半代數系統實根隔離的通用程序Real_root.ISO。大量的實驗數據表明，它的效率比已知的符號計算通用程序DISCOVER要高很多。
動力系統的穩定性分析在控制系統的設計以及製造中起著至關重要的作用。對於線性系統，穩定性分析是非常簡單的。但是對於非線性系統，驗證平衡點的穩定性是非常困難的。此時可以通過李雅普諾夫方法解決此問題。在《多項式系統求解的算法研究》中，我們通過求解不等式系統，提出了一種快速驗證系統穩定的方法。
學習過線性代數的讀者都應該知道，通過係數矩陣，不需要求解我們就可以判定該系統的解的存在情況。對於多項式系統，我們通過結式也可以在不求解的情況下判斷解的存在情況。因此結式的構造非常複雜，構造方法眾多，不同的方法有不同的優缺點。然而它們都具有多餘因子，去除多餘因子才可以準確地判斷解的存在。我們分析了三種結式之間的多餘因子的關係，同時提出了一種新的構造Caley-Sylvester結式的快速遞歸方法。