丘成桐談空間的內在形狀

丘成桐

丘成桐還在香港中文大學數學系念大三時，獲得20世紀微分幾何大師陳省身以及其他好幾位教授推薦到加州大學柏克萊分校攻讀博士，約三年後拿到學位時，當時才22歲。

丘成桐獲獎無數，包括1982年榮獲相當於數學界諾貝爾獎的費爾茲獎（Fields Medal）；1994年獲得克拉福德獎（Crafoord Prize）1984年當選中華民國中央研究院第15屆院士；1997年獲得美國國家科學獎章；2010年獲頒沃爾夫獎（Wolf Prize）等，均是國際上極高榮譽。他並於1984年當選中華民國中央研究院第15屆院士。

1976年，年方27歲的丘成桐解決了微分幾何中的一個著名難題「卡拉比猜想」，其結果被稱為「卡拉比-丘流形」，後來被應用在物理學的弦論中，成為描述宇宙空間的理論基石。1979年，他又證明了每個符合愛因斯坦方程式的解都會具有正總質能量，確認平直時空的穩定性因此。，他的研究橫跨數學和物理兩大領域。

丘成桐成功的解決了許多有名的數學難題，在偏微分方程、微分幾何、複幾何、代數幾何以及廣義相對論等都有影響深遠的貢獻。近年來，他更參與數學教育以及應用數學應用的推動。
自1987年起，丘成桐在哈佛大學數學系任教，目前剛卸任現為該系系主任。

史蒂夫‧納迪斯 (Steve Nadis)

為著名《天文》雜誌 (Astronomy) 專欄作家，曾參與寫作過二十多本書；在MIT、「關心世事科學家聯盟」(Union of Concerned Scientists) 擔任過專任研究員，也擔任過「世界資源研究所」(World Resources Institute)、「伍茲赫爾海洋研究所」(World Resources Institute) 和WGBH / NOVA等機構之顧問。

譯者簡介
翁秉仁

畢業於加州大學聖地牙哥分校，現為臺大數學系副教授，研究領域為低維微分拓樸、微分幾何。曾參與近年國內數學教育改革；主持數學知識網站與、數學部編本網站；《科學人》編譯委員。曾經翻譯《數學：確定性的失落》及《科學人》多篇文章.。此外，曾為《沒有王者之路：幾何原本》經典3.0系列作導讀.。

趙學信

成功大學建築研究所建築碩士，現職台大數學系網站工程師。曾翻譯有《Net & Ten》、《現世》、《數學：確定性的失落》（合譯）等譯作多本。

心腦交會的時空行者 
曾志朗 

我真希望在三十年前，當我全力發展人類大腦如何處理時間訊息的理論模式時，就讀到《丘成桐談空間的內在形狀》這一本章章使我感動、時時讓我頓悟和會心的「數學」啟示錄。我會這麼說，是我們這些在早期聯考制度下的乙組（當年的人文、社會科系）生，進了大學後就和數學絕緣了。

每每聽到別的科學家談物理和數學如何相輔相成，總是很羨慕；看到一串串豆芽的公式，更是自卑得不得了，但心中有時候會反過來想，就自暴自棄的說：這些「數」與我何干？遇有複雜的數學公式，就先跳過去，因為文字的敘述也能讓我捕風捉影猜出現象背後的涵義，然而腦海裡仍不免有些揮不去的陰影：我跳過的那些數學公式，其中隱藏的真義是否也被我忽略掉了？ 

直到有一天，我在課堂上很認真的向一群大學生解釋何謂視神經細胞的「側向抑制效應」（lateral inhibition effect）。我畫了一條視神經細胞反應線條（如右圖），箭頭處是刺激光點照到的桌邊地點；左邊桌面有光，右邊是空的，因此「側面抑制效應」形成了邊緣線特別亮的效果。我很仔細的說明，為何我們看到桌面邊界時會感到特別亮、特別清楚的現象。有一位學生忽然告訴我，那條線代表的是一次微分的曲線！我當場愣了一下，我講了半天的現象，一次微分的描繪，更簡潔明白，不拖泥帶水，不囉嗦，真是一目了然。這才是科學的美麗境界！ 

我教書多年，有了這樣的體會，就開始努力自修數學，也去旁聽學校名師的微積分和線性代數課，更勤讀數學史的科普書，真是受用無窮，對自己研究「概念形成」（concept formation）的歷程，確實是助益良多。尤其我們最近研究嬰兒如何從外界混沌雜亂的大人語音中抽取精華，形成語言知覺和發音的基本要素，發現嬰兒的學習其實是掌握統計的許多基本原則，才能在那麼短的時間內，習得那麼複雜的分類，且每一個類別上的具體表音，都是機率的組合。科學家想要完成好的理論來解釋這個快速習得的現象，哪能不懂機率的基本概念！ 

丘院士的這本書，真的很好，而且很「親切」，誰會想到他曾當過街頭小混混呢？也因為如此，他講卡拉比–丘（Calabi-Yau）流形，非常平實近人（當然讀者也必須花些心思的！）。對那十個維度中的時空四個維度，書裡的例子很生活化（例如與人相約在某交錯路口的某建築碰面，這是二維空間，講明約在幾樓，就是三維空間，再加上時間，便是四維空間了），不過對其他六個隱藏、捲縮的維度的說明，確實讓人不易掌握。

我必須承認似懂非懂，但感覺很有趣！這本書我很專注的讀了兩遍，每次讀完，合書冥思，就對科學的分析內涵有一份新的感受，尤其是在幾何學的發展歷史上，空間概念的一再複雜化，是自然也是必然，在在使人感到物理世界、宇宙觀都必須環繞著這些空間的多維度整合，才演化出各種不同的能量和作用力。也許數學本身也是遵循著同樣的演化，數和理本為一體。對之人類「認識」世界的概念基礎，更是如此！ 

這樣對時空概念的論述，在我研究語言行為和記憶歷程的思考，顯得特別有意義。我們的腦神經在反映外在世界的心智歷程時，是把語言中時、空的訊息「糾」在一處的。當代的語言學大師王士元院士給我這張表： 

space (空間) time (時間) 
around around the block around Christmas 
at at the house at 3 o'clock 
by by the house by Sunday 
for for a mile for a week 
from…to from here to there from now to then 
in in the house in a week 
last the last house last week 
little little space little time 
long a long house a long time 
next the next house next week 
on on the house on Sunday 
over over the mountain over the holidays 
short a short house a short time 
through through the house through the week 

最左邊是前置詞或形容詞，用來指稱空間的訊息，也用來描繪時間的訊息，從深一層去思考這「神經平台共享」的涵義，人本身就是時空的行者！ 

這本書給我最大的思維刺激，是多維度的概念。對身外宇宙的描述與理解，在數學上有卡拉比–丘所演算出的多個維度予以支撐，但對人內心的宇宙，到底要多少維度才能盡善的描述？舉個很簡單的例子：「牧童騎在牛背上，邊走邊吃草」，你當然「知道」不是牧童吃草，但字詞上和語法上都未告訴你，邊走邊吃草的是牛而非牧童。那個促成理解的訊息，是生活經驗，是常識，但那種經驗和常識是用什麼維度來理解呢？問問當下機械人的人工智慧，或許「它」只能說：佛曰不可解也！ 

（本文作者為中央研究院院士） 
 
看到萬事萬物之間的深層關聯 
劉炯朗 

有一句順口溜「有關係就沒關係；沒關係就有關係」，其實這句有趣的順口溜可以有不同的解讀。 
對政客和商人來說，關係是一個微妙的觀念，特別是「有關係就沒關係」這半句，和有權有錢的人拉上關係，大事可化小，小事可化無，沒關係就是沒問題。可是，對文學家和科學家來說，關係是個美妙、神奇的觀念，特別是「沒關係就是有關係」這半句，可以解釋為在一般人眼中被認為沒有關聯的觀念和事物，看透看懂了，卻是一為二、二為一，相生相應，相輔相成。 

我們都讀過李後主的虞美人：「春花秋月何時了，往事知多少？小樓昨夜又東風，故國不堪回首月明中。雕欄玉砌應猶在，只是朱顏改。問君能有幾多愁，恰似一江春水向東流。」花就是花，月就是月，可是和春天、秋天扯上關係；春花秋月是風景，可是又和往事扯上關係；小樓昨夜又東風，有點涼意，卻又和故國回首扯上關係；雕欄玉砌是亭台樓閣，和朱顏改又有什麼關係？愁就是愁，卻和向東流的春水扯上了關係。這就是文學家敏銳的觸角看出來的關聯。 

在物理學裡，電力和磁力原來被認為是兩個獨立的自然力量，到了十八世紀以後，經由安培（Andre-Marie Ampere）、法拉第（Michael Faraday）和馬克士威（James Clerk Maxwell）的研究，才發現兩者之間密切的互動關係，這也就是發電機和馬達建造的基本原理。在中學幾何課裡，我們討論直線、三角形、圓形、橢圓形和拋物線；在代數課裡，我們學一元一次方程式、多元多次方程式，到了解析幾何課裡，就把幾何和代數拉上關係了。微分方程、偏微分方程是抽象的數學觀念，卻又和空氣流動、潮汐漲退拉上關係了。 

數學上三百多年的難題──「費瑪（Pierre de Fermat）猜想」，終於在1994年由普林斯頓大學的懷爾斯（Andrew Wiles）解決了，懷爾斯的證明建立在谷山豐（Yutaka Taniyama）和志村五郎（Goro Shimura）的猜想上，這個被稱為「谷山-志村的猜想」把兩種似乎毫無關係的複變數函數橢圓方程式（Elliptic Equations）和模型式（Modular Forms）拉上關係。費賴（Gerhard Frey）和瑞貝（Kenneth Ribet）又把「谷山-志村猜想」和「費瑪猜想」拉上關係。懷爾斯經由證明「谷山-志村猜想」證明了「費瑪猜想」。再講下去，希爾伯特（David Hilbert）的第十道問題可又不是和「費瑪猜想」有相連的關係嗎？ 

丘成桐教授是數學家，也是文學家，他在數學上傑出的成就是大家都知道的，同時，他家學淵源，在文學上的造詣甚深，寫詩、詞、賦和對聯，令人折服。他寫的一首詩〈龐卡赫之夢〉，開頭幾句是： 
我曾小立斷橋，我曾徘徊湖邊，想望著你絕世無比的姿顏。 
我曾獨上高樓，遠眺天涯路，尋覓著你潔白無瑕的臉龐。 
是一位舉世知名的數學大師在思考「龐卡赫猜想」（Poincare Conjecture）？還是一位才華橫溢的詩人在懷念著知心好友？ 

《丘成桐談空間的內在形狀》是一本充滿了新奇的觀念和廣闊的視野的書，嚴謹而又趣味，深邃而又近人，令人敬畏卻又引人入勝，讓我們看到多維的空間，更引發我們無盡的嚮往。大師的導引，絲絲入扣，娓娓動人。 

在本書的序文裡，丘教授特別引用了宋詞兩句：
 
落花人獨立，微雨燕雙飛。 
雙飛乳燕何嘗不可以解釋為時間和空間、數學和物理、科學和文學比翼雙飛呢？ 
也記得有兩句詩： 
東邊日出西邊雨，道是無情卻有情。 
東和西、晴和雨、有和無，看不懂的人說是矛盾，看得透的人說是渾然一體。 
得讀好書，不亦快哉！ 

（本文作者為清華大學蒙民偉榮譽講座教授／中央研究院院士） 

跟著丘教授了解幾何，了解宇宙 
楊祖佑 

丘成桐教授以獨具的智慧，將宇宙的穹蒼奧祕、科學的精深無涯、數學的實質和玄妙，深入淺出的細細道來。 

他能從一般非內行人的角度，激發讀者好奇之心，隨著他思索探討這個美麗的世界。 
他能從自己身為當今數理界一代大師的思維，帶著讀者走過他天才苦學的一生，共享他攀登到至真至美成果頂峰的心路歷程。 
他以此書邀請讀者參加他與世界一些頂尖大師研討的過程，共同深窺這個無窮盡的宇宙。 

他以數理兼人文的世界級大師素養，寫出這本引人入勝的讀物，閱之能增加生活品質，老少咸宜。有意或者已經進入數理領域者，閱之更能增加宏觀、深度及信心。細讀此書後，人人會自覺為「似識幾何者。」
 
（本文作者為中央研究院院士／國加州大學聖塔芭芭拉校區校長）
 
透過人文情懷與素養，展現美妙的數學世界 
金耀基 

認識丘成桐教授多年了，丘教授是世界最卓越的數學家之一，他是香港中文大學傑出校友，也是中大數學科學研究所的特聘教授，所以不時有機會見面交談，可是他的專業工作與成就我卻不甚了了。今日的前沿數學委實太專門，太深奧了，外行人看來唯覺「只在此山中，雲深不知處」，不可能問津。想不到去年他送我一本新著：The Shape of Inner Space（就是這本《丘成桐談空間的內在形狀》），我竟能始終興致滿滿地讀了。 

丘教授此書的合作書寫者是納迪斯（S. Nadis），文筆優美淺白，我對其中涉及數學與物理的專門問題，也只能霧中看花，不求甚解，但讀到丘成桐在求學和知識上探險的心路歷程，卻充滿驚喜與讚嘆。從此書我才知道，他最早的重大發現便是解決了愛因斯坦重力理論中存在已久的一個難題，而他後來最重要的數學發現，即證明卡拉比（Calabi）猜想並從而建立有卡拉比與他合名的「卡拉比-丘空間」的結構，又已經被廣泛應用到粒子物理學中最前沿的「超弦理論」上去。這和中大另一位特聘的物理學諾貝爾獎得主楊振寧教授從實際物理學問題出發，然後發現美妙數學結構，對數學造成衝擊，可謂異曲同工。 

半世紀前劍橋的科學家、小說家斯諾（C. P. Snow）提出「兩種文化」之說，慨嘆科學家與人文學者不通聲氣，格格不入。時至今日，這種情況不但未曾改變，還日趨激烈。丘成桐教授是一位很有人文情懷與素養的科學家（他還出過詩文集），他出版此書旨在為一般讀者「導遊」，諄諄引導讀者窺視，感受高深數學的精神、方法和目標，更是為有志後學指點迷津，對「科學文化」之推廣與普及，功莫大焉。今天此書翻譯成中文出版，我希望並相信它會受到廣大讀者的歡迎。 

（本文作者為前香港中文大學校長／香港中文大學社會學榮休講座教授／中央研究院院士） 

一段精彩的科學探索之旅 
戴自海 

二十世紀物理學最偉大的兩個概念是廣義相對論與量子力學，不過這也帶來一則難解之謎，因為至少從表面上來看，這兩個理論彼此之間並不相容。為了調和這兩者，於是出現了弦論。事實上，弦論似乎能夠涵括大自然所有的作用力與物質，因此足可稱為萬有理論。而且，由於弦論內蘊著十分深刻的數學與物理結構，現在仍是學者持續積極去研究與探索的主題。 

根據弦論，我們的空間有九個維度（另外還有一個時間維度），因此為了能夠正確的描述大自然，其中的六維則是卷藏成一個內在空間。而且不同形狀的內在空間，將會推導出不同的作用力與物質。 

為了符合大自然已知的物理性質，這個內在空間已知很可能就是卡拉比-丘空間，或是非常類似它的空間。卡拉比-丘空間的存在性首先是基於卡拉比的猜想，後來再由丘成桐加以證明。由於丘成桐提供的是構造式的證明論證，因此數學家和物理學家已經構造出許多卡拉比-丘空間，並正仔細分析研究中，至於哪個卡拉比-丘空間才能描述我們宇宙，這個問題依然懸而未決。 

《丘成桐談空間的內在形狀》這本書所敘述的，正是上述這段研究過程的精彩故事，同時也美妙的呈現了一位數學家的觀點。任何理解或記得畢氏定理的讀者，應該都能愉悅的享受這段閱讀之旅。 
隨著本書的文字漫遊於時空之際，我相信讀者的心靈也將隨之解放翱翔。 

（本文作者為香港科技大學高等研究院院長／康乃爾大學講座教授） 

宇宙‧拓樸‧十維琴 

黃鍔 
宇宙聖歌動萬心 
幾何拓樸譜弦音 
空間無盡神奇曲 
試奏十維天籟琴 
讀　丘先生大作有感，博一笑 
黃鍔上，二○一二，台北南港 

（作者為中央研究院院士／國立中央大學國鼎講座教授／數據分析方法研究中心主任） 

要了解自然，不能不用上幾何 
高涌泉 

丘成桐談空間的內在形狀》這本書是近年來難得一見的科普（或者應該說是「數(學)普」） 作品。它之所以難能可貴，首要的原因當然是作者之一丘成桐是當代重量級數學家之一，書中對於丘教授傑出的數學生涯有第一手的描述，無論讀者是否熟悉數學的發展，丘教授帶有傳奇意味的學術經歷，讀起來都是有趣的故事。
 
其次，由於本書想把數學（幾何分析）與理論物理（弦論）中最尖端的研究介紹給大眾，既然一般讀者可能連基本數學名詞都沒聽過（有人知道「虧格」是什麼嗎？或者「繞異性」是什麼嗎？），作者便非得以日常語言及淺顯的比喻來說明現代數學基本概念（例如「黎曼面」、「黎奇曲率」或「凱勒流形」），這種解釋是在專業課本中看不到的，因此外行人可在書中讀到別處尋不著的當代數學導覽。其實我相信書中關於數學的說明，即便是專業人士（如數學系學生），讀了也會覺得是有趣與有益的。 

本書的主題之一，是數學家近乎憑空設想出來的幾何概念，對於描述真實的大自然現象是不可或缺的。這件奇妙的事，在古希臘時代已見端倪，到了四百多年前，克卜勒以橢圓（圓錐曲線之一）來描述行星軌道提供了更好的例子；但真正確立則是在愛因斯坦建立了廣義相對論之後，因為愛因斯坦於1915年底完成的這項工作，用上了德國大數學家黎曼於1854年創造的、適用於任何空間維度的「黎曼幾何」，而黎曼幾何可是遠比圓錐曲線來得更為抽象與奧祕，它能派上用場就不可能僅是巧合的事了。

很多物理學家相信如果沒有黎曼建構的數學在手，愛因斯坦可能得延遲很多年才能得到廣義相對論。為什麼數學對於物理如此有用，至今沒人能解釋清楚。如果弦論未來證實是正確的量子重力理論，在弦論中扮演重要角色的「卡拉比-丘流形」（這個流形的來龍去脈與應用正是本書的主要故事）則會提供另一個令人驚歎的例子。 

有人可能要問，難道黎曼不能在愛因斯坦之前想出廣義相對論嗎？比愛因斯坦年長17歲、任教於德國哥廷根大學的大數學家希伯特（David Hilbert）曾如此感歎：「哥廷根市（黎曼也曾是哥廷根大學數學教授）街道上每個小孩都比愛因斯坦更懂四維空間的幾何，然而，即便是如此，想出廣義相對論的，卻是愛因斯坦而不是數學家。」希伯特甚至於曾在公開演講中說：「你們知道為什麼在我們這一世代之中，提出了關於空間與時間最具創意與最深奧看法的，是愛因斯坦而不是別人嗎？那是因為他對於時間與空間的哲學與數學一無所知！」 

希伯特曾在1915年夏天邀請愛因斯坦到哥廷根演講他研究廣義相對論的進展，當時愛因斯坦已大致掌握了理論架構（他從大學同學格羅斯曼那裡學到黎曼幾何），但是還沒得到正確的方程式。希伯特了解了愛因斯坦的問題之後，即刻加入重力方程式的競逐，幾個月後希、愛二人幾乎同時得到正確結果。

（不過希伯特完全承認廣義相對論重要的點子都來自愛因斯坦，所以他從來不與愛因斯坦搶功。）希伯特之所以能夠追上愛因斯坦，主因當然是他對於幾何有深刻的理解。所以我們可以猜想，如果黎曼當年能知曉問題之所在，他便可能早愛因斯坦60年弄出廣義相對論，然而歷史終究不是這樣子！那麼物理學家愛因斯坦究竟比數學家黎曼多知道些什麼，才會問出正確的問題呢？ 

答案是愛因斯坦知道狹義相對論。如果沒有狹義相對論，也就是說，沒有時間膨脹、長度收縮的概念，彎曲時空的點子當然也就出不來。然而狹義相對論根源於馬克士威（James Clerk Maxwell）的電磁學：愛因斯坦看出馬克士威電磁學（電磁現象）意味著光速是固定的，而且相對性原理也成立，才被迫想到絕對時間的觀念必須拋棄。馬克士威與黎曼雖是同時代的人（黎比馬年長五歲），但黎曼過世太早，電磁學徹底建立是黎曼死後的事，所以黎曼當然無從得知時間與空間的相對性，光有黎曼幾何並不足以讓他認知彎曲時空這回事。 

廣義相對論的發展若沒有數學家的幫助，能不能成事還很難說；反過來，數學家也發現實際的物理問題能夠提供線索，引導他們瞧出之前從未想到的數學架構。物理學家維格納（Eugene Wigner）曾贊歎數學在自然科學中「不合理的有效」，其實物理學家所發現的方程式在數學中也有出奇的效用，《丘成桐談空間的內在形狀》這本書以許多當前熱門研究議題來介紹這件極神妙的事（請見書中圖13.4），非常值得讀者細心思量。 

（本作者為台大物理系教授） 

中文版序 
希望年輕人能理解數學之美， 
以及我做學問的精神 

十多年來，我花了不少時間到世界各地做通俗演講，向聽眾解釋數學的美妙。每次演講完後，總覺得意猶未盡，後來又因為一些機緣，激發我的興趣，想寫一本給一般大眾閱讀的科普書籍。《丘成桐談空間的內在形狀》就是這樣的一本書，是我和納迪斯先生（Steve Nadis）合寫的，寫作過程並不容易，前後花了我們四年的工夫。 

2002年，浙江大學數學所開幕，我邀請了一批有國際聲望的數學和物理學家來參加學術會議，包括霍金（Stephen Hawking）、大衛．格羅斯（David Gross）、韋頓（Edward Witten）等名聞遐邇的大師。其中最引人注目的是霍金的演講，當時整個浙江省都哄動起來，有超過三千聽眾在大球場上聽講。後來在北京的國際弦理論大會上，我們決定霍金的演講不收入場費，但要憑入場券入場，沒想到一票難求，黃牛票竟賣到人民幣二百元以上。

當時中國國家主席江澤民在中南海接見上述來賓時，很高興的表揚了「霍金熱」，媒體更是一致稱頌。但是有些物理學家並不滿意媒體的報導，認為他們未能好好解釋霍金在科學上的成就，大多數人無從瞭解霍金這位物理大師的為人和學問。 

當年，國際數學家大會（ICM）也在北京舉行，知名的諾貝爾經濟學獎得主數學家納許也參加了這次大會。我在開會前與他共進晚餐時，談到一本描述他生平的書，以及該書改編的電影（即《美麗境界》〔A Beautiful Mind〕及其同名電影。大陸及香港則譯為《美麗心靈》），納許向我抱怨這本書的作者和電影的編劇，從來沒有跟他交談過，寫出來與演出來的內容許多都跟事實不符。 

到了2006年，我在北京再度召開國際弦理論大會，邀請許多物理和數學家與會，當然也邀請了上述2002年訪中的大師。為了減輕大會的經濟負擔，我得到霍金教授的同意，讓他的團隊經過香港一行，但由於人數眾多，香港中文大學無法支應經費，所以我請香港科技大學的鄭紹遠在科大舉辦一場霍金的演講，沒料到香港媒體極為興奮，大肆宣傳。

後來在北京的大會上，更有六千多人在人民大會堂參加霍金的演講。當時湖南出版社已經翻譯了霍金教授的暢銷科普書。而在同一段時間，媒體也對當時數學龐卡赫猜想的解決極感興趣，然而無論中國或外國的媒體，都未能把握到這些科學成果的真意，殊為可惜。 

這些經驗讓我體認到科普工作的重要性與難度，其中尤以撰寫數學科普書更為困難。大部分數學科普作者太著重描述數學家個人的個性或軼聞，很少能真正觸及數學吸引人之美與內在的真實。許多作者更因為害怕讀者讀不懂，往往將最精彩的地方一筆帶過。甚至明知自己的解釋有誤，但為了讀者容易閱讀，就模模糊糊、將就過去。我很希望能寫出一本數學科普書來矯正這種毛病。 

於是，我找了納迪斯來合寫這本書，闡述我在畢業後十五年內的重要工作，並描述我在解決這些問題時所遇到的困難，以及克服問題後的喜悅感受，同時也在字裡行間帶出我與朋友和學生的交誼點滴。 

一般來說，數學家很少會寫出自己創作的經驗，再加上我做的研究與物理學密切相關，所以寫這本書時，自己覺得很有意思，希望年輕人或年青學者能理解我做學問的精神。納迪斯的文筆很好，他是一位擅長用通俗語言描述天文學的職業作家，雖然不很懂數學，卻滿懷學習的熱情。這樣的合作伙伴最是難得，因為我需要藉比較簡單的語言，描述深奧的數學內涵。透過納迪斯的領會，總算能將這些想法向大眾表達出來。從美國讀者的反映知道，我們獲得了一定程度的成功。而且如今，納迪斯也成為數學專家了。 

猶記得當年解決卡拉比猜想時，我心中的感覺可以用兩句宋詞貼切表達：
 
落花人獨立 
微雨燕雙飛 

我希望這本書的中文譯本，能夠將數學家、物理學家這種和大自然融成一體的美妙感覺表現出來。秉仁是我從前的博士生，精通數學，文筆美好。我感謝他與趙學信先生花了這麼多寶貴的時間將這本書翻譯出來，得其神韻，實在不易。 

我衷心感謝幫忙我們的人，除了英文序中提到的數學家和物理學家、納迪斯、翁秉仁和趙學信外，我還要感謝遠流出版社和湖南出版社出版這本書的中文譯本。

譯後序 

對曲撫弦好時光 
翁秉仁 

1985年7月，我提前一個月出國留學。當時台灣的戒嚴體制，不允許無端提早出國的時間，必須另案特別申請。感謝數學系的師長奔走，我才能如願搭上華航的班機。還記得飛機斜仰衝入雲層時，機身搖晃顫抖，當時心中忐忑，不知是興奮還是惶恐，是因為跨出這個囚鎖的島國？即將迎接未知的異國生活？抑或只是單純的生理恐慌。 

我之所以提前出國，是因為要參加加州大學聖地牙哥分校的一個數學「夏令營」，主辦人是丘成桐先生，他在1983年剛獲得數學界的諾貝爾獎——費爾茲獎，日後成為我的論文指導老師。這個數學營的對象是全球的華人數學家與學生，所以與我同行的還有許多台灣的師長或同輩，一個月同炊同宿同遊的日子，以及與「共匪」初遇交誼的經過，留下了許多特別的回憶。 

在營隊中，除了白天有沙灘排球、晚上看電影（記得是鄭紹遠帶來了《小城之春》），我們要閱讀、報告、討論，營中還有許多一流數學家的演講。當時多納森的四維拓樸工作出爐不久，再配合也在聖地牙哥的弗利德曼的龐卡赫猜想的結果，整個四維流形的研究有了根本的突破（這兩位數學家在隔年也都獲得最高榮譽的費爾茲獎），整個營隊的氣氛十分熱烈高昂。就這樣，我以一個學子身分，見證了一個數學時代的開始，隨後幾年一直處於數學研究的核心圈之一，讓我真真正正體會到，什麼是知識的演進、時代的推移。 

在聖地牙哥的兩年（中間有半年在德州奧斯丁）只下了一場小雨，每日都是陽光藍天，天氣怡和，漢米爾頓經常跟我們炫耀衝浪的故事；弗利德曼喜歡攀岩，還攀爬系館給大家看；孫理察則是排球健將，殺起球來虎虎生風；相較下來，丘先生雖然喜歡跟大家打球，球技就沒有數學那麼厲害。 

不過我們的生活絕不能用悠閒來形容，事實上，丘先生的學生一貫要參加許多研討班與演講（這點到現在似乎也沒有改變），每天學習行程滿檔，密度之大，蔚為奇談，引人側目。當時系上的師生，謠傳我們這個「幫派」整天用廣東話輪流報告，天曉得丘先生擔心我們日後的教學，嚴格要求我們用英文演說，只是大家的英文不標準罷了（奇怪的是，我們彼此卻都聽得懂）。記得當時，丘先生鼻炎嚴重，經常在大小演講的中途睡去，到快結束前才醒來，而且還隨即開始問問題，妙的是，他問的都是關鍵問題，比醒著的我們還準確。他這個嗜睡的毛病，幸好在奧斯丁時開刀後，就沒再看到了。 

由於丘先生的眼界開闊，給學生們的問題方向頗有差異，因此我們在研討班報告的範圍也很廣，刺激著彼此學習不同的領域，內容多是當時的重要研究，許多還是炙手可熱的預印稿。不過丘先生總是很忙，學生的研討班不見得能全程參與，出訪的時候更是同學鬆一口氣的時候。

事實上，他並不像一般博士班指導老師，有指導學生的固定時間。倒不是他有意冷淡對待學生，而是因為他的訪客，不論是在美國西岸或後來的東岸，總是絡繹於途，因此學生只能各憑本事找他的空檔。不過，別看他事務繁忙，對數學的專注力卻十分驚人，幾乎不擇時地皆可思考，無論是聊天、走路、開車，幾乎任何時候，總是可以忽而從塵世俗事脫身，繼續在超然的數學話題上侃侃而談。 

但是丘先生似乎不認為自己是天才，至少不覺得天才是一個好數學家的決定性因素。所以他並不特別認為數學家異於常人，也不十分熱中於奧林匹亞之類的數學競賽。他從自己的成長體驗，更在乎學生是否有專注的毅力、辛勤的工作態度，以及熱愛數學的襟懷。也因此，雖然他有時看起來嚴肅，卻又常帶著童心好奇的天真。 

丘先生是一位很有行動力的人，如果說他是二十世紀最重要的華人數學家，有一部分原因出自他自始至終關心華人數學的地位與提升，並付出比其他海外華人數學家更多的努力。前述我們所參加的夏令營，正是他年輕時（當時他才36歲）就開始提高華人參與主流數學的努力嘗試。丘先生的華人學生一向很多，與我同期大概有十人之多，他帶著我們由加州、德州到麻州，中間顯然遇到許多行政上的挑戰，但他都一一為我們克服。 

後來，他更是積極來往於香港、台灣與大陸，說服學界、商界與政界人士，支持華人數學的發展。目前他在兩岸三地協助成立了許多數學研究中心，完全義務，並不支薪。1998年起，他更積極推動華人數學家大會（ICCM），積極提攜華人數學家，鼓勵他們奉獻於數學的大業。 

我經常聽到有人批評丘先生「霸氣」，不過學術界本非無塵脫俗的世界，自有現實的歷史宥限與學術政治，西方世界主導數學界幾百年，隱約總能聞出偏執、惡見、藏私、壟斷、保護的氣味。想要在現代數學界的中心位置殺出生路，衛護並推升華人數學的成就，卻唯獨這個霸氣不可少。他的種種臧否批評，不論是出自熱情或義憤，背後總有著清楚嚴謹的理路。 
 
丘先生的行動力，也促成了這本書。 
幾年前，丘先生告訴我他想寫一本數學科普書，問問我的意見。以科普書向大眾普及科學知識的重要性，盡人皆知，但是科普書不好寫，數學科普書更難寫，也是內行人都了然的難關。依照霍金開玩笑的講法，寫科普書每多一個公式，銷量就會掉一半，但是寫數學科普書若不寫出算式，卻經常讓識者覺得空洞，反而讓一般讀者學些似是而非的概念，不然就只是一些歷史故事、數學家軼事，甚或八卦。 

但是丘先生肯定寫科普書的重要性，不但想寫，而且希望能兼顧這兩個近乎不能相容的困難（見本書丘先生的兩序），由於丘先生本身是個大忙人，我無法想像他如何能抽空完成這件事，當時我的意見恐怕還是遲疑居多。沒想到四年之後，丘先生竟然真的將書「變」到我們的眼前；從本書內容的廣度與深度，這中間的辛苦顯然不足為外人道矣，但丘先生還是憑他的毅力完成了。 

在這段期間前後，丘先生也開始大力推動數學的普及化，他經常在各地做通俗性的數學演講，不但直言數學結構之美，深談數學與人文之聯繫，也談及數學教育的重要性，抨擊華人數學教育的疏失，這些演講散見於網路，日後勢將編輯成書。同時，他也在大陸推動《數學與數學人》、《數學與人文》兩叢書（應該算是雜誌），今年也協助在台灣推出《數學人文》雜誌（五南將出版）。 

最驚人的是，當我們譯完本書正在收尾時，丘先生又突然寄給我另一本將要出版的新書《哈佛數學150年》（A History in Sum: 150 Years of Mathematics at Harvard (1825-1975)，哈佛大學出版社）。他再一次不媚俗的選擇了他認為重要的課題，這一次他希望讀者（尤其是華人讀者）能夠以哈佛大學為案，理解美國如何從數學的不毛之地，走向數學的繁華之都。希望以此展示，何謂數學教育的應然方向，乃至高等教育該如何健全發展。希望我們能體認，高等教育必須以第一等研究為主要目標。 

至於我想翻譯這本書，倒不是因為丘先生是我的老師，雖然這層關係在溝通譯文上多了便利與信任，但他自始至終可都沒有擺出什麼老師的架子。想要翻譯，一方面是丘先生以世界一流數學家之姿，卻花費四年來完成一本數學科普書，其中的風範與熱情固然令人動容；同時正因如此，我猜讀者也會十分好奇，他想談論的主題內容的獨特性與重要性。 

簡而言之，本書的主旨是要以數學家的觀點，來談論弦論十維空間中的六維內在空間，這個空間基本上是所謂的卡拉比-丘空間，其中丘就是丘成桐，這是他證明了卡拉比猜想而確立的幾何空間，他也因此榮獲費爾茲獎。而由於書中深入談到他證明這個猜想以及日後應用的過程，因此從某種角度，也可以看成丘先生的半傳記。 

底下我先簡單介紹一下全書的梗概。本書大致上可以第六和第七章為界，大略分成前後兩部分（扣掉最前面的介紹，與最後面的總結章節）。第一部分鋪陳閱讀這本書的數學背景，順便鳥瞰當代的幾何學。第二部分則強調如何將卡拉比-丘流形運用到弦論中。 

在第一章開宗明義、大致介紹隱藏或內在空間的想法之後，第二章簡短追溯幾何學的歷史源流，也順便釐清一些幾何概念；然後作者在第三章介紹了今日幾何學的新工具——幾何分析學的發展，尤其介紹了到目前為止的三大成就之二：四維拓樸和龐卡赫猜想；由於第三項成就——卡拉比猜想是本書的主題，因此分成第四、五兩章，依序介紹卡拉比猜想的意義，以及丘先生證明猜想的過程。 

在第一部分與第二部分之間的六、七兩章，基本上可以看成數學和物理的邊界。作者首先在第六章介紹弦論兩次革命的發展，並解釋本書主角卡拉比-丘流形在弦論中的理論重要性；第七章則反之，指出弦論或物理學的思考如何帶給數學研究上豐富的深遠影響，尤其是鏡對稱。 

第二部分始於第八章。在本章作者給出例子，說明弦論學者如何巧妙的建立了卡拉比-丘流形與黑洞資訊悖論間的關聯。第九章則說明如何透過卡拉比-丘流形，從弦論回歸到標準模型，試圖重建基本粒子的各種性質。第十章淺談內在空間的其他可能性，以及卡拉比-丘流形在其中扮演的關鍵角色。第十一章談到由於宇宙終將去緊緻化所導致的宇宙末日想像。第十二章則回到內在空間觀測證據的問題，論析目前藉由天文觀測或加速器所能提供的證據可能性。 

最後兩章則是總結性的反思，第十三章談論數學和物理的辯證發展關係，以及弦論對數學的意義。第十四章則為了調和廣義相對論與量子力學預設的不同空間觀點，探討未來幾何學的可能發展方向。 

另外，丘先生在全書「序曲」與「終曲」裡，以柏拉圖的「幾何化」構想為主軸，暢談了本書的數學思想主題，構成一個美好的循環。 
 
就科普書而言，這本書的確比較深入而有一定難度。主要的原因在於丘先生撰寫這本書的使命與信念：深入淺出的讓大眾能更深入知道弦論的理論內涵。由於許多概念牽涉到數學的實質進展，自然涵蓋了概念累積的深度（這也許是數學和其他科學相異的特色）。筆者在本書的〈附錄1〉整理了一個關於幾何中「空間」、「維度」、「曲率」等概念的說明，希望能幫忙讀者降低一些閱讀的難度。 

相對於其他的數學科普書，我覺得這本書有三個特色，值得我將它翻譯出來： 
首先，這本書至少有三分之一的篇幅討論現代幾何學的發展。一般科普書如果是純粹探討幾何學，多半只沿著歷史發展談到非歐幾何。如果還要再涉及廣義相對論，則會再討論一些比較延伸的幾何概念，但多半就開始避重就輕，讓材料用一種暗喻類比的方式來進行。幾何學家奧瑟曼的《宇宙的詩篇》已經是最努力的嘗試，但我個人覺得仍然稍嫌不足。不然就算是討論解決龐卡赫猜想這種熱門話題的科普書，也都只能出偏鋒，繞著外部的歷史、心理、八卦兜圈圈，讀者完全無法讀到正面的材料。 

這個困難主要是來自數學概念的累積性，不但需要讀者一定的閱讀專注，也需要作者能正確掌握手上的材料，舉重若輕，入其環中。否則，數學的科普書真的只能永遠停步在國高中時期的數學概念。

結果，丘先生這本書光是談及幾何分析學的三大成就，就涉及到1980年之後好幾個費爾茲獎得主的研究工作。這無疑是困難的挑戰，但丘先生身為幾何分析學的大宗師，對於材料的選取、關鍵的解說，都無疑有著權威性的準確度與品味。我想這不只讓年輕的學子有一窺堂奧的機會，即使對於不同領域的數學家，這一部分的閱讀應該也有著相當的吸引力。 

其次，雖然談論弦論的科普書籍已有很多，但這一本卻非常不一樣，足以和格林恩的暢銷鉅作《優雅的宇宙》分庭抗禮，而且就某種角度是更有勝之。當然這和作者兩人數學家和物理學家的不同背景有很大的關係。 

就介紹弦論的物理背景而言，《優雅的宇宙》無疑是一本傑出的物理科普著作，格林恩深入淺出的說明，許多都頗有新意。但是我想許多讀者讀完後，可能還是感覺隔了一層，有種知其然不知其所以然的感受。理論物理學的種種迷人巧思，無疑是當代科普市場的重要賣點，但一旦牽涉到「所以然」的骨幹——數學，一般作者還是盡量迴避。其中的重要原因除了市場考量，也是因為這些多半是物理學家的作者，對箇中的數學無法做最核心、最關鍵、最對味的掌握，因此無法像講解物理概念那樣，遊刃有餘的經營手中的材料，《優雅的宇宙》雖然做了一些努力，但感覺並不很成功，反而有種懸在半空中的尷尬。 

丘先生這本書由於作者出發點不同、背景不同，正好補足了這長久以來的缺憾。倒不是說這本書通篇都是數學方程式，恰恰相反，這本書的數學算式非常節制，但是作者並不迴避理解弦論時所需要的重要數學概念，簡化、比喻、類推皆有之，需要讀者投入想像力與思考力，但絕無馬虎、欺瞞、慢待讀者之處。一位有感的讀者，必然能從本書的閱讀，對弦論的成就有了提升一層的理解。 

當然，在一本科普書裡，絕對的精確描述是絕無可能也毫無必要的。今天許多對於弦論或當今理論物理學有興趣的年輕學子，最困惑的是不知該學哪些數學，而面對這些數學符號的重重關卡，又往往不知重點何在。許多物理或數學的老師受限於自己所學的限制，往往不能給出恰當的建議。丘先生這本書在這方面頗有振聾發聵的幫助，不但完整提到所需的數學概念架構，而且直入核心的還原了這些概念背後的重要數學與物理意義。 

第三個特色，則和這本書的半自傳色彩有關。 
在大眾的心裡，數學有著真理的形象，是超然於眾學科之上或之外的另一種學科，連帶著，數學家似乎個個像是遺世獨立、不食人間煙火的天才高人。但丘先生這本書多少打破了這樣的假象，讓數學做為人類狀況、文化與事功的一環能夠顯現出來。這得歸功於丘先生願意介入他的書，不諱言自己的感受。他不諱言研究路途的折磨艱辛的痛苦、柳暗花明的喜悅，有與朋友討論分享的歡快，也有學術爭執的無奈。 

藉由他的介入，丘先生也分享了建立理論的動態層次。對於一般愛智的讀者，這本書提供一個十分有吸引力的角度，讓我們跨過科普知識的櫥窗，一窺理論內核心概念的成形與演進的過程。 

事實上，這本書有著科學哲學（或數學哲學）的意義。一般非數學家或非主流數學家的科學哲學論著，往往讀起來有點意識型態化，以自己妙得的一二見解，落入執著或黨同的立場。但丘先生以他處於最核心的科學領導者的立場，娓娓道來的，反而讓我們見識到對於靈光妙想和理性證據的嚴格分際，奇妙融合了彈性與嚴謹，也見到對未知的開放與坦然。 

弦論在科學哲學上的重要意義，是讓我們見識到幾何學如何涉入大自然結構，以及物理學回饋數學的深度，看丘先生在序曲、終曲與最後兩章中品評這段過程，反省數學和物理學間的關係時，他為愛好思考的讀者提供了許多更值得深思的觀點，甚至也彰顯了數學的詩情。 
 
最後，其實翻譯本書，還有著比較私人的理由。書中討論到的許多發展，與我留學的時光或有重疊，譯書時隨著書中提到的人事，許多生命的青春回憶也漸次浮現。當時的同學，如今有些是一方學術大名，有些卻已轉行失去聯繫。但是那些聖地牙哥、奧斯丁、波士頓的瑣事點滴；橫越美國的公路之旅；兩岸政治事件發生時（尤其是六四），同學朋友徬徨焦慮的眼神，許多景象留在腦海裡，反而愈久愈清晰。 

譯這本書，我想獻給共度這段時光的所有人。 
———關於翻譯的一點補充說明——— 

一、首先要感謝丘先生，由於他的著眼點是在不失真的前提下，讓書更易於閱讀，因此為了華文讀者的習慣，他允許我們可以更動敘述、甚至挪動段落。雖然這種修改並不多，但確實存在，因此希望對照閱讀英漢版的認真讀者，不要以為是誤譯，也希望我們的修改能更切中丘先生著述的要旨。 

二、根據原精裝版作者已發現的錯誤，以及我們另外查對出的錯誤（已提供給英文平裝版修改參考），這個譯本已經做了整體的修正，因此是一個更正確的版本。 

三、除了丘先生和遠流出版社團隊之外，在翻譯上我們還得到一些人的協助。在正質量猜想的部分，我要特別感謝和王慕道的討論，他和丘先生2011年全年度正好都在台灣大學訪問。感謝劉月琴和洪瑛幫我「決定」了楊宏風的中文姓名，劉月琴是楊的夫人，她和洪瑛都是羅格斯大學的統計學教授。另外，也感謝曾立生和蕭文禮的協助，並謝謝他們的鼓勵。 

四、全書雖然由趙學信和我分譯前後部分，但最後都互相細讀討論過，因此是名符其實的合譯。最後定稿時，也很感謝遠流吳程遠的費心討論。 

五、原書附註列於全書之後，號碼標於內文中。譯註的部分主要由我來執筆，置於當頁下方。 

六、英文姓氏相同時，我們譯成一樣的中文，用完整的名字加上姓氏來區分，在無混淆之慮時，我們在局部首次出現時用完整姓名，隨後仍只使用姓氏，以收簡潔之效。 

七、無理解或釐清之必要時，不增加譯註。 

推薦文　心腦交會的時空行者／曾志朗
看到萬事萬物之間的深層關聯／劉炯朗
跟著丘教授了解幾何，了解宇宙／楊祖佑
透過人文情懷與素養，展現美妙的數學世界／金耀基
一段精彩的科學探索之旅／戴自海
宇宙‧拓樸‧十維琴／黃　鍔
要了解自然，不能不用上幾何／高涌泉
譯後序　對曲撫弦好時光／翁秉仁

中文版序　希望年輕人能理解數學之美，以及我做學問的精神
英文版序　數學，是一場波瀾壯闊的冒險！

序 曲　從柏拉圖到宇宙未來的形貌
在偉大的前科學時代，柏拉圖就指出，我們所見的世界，只是這個不可見幾何形體的反映罷了。這個觀念深得我心，也和我最知名的數學證明緊密相關。

第 1 章　想像邊緣的宇宙
對數學家而言，維度指的是一種「自由度」，也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，只要沒有碰到障礙，它就擁有三個自由度。但維度是不是就只有那麼多？

第 2 章　自然秩序中的幾何
因為你瞧，這整齣宇宙大戲──粒子、原子、星辰和其他物質的複雜舞台，不斷地游移、運動與交互作用──都是在同一座舞台上演出，或可說，在一個「空間」之內上演。如果不能掌握空間的詳細特徵，便不能真正理解這齣戲。

第 3 章　打造數學新利器
幾何學發展至今，儘管有著豐富的歷史和輝煌的成就，但我們切莫忘記，幾何學仍是一個不斷演變、日新又新的領域，它的進展腳步未曾稍歇。最近幾何學的一項重大演變，是「幾何分析」。

第 4 章　美到難以置信：卡拉比猜想
卡拉比猜想對於幾何分析以及對於我個人影響都極為深遠。卡拉比所問的問題其實密切聯繫到愛因斯坦的廣義相對論：假如我們的宇宙全無任何物質，它還會有重力嗎？如果卡拉比是對的，曲率可以讓空無一物的空間仍然有重力。

第 5 章　證明卡拉比（是對？是錯？）
每當我以為終於把證明搞定時，論證總會在最後一刻崩潰，一次又一次重演，令人益發沮喪。兩週的煎熬下來，我判斷必定是我的推理出了差錯。唯一的辦法是更弦易轍，改從反方向進攻。

第 6 章　弦論的DNA
弦論必須是十維的理由十分複雜，主要的想法大致如下：維度愈大，弦可以震動的方式就愈多。但為了製造出宇宙中的所有可能性，弦論不只需要大數目的可能震動模式，而且這個數目還必須是特定的數，結果這個數只有十維時空才辦得到。

第 7 章　穿越魔鏡
事後證明，這是鏡對稱的重要時刻。許多本來認為鏡對稱是垃圾的數學家，開始意識到終究還是能從物理學家那裡學點東西。數學家莫理森就是很好的例子，他在柏克萊會議時是最直言不諱的批評者，但後來想法完全改變，不久之後就完成許多鏡對稱、弦論、卡拉比-丘流形拓樸轉換等的重大貢獻。

第 8 章　時空中的扭纏
用兩種截然不同的方式計算熵，竟然得到相符的結果，這固然值得高興，但是從另一方角度來說，卻也很令人驚訝。布朗大學物理學家西蒙斯說：「沒想到回答這個問題的關鍵步驟，是去計數卡拉比-丘空間中的數學物件。」
第 9 章　回歸現實世界
物理學的標準模型是有史以來最成功的理論之一，其中描述了各種物質粒子，以及在這些粒子間來來去去的介子。不過就描述大自然的理論來看，它在某些方面還是有所欠缺。首先，標準模型擁有大概二十個無法由理論決定的待定參數，像是電子和夸克的質量。弦論學者則希望能夠提供這樣的數學解釋，而且除了弦的張力之外，剩下唯一待定的參數就只有空間的幾何。

第10章　超越卡拉比丘
儘管我偏愛卡拉比-丘流形，且此情在過去三十餘年有增無減。但是對於這個課題，我仍然會保持開放的心態。如果最終對弦論來說，非凱勒流形的價值大於卡拉比-丘流形，我也能欣然接受。

第11章　宇宙解體（想知道又不敢問的世界末日問題）
雖然沒有人真的知道最終會發生什麼事，不過一般同意，目前宇宙的狀態無法永存，某種真空衰變終究會出現。縱然六維空間的終結可能關係到宇宙的終結，但是這方面的研究勢必得踏進未知之地！

第12章　尋找隱藏維度的空間
但是，要從哪裡開始呢？是透過望遠鏡觀測？還是讓粒子以相對論速度互相撞擊，再從殘渣碎屑中篩檢出線索？這些是目前炙手可熱的研究，所謂的弦論現象學已經成為理論物理學中蓬勃發展的領域。

第13章　數學‧真‧美
確實，人們一次又一次的發現，數學概念如果滿足簡潔、優美的標準，通常最後也能夠應用於大自然。為什麼會如此，依舊是一個謎。其中的神祕之處在於，為什麼與自然世界沒有明顯關連的純數學結構，能夠這麼精確的描述這個世界。

第14章　幾何的終結？
現在的幾何學也正迫近這個非常類似的情境。古典黎曼幾何已經無法描述量子層次的物理學，因此需要尋求一種新幾何學，一種同時適用於魔術方塊和普朗克長度弦的推廣理論。問題是如何實踐這個想法，就某種程度而言，我們是在黑暗中摸索。

後 記　每天吃個甜甜圈，想想卡拉比-丘流形
最近，韋頓曾經與史聰閔格在普林斯頓見面。當時他沉思之後說：「在二十多年前，誰會想到在卡拉比-丘流形上研究弦論會這麼有趣。我們挖掘得愈深，就學得愈多，因為卡拉比-丘流形是非常豐富又核心的構造。」

終 曲　進入聖堂，必備幾何
根據傳說，柏拉圖在學院入口的大門上，銘刻著下面這句話：不識幾何者，不能入此學園。如果要在我哈佛研究室門口，也掛上一塊標誌的話，我會將文字修改成「不識幾何者，不能出此門。」

龐卡萊之夢
附錄1　了解三個重要概念：空間、維度、曲率
附錄2　名詞解釋
附錄3　原文注釋

第1章　想像邊緣的宇宙

對數學家而言，
維度指的是一種「自由度」，
也就是在空間中運動的獨立程度。
在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，
只要沒有碰到障礙，
它就擁有三個自由度。
但維度是不是就只有那麼多？

望遠鏡的發明以及隨後多年以來的不斷改良，幫助我們確認了一項事實：宇宙比我們能看到的還要浩瀚、廣大。事實上，目前所能得到的最佳證據顯示，宇宙將近四分之三是以一種神祕、看不見的形式存在，稱為「暗能」（dark energy），其餘大部分則是「暗質」（dark matter）*，再剩下來構成一般物質（包括我們人類在內）的，只佔百分之四。而且物如其名，暗能和暗質在各方面都是「暗的」：既看不見，也難以測度。

我們所能看見的這一小部分的宇宙，構成了一個半徑大約137億光年的球體。這一球體有時被稱為「哈伯體」（Hubble volume），但是沒人相信宇宙的整體範圍只有如此而已。根據目前所得的最佳數據，宇宙似乎是無窮延伸的──不管我們向哪個方向看去，如果你畫一條直線，真的可以從這裡一直延伸到永恆。

不過，宇宙仍有可能是彎曲而且有界限的。但即使如此，可能的曲率也會非常微小，以至於根據某些分析顯示，宇宙必然至少還有上千個哈伯體。

最近發射的普朗克太空望遠鏡，或許會在幾年內揭露宇宙中可能存在著至少一百萬個哈伯體，而我們所在的哈伯體只是其中之一而已。我相信天文物理學家的這一說法，也瞭解有些人可能會對上面引述的數字有不同意見，但無論如何，有件事實是不容辯駁的：我們目前所見到的，不過是冰山一角。

而在另一個極端，顯微鏡、粒子加速器以及各種顯影儀器持續揭露宇宙在微小尺度上的面貌，顯現了人類原先無法觸及的世界，像是細胞、分子、原子，以及更小的物體。如今我們不再對這一切感到訝異，完全可以期待望遠鏡會向宇宙的更深處探索。另一方面，顯微鏡和其他儀器則會把更多不可見之物轉為可見，呈現在我們眼前。

最近幾十年間，由於理論物理學的發展，再加上一些我有幸參與的幾何學進展，帶來了一些更令人驚訝的觀點：宇宙不止超出我們所能看見的範圍，而且可能還有更多的維度，比我們所熟悉的三個空間維度還要多一些。

當然，這是個令人難以接受的命題。因為關於我們這個世界，假如有件事是我們確知的，假如有件事是從人類開始有知覺就知道，是從開始探索世界時就知道的，那就是空間維度的數目。這個數目是三。不是大約等於三，而是恰恰就是三。至少長久以來我們是這樣認定的。但也許，只是也許，會不會還有其他維度的空間存在，只不過因為它太小，以至於我們無法察覺呢？而且儘管它很小，卻可能扮演非常重要的角色，只是從人們習以為常的三維視野無法體認到這些罷了！

這個想法雖然令人難以接受，但從過去一個世紀的歷史得知，一旦離開日常經驗的領域，我們的直覺就不管用了。如果運動速度非常快，狹義相對論告訴我們，時間就會變慢，這可不是憑直覺可以察覺到的。另外，如果我們把一個東西弄得非常非常小，根據量子力學，我們就無法確知它的位置。如果做實驗來判定它在甲門或者乙門的後面，我們會發現它既不在這兒也不在那兒，因此它沒有絕對的位置，有時它甚至可能同時出現在兩個地方！換言之，怪事可能發生，而且必將發生。微小、隱藏的維度可能就是怪事之一。

如果這種想法成真，那麼可能會有一種邊緣性的宇宙，一處捲摺在宇宙側邊之外的地域，超出我們的感官知覺，而這會在兩方面具有革命意義：單僅是更多維度的存在──這已經是科幻小說一百多年來的註冊商標──這件事本身就夠令人驚訝，足以列入物理學史上的最重大發現了。而且這樣的發現將會是科學研究的另一起點，而非終點。這就好像站在山丘或高塔上的將軍，得益於新增加的垂直向度，而能把戰場上的局勢看得更清楚。當從更高維的視點觀看時，我們的物理定律也可能變得更明晰，因而也更容易理解。

從蒼蠅的世界看維度的意義

我們都很熟悉三個基本方向上的移動：東西、南北、上下。（或者也可以說是左右、前後、上下。）不管我們去哪裡──不論是開車上雜貨店或是飛到大溪地──我們的運動都是這三個獨立方向的某種基本組合。我們對這三個維度太過熟悉，以致於要設想另一個維度，並且指明它確切指向哪裡，似乎是不可能的。

長久以來，似乎我們所見的即是宇宙的一切。事實上，早在兩千多年前，亞里士多德在《論天》（On the Heavens）中就論稱：「可在一個方向上分割的量，稱為線；如果可在兩個方向，稱為面；如果可在三個方向，則稱為體。除此之外，再無其他量。

因為維度只有三個。」西元150年時，天文學家暨數學家托勒密嘗試證明不可能有四個維度，堅持認為不可能畫出四條相互垂直的直線。他主張，第四條垂直線「根本無法量度，也無法描述。」然而，與其說他的論點是嚴格的證明，還不如說是反映了人們沒有能力看到並描繪四維空間的事實。

對數學家而言，維度指的是一種「自由度」（degree of freedom），也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，只要沒有碰到障礙，它就擁有三個自由度。現在假設這隻蒼蠅降落到一座停車場，而被一小塊新鮮柏油黏住。當它動彈不得時，這隻蒼蠅只有零個自由度，實質上被限制在單一點上，亦即身處於一個零維的世界。

但這小東西努力不懈，經過一番奮鬥後從柏油掙脫出來，只可惜不幸翅膀受了點傷。不能飛翔之後，它擁有兩個自由度，可以在停車場的地面上隨意漫步。然後，我們的主角察覺到有掠食者（或

許是一隻食蟲的青蛙），因此逃進一根丟棄在停車場的生鏽排氣管，蒼蠅此時只有一個自由度，暫時陷入這根細長管子的一維、亦即線狀的世界。

但維度是不是就只有那麼多？一隻蒼蠅在天上飛，被柏油黏住，在地上爬，逃進一根管子裡──這是否就涵括了一切可能性？亞里士多德或托勒密應該會回答「是」，對一隻沒有高度冒險精神的蒼蠅而言，或許也確是如此，但是對當代數學家來說，故事並沒有就此結束，因為他們通常不認為有什麼明顯理由只停留在三個維度。

我們反而相信，想要真正理解幾何學的觀念，像是曲率或距離，需要從所有可能的維度，從零維到n維來理解它（其中n可以是非常大的數）。如果只停留在三維，我們對這個概念的掌握就不算完整，理由是：比起只在某些特定情境才適用的斷言，如果大自然的定律或法則在任何維度的空間中都有效，那麼它的理論威力更大，也可能更基本。

甚至即使你所要對付的問題僅限於二或三維，也可能藉由在各種維度中研究該問題而得到有利的線索。再回到我們那隻在三維空間裡嗡嗡飛的蒼蠅，它可以在三個方向移動，亦即具有三個自由度。然而，假設還有另一隻蒼蠅在同一空間裡自由移動；它同樣也有三個自由度，整個系統就突然從三維變成六維的系統，具有六個獨立的移動方向。隨著更多的蒼蠅在空間裡穿梭，每一隻都獨立飛行而不與他者相關，那麼系統的複雜度及其維度，也隨之增加。

窺探更高的維度

研究高維度系統的好處之一是，可以發現一些無法從簡單場景裡看出的模式。例如在下一章，我們將討論：在一個被巨大海洋覆蓋的球形行星上，洋流不可能在任何點都朝同一個方向流動（例如全部從西流向東）。事實上一定會發生的是：一定存在著某些點，海水是靜止不動的。雖然這條規則適用於二維曲面，但我們只有從更高維的系統觀察，也就是考慮水分子在曲面上所有可能運動的情況，才能導出這個規則。這是為何我們不斷向更高維度推進的原因，希望看看這樣能把我們帶到什麼方向並學習到什麼。

很自然的，考慮更高維度的結果之一是更大的複雜度。例如所謂「拓樸學」（Topology）是一門將物體依最廣義的形狀加以分類的學問。根據拓樸學，一維空間只有兩種：直線（或兩端無端點的曲線）和圓圈（沒有端點的封閉曲線），此外再無其他可能性。你或許會說，線也可以是彎彎曲曲的，或者封閉曲線也可
能是長方形的，但這些是幾何學的問題，不屬於拓樸學的範疇。說到幾何學和拓樸學的差別，前者就像拿著放大鏡研究地球表面，而後者則像搭上太空船，從外太空觀察整個地球。

選擇何者，端視底下的問題而定：你是堅持要知道所有細節，比方說地表上的每一峰稜、起伏和溝壑？抑或只要大致的全貌（「一個巨大圓球」）便已足夠？幾何學家所關切的通常是物體精確的形狀和曲率，而拓樸學家只在乎整體形貌。就這層意義而言，拓樸學是一門整體性的學問，這和數學的其他領域恰恰成為明顯對比，因為後者的進展，通常是藉由把複雜的物件分割成較小較簡單的部分而達成。

也許你會問：這些和維度的討論有何關係？如上所述，拓樸學中只有兩種基本的一維圖形，但直線和歪歪扭扭的線是「相同」的，正圓也和任何你想像得出的「迴圈」，不論是彎的、多邊形、長方形、乃至於正方形都是相同的。

二維空間同樣也只有兩種基本形態：不是球面就是甜甜圈面。拓樸學家把任何沒有洞的二維曲面都視為球面，這包括常見的幾何形體，像是立方體、角柱、角錐的表面，甚至形狀像西瓜的橢球面。在此，一切的差別就在於甜甜圈有洞，而球面沒有：無論你怎樣把球面扭曲變形（當然不包括在它中間剪洞），都不可能弄出一個甜甜圈來，反之亦然。換句話說，如果不改變物體的拓樸型態，你就無法在它上面產生新的洞或是撕裂它。反過來說，假如一個形體藉由擠壓或拉扯、但非撕裂（假設它是由玩具黏土做成的），變成另一個形體，拓樸學家就把這兩個形體看成是相同的。

只有一個洞的甜甜圈，術語稱為「環面」（torus），但是一般甜甜圈可以有任意數目的洞。「緊緻」（compact，封閉且範圍有限）且「可賦向」（orientable，有內外兩面）的二維曲面可以依洞的數目來分類，這個數目稱為「虧格」（genus）。外觀迥異的二維物體，如果虧格相同，在拓樸上被視為是相同的。

先前提到二維形體只有球面與洞數不同的甜甜圈面兩大類，這只有在可賦向曲面的情況才成立，本書所討論的通常都是可賦向曲面。比方說，海灘球有兩個面，即裡面和外面，輪胎的內胎也有兩個面。然而，對於比較複雜的情況，例如單面或「不可賦向」的曲面如「克萊因瓶」（Klein bottle）和「莫比烏斯帶」（Mobius strip），上述說法並不成立。

如果是三維以上，可能的形體數就會急遽增加。當考慮高維空間時，必須容許我們往難以想像的方向移動。在此所指的可不是介於向北和向西之間的西北方，或是「北西北」的這類方向，而是完全跑出三維網格之外，這個方向落在一個我們還沒畫出的坐標系裡面。

愛因斯坦的四維時空理論

描繪高維空間的早期重大突破之一來自笛卡兒（Rene Descartes）。這位十七世紀的法國鴻儒身兼數學家、哲學家、科學家和作家等多重身分，但對我而言，他在幾何學方面的成就，意義特別重大。笛卡兒的貢獻之一，是教導我們：如果用坐標取代用圖形來進行思考，將有非常非常大的效用。

他所發明的坐標系現今稱為笛卡兒坐標或直角坐標，統合了代數和幾何。狹義來說，笛卡兒指出一旦定出交於一點且彼此垂直的x, y, z軸，三維空間中的任一點只需要三個數字（x , y , z坐標）就可以明確標定。但他的貢獻遠遠不止於此，他這神妙一筆，大幅拓展了幾何學的視界。因為有了坐標系之後，我們就可以用代數方程式來描述不易形象化的複雜高維幾何形體。

使用這個方法，你可以思考任何想要的維度，不只是（x , y , z），還可以是（a, b, c, d, e, f）或是（j, k, l, m, n, o, p, q, r, s）。所謂空間的維數，就是決定此空間中任一點的位置時所需要的坐標數目。藉由這種系統，我們可以思考任何維數的高維空間，進行與其相關的各種計算，不再擔心如何描繪這些空間的問題。

兩個世紀之後，德國大數學家黎曼（Georg Friedrich Bernard Riemann）以此為出發點，大幅拓展了幾何學的領域。黎曼在1850年代研究彎曲空間的幾何（稱為「非歐幾里得幾何」，這個主題將在下一章繼續討論），瞭解到這些空間並不需要受限於維數。他展示了如何在這些空間上，精確計算距離、曲率和其他性質。

1854年，黎曼在他的就職演講裡，講述了日後被稱為黎曼幾何的幾何原理，並且猜度了宇宙本身的維度性和幾何性質。當時年僅二十多歲的黎曼，也正在發展一門數學理論，試圖把電、磁、光和重力整合在一起，因而預見了一項科學家持續鑽研至今的研究目標。

雖然黎曼把空間從歐氏幾何的平坦性和三維的限制中釋放出來，數十年之內，物理學家對這想法並沒有太多反應。他們之所以缺乏興趣，或許是源自於缺乏暗示空間是彎曲的或者空間不止三維的實驗證據所導致。結果就是，黎曼先進的數學根本超越了當時的物理學。結果，至少還要再等大約五十年，物理學家或者至少某位特定的物理學家出現之後才追上。這位物理學家，就是愛因斯坦（Albert Einstein）。

或許你已經知道，愛因斯坦的狹義相對論發表於1905年，日後他繼續研究，最終完成了廣義相對論。當愛因斯坦發展狹義相對論的時候，他援引了一個同樣正由德國數學家閔可夫斯基（Hermann Minkowski）所探討的想法，亦即，時間與三維空間不可分離地糾纏在一起，形成一個稱為「時空」（spacetime）的新幾何構造。在這個出人意料的轉折裡，時間本身被視為第四維，而數十年前黎曼就已經將它結合進他優雅的方程式裡。

有趣的是，英國作家威爾斯（H.G. Wells）在此之前十年寫下的小說《時間機器》（The Time Machine），即已預見相同的結果。誠如小說主角「時間旅人」所解釋：「維度其實有四個，其中三個是我們稱為空間的三個平面，第四個是時間。然而，人們卻總傾向於要把前三維和第四維強加以虛假的區分。」閔可夫斯基在1908年的一場演講裡，說了幾乎相同的話，差別只在於，他用數學來支持這個看似荒唐的主張：「如此一來，單獨的空間和單獨的時間註定要化為幽影，唯有兩者的結合方能保存一種獨立的實在性。」將這兩種概念加以結合的理論基礎，在於物體的運動不僅穿越空間，而且也穿越時間。所以若要描述四維時空（x, y, z, t）中的事件，我們需要四個坐標：三個空間坐標和一個時間坐標。

雖然這想法看似有點艱深，但其實可以用極平常的形式來表達。假設你和某人約好在購物中心見面，你會先記下那棟建築物的位置，比方說第一街和第二大道的交叉口，然後約好在三樓見面。如此就定出了x, y, z坐標。唯一剩下的就是敲定時間，也就是第四坐標。一旦指明這四項資訊，除非發生不可預期的意外，否則你的約會就確定了。但如果要採用愛因斯坦的說法來表示，你不能把這次約會看成是先決定地點，再決定時間。你們真正決定的，是這個約會事件在時空中的位置。

所以在二十世紀初，我們的空間概念從自古以來一直撫育人類的三維安適小窩，一舉躍升為玄奧隱晦的四維時空。此一時空概念構成了愛因斯坦隨即奠立的重力理論，也就是廣義相對論的基礎。但就像我們問過的：事情就到此為止嗎？是否一切就停在四維，還是我們的時空觀念可以再繼續成長？1919年，一個可能的答案意外的以論文初稿的形式送給愛因斯坦審閱，論文作者是當時名不見經傳的德國數學家卡魯札（Theodor Kaluza）。

卡魯札的五維時空

愛因斯坦的理論要用到十個數字（亦即十個「場」）來準確描述重力在四維時空中的運作。最簡潔的表示法是把這十個數排列成一個4×4的矩陣，術語稱之為「度量張量」（metric tensor）。這張正方形的數字表，你可以把它看成高維度的尺規。在此，度量張量本來共有16個分量，但因為對稱性的原因，因此只有10個是獨立的。（其中矩陣對角線上有4個分量，對角線兩側各有6個分量，但是沿對角線對稱的分量必須相等。）有六個數重複是因為重力和其他基本作用力一樣，本質上是對稱的。

在他的論文裡，卡魯札基本上採納了愛因斯坦的廣義相對論，並再加入一個維度，將4×4的矩陣擴充為5×5。藉由把時空擴充到第五維，卡魯札可以把當時已知的兩種作用力——重力和電磁力——結合成單一而統一的作用力。對於身處於卡魯札所構想的五維世界的觀察者而言，這兩種力其實是同一個作用力，這正是我們稱之為「統一」的原因。但在四維空間裡，這兩種作用力無法合在一起，它們看起來像是完全獨立的。你可以說，造成這情形的原因只是因為我們不能把這兩種力放進同一個4×4矩陣裡。然而，多加入的一個維度給予它們充分的餘裕，得以並存在同一個矩陣中，因而成為一個包容更廣的作用力的一部分。

這麼說或許會惹來非議：但我相信，針對一直以低維架構來觀察的現象，只有數學家能果敢的藉由高維空間來提供特殊的洞察力。我會這麼說，是因為數學家總是在處理更多的維度。我們對這個觀念習慣得可以不假思索，甚至可以在睡夢中操作這些多出來的維度，絲毫不受干擾。

然而，即使我認為唯有數學家才能達成這種突破，但在卡魯札這個特別的例子裡，這位數學家的工作卻是以物理學家的研究、也就是愛因斯坦的成果為基礎。（不過接下來，另一位物理學家克萊因的研究，則又建立在數學家卡魯札的基礎上；這段發展下面很快會交代。）這就是為甚麼我喜歡處身在數學和物理這兩個領域的交界地帶，因為在此會獲得許多有趣的相互啟發。我從1970年代就在這片肥沃的區域徜徉，也因此獲益於許多引人入勝的發展。

再回到卡魯札極具啟發性的想法。有個令當時的人困惑的問題，迄今依然存在，這問題無疑是卡魯札努力想解決的：如果真的有第五維，一個我們熟悉的四維世界上任何一點都可以在其上移動的全新方向，為什麼從來沒人察覺到呢？

最顯然的解釋是，這個維度極其微小。但它會在哪兒呢？一個體會第五維的方法，是把我們的四維宇宙假想成一條無止盡往兩端延伸的直線。在此的想法是，三個空間維度要不是極其廣闊，就是無限龐大。我們同樣也假定時間可以對應到一條無窮的直線（這或許是可以質疑的假定）。

不管怎樣，這條線上的每一點w實際上代表了四維時空上的特定一點（x, y, z , t）。在幾何學裡，直線通常只有長度，沒有寬度。但在此，我們容許用倍數很高的放大鏡觀察這條線時，可能有點寬度。如此一來，我們的直線並不真的只是條線而已，反而像是極其纖細的圓柱，或者借用最常用的比喻，像是一條「橡皮水管」。現在，如果我們把水管在w點切開，其剖面會是一個很小的圓圈，也就是一條一維曲線。因此這個圓圈表示了額外的第五維，而且可以被想成是「繫附」在四維時空的每一點上。

具有這種特徵（捲曲成一個小圓）的維度空間，正如之前提到過的，術語稱之為緊緻的。緊緻一詞可以有很直覺的定義，物理學家有時會說「緊緻的物體或空間就是可以塞進汽車行李箱裡的東西」。但它也有更精確的定義：如果你沿著任一方向走得夠久，就一定可以回到出發點或出發點附近。卡魯札的五維時空同時包括了擴張的（無窮的）和緊緻的（有限的）維度。

但如果這幅景象是正確的，我們為何沒發覺自己在這第五維度裡轉圈圈呢？瑞典物理學家克萊因（Oscar Klein）繼續發展卡魯札的想法，在1926年給出了答案。克萊因援引量子理論，實際去計算緊緻維度的大小，得到了一個確實很小的數值：圓周長大約是10-30公分，接近所謂的「普朗克長度」，差不多是長度的最小極限了。克萊因說，這就是第五維如何可以既存在，又永遠不被觀測到的原因了。

我們沒有任何可預見的方法來看到這個微小的維度，也無法偵測到其中的運動。這個精彩的理論現在稱為卡魯札-克萊因理論，它指出用額外維度解答大自然奧祕的潛力。愛因斯坦思索卡魯札的原創論文兩年有餘，然後回信說他「無比」喜愛這個想法。事實上，他喜愛到在其後的二十年內，間間斷斷地循著卡魯札-克萊因的思路進行探索（有時是和物理學家柏格曼﹝Peter Bergmann﹞合作研究）。

但是卡魯札-克萊因理論最終還是被放棄了。原因之一是它預測了一種從未被發現的粒子，另一個原因是，根據此理論所計算出來的電子質量對電荷比，與實際數值誤差很大。非僅如此，因為當時還不知道強、弱作用力（對這兩種力的較佳解釋還得等到二十世紀後半），卡魯札、克萊因以及踵事其後的愛因斯坦，所試圖統一的只有電磁力和重力。所以他們企圖統一所有作用力的努力註定要失敗，因為他們所拿到的那副牌，缺少了好幾張重要的王牌。

但或許卡魯札-克萊因理論被棄之不顧的最大原因是時機，它被引入的時間，正是量子革命開始鞏固地位之時。簡單地說，卡魯札和克萊因把幾何學放在他們的物理模型的核心位置，而量子論則不僅不是一門幾何取向的理論，而且還與傳統幾何學直接衝突（詳見第14章）。當量子論在二十世紀以波瀾壯闊之勢橫掃物理學界，接著進入驚人的多產時期時，新維度的想法得要過了將近五十年後，才重新被認真考慮。

弦論的允諾：萬有理論

自從愛因斯坦在1915年發表廣義相對論以來，這個以幾何為基礎並總結我們對重力理解的理論，一直非常成功，並通過了每一項實驗的考驗。另一方面，量子論則優美地描述了三種已知的作用力：電磁力、弱核力和強核力。量子論誠然是我們已有的最準確的理論，而且正如哈佛大學物理學家史聰閔格（Andrew Strominger）所宣稱的，量子論「可能是人類思想史上，最被精確測試過的理論。」舉例來說，關於電子在電場中行為的預測，與實際測量值可以符合到小數點後十位。

不幸的是，這兩個非常穩固的理論卻彼此毫不相容。如果你想結合廣義相對論和量子力學，結果會是一團糟。問題發生在量子世界，在此的物體永遠處於移動或擾動狀態，尺度愈小，擾動就愈大。結果就是在最微小的尺度時，量子力學所描繪的動盪不定的景象，會和廣義相對論賴以建立的時空光滑幾何的景象完全衝突。

事實上，量子力學的一切都是建立在機率上。當把廣義相對論丟進量子模型裡，計算出來的機率常常會是無窮大。而如果在推導過程中蹦出無窮大，通常就表示計算裡遺漏了某樣東西。假如最成功的兩個理論，一個描述星系、行星之類的巨大物體，另一個描述電子、夸克之類的渺小之物，但是一結合起來就產生無意義的結果，這絕對無法令人滿意。把它們隔離開來也不是好辦法，因為在某些地方例如黑洞，最大的和最小的理論會匯聚在一起，而且任一理論都無法單方面給出完滿的解釋。史聰閔格認為：「物理學不應該有許多組定律，物理定律應該只有一組，而且必須是最漂亮的那一組。」

物理學家認為，宇宙可以、而且理應只由一個把所有的自然力交織成整體的「統一場論」（unified field theory）來描述，這種想法既有美學上的吸引力，而且也聯繫到宇宙起源於一場極其熾熱的大霹靂的觀念。在宇宙誕生之初，所有的作用力都同處於一個無法想像的高能階，因此其行為如同單一的作用力。

卡魯札、克萊因，還有愛因斯坦沒能建立一個涵括一切所知物理的理論，但我們現在既已掌握更多線索（而且希望所有重要線索都已經到手），疑問依然是：我們是否能再做嘗試，並且在偉大的愛因斯坦失手之處獲得成功？

這正是弦論的允諾。弦論是一個迷人但尚未證明的統一理論，它將粒子物理學的點狀物體，以延展（但仍然很微小）的「弦」來取代。就像之前的卡魯札-克萊因理論，弦論也假定了在我們日常的三（或四）維空間之外還有更多的維度，藉此將幾個自然力統合起來。大多數的弦論都主張總共需要十維或十一維的時空才能達成這種大融合。

但這並非多丟進一些維度再來碰碰運氣的事情。弦論若要有效果，這些維度的空間必須具備某一特定的大小形狀，至於那一種才正確，猶未有定論。換言之，幾何學在弦論中扮演著重要角色。許多弦論的追隨者主張，額外維度的幾何性質大幅決定了我們所在的是怎樣的宇宙，決定了自然界中可見的一切作用力和粒子的性質，甚至還決定了尚不可見的。

而因為我們關注的是所謂的「卡拉比-丘流形」（Calibi-Yau manifold），以及它為宇宙的隱藏維度提供幾何基礎的潛在角色，我們將不探討所謂的「迴圈量子重力理論」（loop quantum gravity），它是和弦論競爭的理論，但沒有牽涉到多出的維度，因此並不依賴緊緻的內在幾何空間如卡拉比-丘流形。我們會從第六章開始深入探討弦論的課題。但在我們一頭栽進弦論背後的複雜數學之前，或許先打好幾何學的基礎會比較有用。以我不算客觀的經驗來說，這永遠是有用的策略。所以我們要從二十和二十一世紀後退幾步到更早的時間，重溫這個重要領域的歷史，以領會它在萬物秩序中的位置。

說到位置，我一直覺得幾何學就像是通往真理的快車道。可以這麼說：幾何學是從我們所在之處通往想到達之處的最直接道路。這毫不意外，因為幾何學的主要任務之一，就是找出兩點之間的距離。如果從古希臘數學到精微的弦論之途顯得曲折迂迴，還請讀者諸君稍加忍耐。因為有時候，直線並不是最短的路徑。
讀完這本書，大家將會深刻體認到這一點！

＊譯註：這兩個名詞也有譯為「暗物質」和「暗能量」，但許多物理界的朋友希望使用更簡潔又不失原意的「暗質」和「暗能」。

（取自《丘成桐談空間的內在形狀》第一章）