《科學美國人》趣味數學集錦：數學嘉年華（簡體書）

海盜們雖然兇惡，卻很講民主。在最近一次劫掠得手以後，他們準備瓜分贓物，辦法是：先由最兇狠的海盜提出一個分贓方案，然後大家來投票。如果反對票超過贊成票，那麼提議者就要“走甲板”，即蒙住眼睛後在突出舷外的跳板上行走，最終掉入海中以飽魚腹，然後由兇狠程度僅次於他的海盜來提出一個新的分贓方案，以此類推。如果有10名海盜和100塊金幣，最兇狠的海盜該提出什麼樣的方案，才能撈到最大的好處？《數學嘉年華》一書為我們講解的就是此類趣味數學知識，主要供青少年閱讀。·

張家蓓，醫師，現任：臺北醫學大學附屬醫院產後護理之家特約醫師，康華中醫診所院長經歷：臺北醫學大學附屬醫院傳統醫學科副主任臺北醫學大學附屬醫院傳統醫學科中醫婦科主任臺北市立和平醫院中醫師·

《數學嘉年華》一書從伊恩·斯圖爾特為《科學美國人》雜志撰寫的專欄文章中精選而成。這些文章均系趣味數學問題，內容涉及：多米諾理論，跳棋游戲，擬人化原理，雙向拼圖趣題，計算機算日期指南，荒謬的海盜困境等。主要供青少年閱讀。

大約16歲時，對我來說每個月最重要的事情之一便是閱讀《科學美國人》(Scientific American)雜志上馬丁·加德納的“數學游戲”專欄。每一篇文章里都有一些新內容足以引起我的注意，不但數學味道十足，而且還很有趣。我有幸遇上了一些出色的數學老師，他們讓我懂得，數學里頭大有樂趣可享，它并不是雕刻在石板上的硬邦邦的東西。馬丁·加德納的專欄文章加強了這些信念。即使專欄文章是講游戲的(后來，我不知道什么原因，專欄改名為“數學消遣”，聽起來就有點乏味了)，卻依然有豐富的“嚴肅”數學混雜在趣味之中。
也許可以公正地說，馬丁·加德納的專欄丈章是使我最終成為一名數學家的一大原因。我始終保持著對數學的興趣，并意識到其中存在著足夠的空間來接納新概念與創造性思維。與大多數同行的專業人士不一樣，我從來不屑于去干那種傻事：把數學的“嚴肅”面貌與它的“有趣”表現強行剝離。我并不是沒有看到它們之間的差異，我只是認為不必把這種事情看得過于嚴重。對我來說，至關重要的是數學，我喜愛數學工作，也喜愛數學游戲，從未感到有把它們區分開的必要。
在名著《數學巨著》(The Colossal Book of Mathematics)中，馬丁·加德納曾經坦言：“我同《科學美國人》雜志漫長而愉快的合作關系開始于1952年，當時我把一篇邏輯機發展史的文章投給了他們。”他馬不停蹄地給他們工作了25年之久，終于決定要離去干點別的活兒了，于是他的專欄成為群雄逐鹿之地。普利策獎的得主，名著《哥德爾、埃舍爾、巴赫，一條永恒的金帶》(Godel，Escher，Bach，an Eternal()olden Braid)的作者霍夫施塔特(DoIJglas}tofstadter)是第一位繼任者，他將專欄改名為“超級魔幻王國”(Metamagical Themas)，這個名稱頗具巧思，在英語中實際上是“數學游戲”(Mathematical Games)這一詞組的字母重組。下一個繼任者杜德尼(Kee Dewdney)是《平面宇宙》(The PlaniVerse)的作者，他接手之后專欄再次改名為“計算機消遣”。就在那時，數學專欄的主宰者決定給我一個加盟唱戲的機會，盡管還要經過一些時日這位主宰者的干預才會顯現出來。
啟動這一切的是法國人。《科學美國人》雜志被翻譯成超過12種文字，其中就有法文。其實，“翻譯”這個字眼并不確切，因為每種外文版都收錄了該國自己的材料，原雜志所刊文章有時候會從一個月移到另一個月，甚至干脆不登。法文版的刊名叫做《為了科學》(Pour La Science)，主編布朗熱(Philippe Boulanger)對數學情有獨鐘，希望在刊登替代物“計算機消遣”的同時，繼續保持“數學消遣”的專欄。于是，他說服了幾位法國數學家，要求他們向該專欄提供稿件。就這樣維持了幾年，直至供稿最多的那位專家決定不干為止。一系列的偶然事件導致我受邀接手此事，對此，我當然是非常樂意的。我的第一篇專欄文章出現于1987年9月。數年之后，該專欄逐漸擴展到雜志的德文、西班牙文、意大利文及日文版。1990年12月，即“計算機消遣”改回原來的專欄名稱“數學消遣”之后數月，我終于接任了在美國本土出版的母刊的操刀手。 我與《科學美國人》雜志同樣有著長期、融洽的合作關系，11年間寫了96篇專欄文章。我還為法文版《為了科學》雜志及其他譯文版本提供了57篇稿件，其中一部分是在我為母刊工作之前的四年間撰寫的，另外那些文章則讓原先在美國的雙月專欄居然在法國辦成了每月的。有些專欄文章已結集成書出版，這一傳統也是從加德納先生開始的，其中英文版有《游戲、集合與數學》(Game，Set and Math)，以及《你帶我進入的另一個美好的數學天地》(Another Fine Math you’ve Got Me Into)。(書名中用的是“Math”，在美國它比“Maths”更常見，因為我們的雜志名叫《科學美國人》。)也有以法文或德文形式結集出書的。最后，我希望每一篇專欄文章都能至少出現在——最好也是至多出現在——一本書里。《數學嘉年華》是該規劃中的下一步，結集了以前沒有在書中收錄過的20篇文章。
馬丁·加德納是一位別人無法照搬的典范。他的繼任者中沒人有希望重復神奇的加德納模式，我可以滿有把握地肯定，我們中間沒有一個人曾經嘗試過。我知道我不會這樣做。我們想要做的主要是恢復與重演本專欄的精神：用一種嬉笑、幽默的心態來闡述重要的數學思想。3000多年以前，古巴比倫的數學老師們就通過在他們的楔形文字課本中編入趣題來引起學生們的注意。古埃及人的做法也相差無幾。我真懷疑是希臘人顛覆了這個好傳統。由于過分強調高素質文明，從而開創了一個逆反的傳統：用嚴肅的、一絲不茍的、形式化的框架來闡述數學。我不免要責怪歐幾里得及其徒子徒孫，他們把數學搞得如此笨重與機械，到處打著“核對無誤”的記號，說什么定理46的陳述17來自引理25，陳述18來自命題12，如此等等。我并不反對證明，但要適時適地，而數學想象力的早期發展與之毫無共同之處。
本書的章節安排事前并未作過特定部署，你幾乎可以從任何一處進入開始瀏覽，不過，用來解釋“大富翁”游戲的有關概率論的兩章自成一個小小的完整體系，最好放在一起讀。書中涉及的課題范圍很廣，從邏輯詭辯(“我知道你曉得”)、組合學(“化方為方”)、奇妙數字(“數數太陽底下的牛”)、幾何學(“雙向拼圖趣題”)，到一些比較高深的課題，其中包括最優化(“下水道大竊案”)及多面體(“風箱猜想”)。有些內容涉及數學游戲的取勝策略(“難搞定的嚼巧克力游戲”)或不引發嫉妒的復雜均分方案(“分贓問題”)，以及不可能性的證明(“多米諾理論”)。還有一些內容是聯系生活實際的：“擬人化原理”一章中揭示了在可感知的世界里吐司落下時何以總是涂黃油的一面接觸地面；“計算機算日期指南”一章中解釋了何以每一種文明都有自己的歷法，以及它們彼此之間的聯系；“宗旨明確地建造金字塔”一章則估算了究竟需要多少勞工才能把胡夫大金字塔造起來。如果你想通過研究計算機游戲(并不是真正去玩它)而贏得100萬美元，那就不妨閱讀“價值百萬美元的掃雷游戲”，它將Windows操作系統與21世紀的數學前沿課題研究緊密聯系在一起。 應當向漫畫家杰雷爾(Spike Gerrell)道一聲謝。不，何止一聲，噴涌而出的感謝委實太多，根本無法用文字表達。在他筆下，發狂的母牛、可笑的海盜、困惑的僧侶等極大地美化了本書。杰雷爾能緊抓書的精髓，其洞察力與準確性令我備感驚訝。另外，也要感謝牛津大學出版社及其出版、編輯、技術編輯團隊，以及所有讓一個模糊的概念轉化成為一本完整書籍的其他相關人員。
最后，我必須承認，有大量“嚴肅”數學混雜在趣題與游戲之中——其中最炫人耳目的例子已經抽出來，完備地裝進“盒子”，你們不會有任何被欺騙之感。現在，你們盡可以放心地認為，當你們潛心思索阿基米德牛群的怪異行徑時，其實也正是在鉆研數論的基本原理。盡管如此，我并不好為人師，打算教你們什么東西。我只是在人類的一項重大發明——數學中提取一些樣品供你們鑒賞而已。
伊恩·斯圖爾特
2003年6月于英國考文垂

序言第1章 我知道你曉得第2章 多米諾理論第3章 搬桌子第4章 擬人化原理第5章 數數太陽底下的牛第6章 下水道大竊案第7章 雙向拼圖趣題第8章 一個被忽視的數的傳奇第9章 “大富翁”是公平的遊戲嗎第10章 再探“大富翁”遊戲第11章 計算機算日期指南第12章 分贓問題第13章 化方為方第14章 風箱猜想第15章 宗旨明確地建造金字塔第16章 做個點格棋大師第17章 難搞定的嚼巧克力遊戲第18章 能否照亮黑暗第19章 荒謬的海盜困境第20章 價值百萬美元的掃雷遊戲進階讀物·

遵守著一套清規戒律的彬彬有禮的僧侶們喜歡在彼此之間耍弄一些邏輯把戲。有一天晚上，當阿切博爾德與本尼迪克特兩位修士睡在他們的單間里時，另一位修士約拿偷偷摸摸地潛入寢室，在他們剃度過的頭頂上各涂了一個藍色的斑點。兩人醒來以后，當然各自都看到了另一人頭上的斑點，但由于他們很有教養，什么話都沒有說。不過，每個人還是隱隱約約地懷疑自己頭上會不會也有一個斑點，但由于有教養的關系誰都沒有發問。此時，不夠圓滑、機智的另一位修士芝諾進來了，咯咯地發出了傻笑。當他被詢問時，他恢復了自己的教養，只說了一句話：“你們中間至少有一人的頭上有一個藍色斑點。”
當然，兩位僧侶都知道這一點。后來，阿切博爾德開始推想。“我知道本尼迪克特有一個斑點，但他自己不曉得……那么，我的頭上有沒有斑點呢？好，假定我頭上沒有斑點，那么，本尼迪克特自然會看到我沒有斑點，于是就會立即從芝諾的話里推論出他的頭上必然有一個斑點。然而，他絲毫沒有顯露出困擾的形跡——啊呀，這意味著我的頭上肯定也有一個斑點。”此時，他的臉上開始泛紅。幾乎在同一瞬間，本尼迪克特根據同樣的推理得出了同樣的結論。
倘若沒有芝諾的那句率真的話，興許上面的一系列思維就根本不會啟動，盡管從表面上看，芝諾并沒有告訴他們任何之前并不知道的信息。
如果有三位僧侶，結果會更加令人困擾。這一次，阿切博爾德、本尼迪克特與西里爾睡在他們的寢室內，約拿在三人的頭上各涂了一個藍色斑點。他們醒來之后，每個人再次瞧見了別人的斑點，但什么話都沒有說。此種可想而知的僵持終于被芝諾的驚人話語打破了，他說：“你們中間至少有一人的頭上有一個藍色斑點。”
于是，這句話促使阿切博爾德進行了如下思考。“假定我頭上沒有斑點，那么本尼迪克特看到了西里爾的斑點，而沒有看到我的，于是他可以自問是否自己有一個斑點。他可以作出如下的思考：‘假使我本尼迪克特頭上沒有斑點，那么西里爾將看到阿切博爾德與本尼迪克特都沒有斑點，從而可以立即推斷出他自己頭上必有斑點。西里爾是一位出類拔萃的邏輯學家，又有充裕的時間用于推理，然而他卻始終無動于衷，因此我本尼迪克特頭上必然有一個斑點。’現在，鑒于本尼迪克特也是一位優秀的邏輯學家，又有足夠時間可以把這些推測思考出來，可是他卻保持緘默，由此可見我阿切博爾德頭上必定有一個斑點。”此時，阿切博爾德臉上開始泛紅，本尼迪克特與西里爾也與他一樣，他們的推理方法幾乎完全相同。
類似的論證也適用于四位、五位乃至更多的僧侶——暫時仍假定所有這些人的頭上都有斑點。他們的推理將變得更加復雜，但不管有多少位僧侶，“你們中間至少有一人的頭上有一個斑點”的這一宣告無疑觸發了一系列連鎖反應，從而導致所有的僧侶得出結論：他們自己頭上有斑點。當僧侶人數變得很多時，引入某種計時裝置是有幫助的，這可以用來同步他們的考量，在我們開始整理將要發生的情況時，我將引入一個這樣的裝置。如果并不是每個僧侶的頭上都有斑點(有些人有，有些人沒有)，同樣也會引發錯綜復雜的推理。以后我會回過頭來加以討論。
類似的趣題為數不少，例如：臟面孔的孩子、戴可笑帽子的聚會常客、擁有連續正整數編號但不知道誰的數較大的兩個人，甚至還有一種相當非PC的版本——島上居民的婚姻不忠問題。所有這些問題都很令人困惑，因為整個過程的觸發都是由于有人宣布了一件人人皆知的事實。不過，在你開始分析究竟發生了什么情況時，就會明白那樣的宣告實際上帶有新的信息。通常很有用的隨口之言，在這個例子中隱藏著后續的推理進程。
讓我們返回到只有兩位僧侶的第一個例子。芝諾宣布了“你們中間至少有一人的頭上有一個藍色斑點”之后，僧侶們究竟知道了什么呢？阿切博爾德知道本尼迪克特頭上有斑點，本尼迪克特知道阿切博爾德頭上有斑點，但這些事實是不相同的。當阿切博爾德聽到芝諾的話并認為他已經知道那個情況時，他心目中的“某人”是本尼迪克特，而本尼迪克特聽到芝諾的話并認為他已經知道那個情況時，他心目中的“某人”卻是阿切博爾德。這根本不能算是同一句話。芝諾的宣告不光是告訴阿切博爾德某人頭上有斑點，它還告訴阿切博爾德，本尼迪克特現在也知道某人頭上有斑點了，而這是同一個“某人”。由此可見，芝諾的話雖然沒有在阿切博爾德已知的內容上增添什么新東西，但它確實告訴了阿切博爾德有關本尼迪克特所知曉內容的某些新的信息。
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