考研數學(一)歷年真題分類精解（簡體書）

毛綱源教授，畢業于武漢大學，留校任教，後調入武漢理工大學擔任數學物理系系主任，在高校從事數學教學與科研工作40餘年，發表多篇關於考研數學的論文。主講微積分、線性代數、概率論與數理統計課程。理論功底深厚，教學經驗豐富，思維獨特。曾多次受邀在山東、廣東、湖北等地主講考研數學，並得到學員的廣泛認可和一致好評：“知識淵博，講解深入淺出，易於接受”，“解題方法靈活，技巧獨特，輔導針對性極強”，“對考研數學的出題形式、考試重難點瞭若指掌，上他的輔導班受益匪淺”……同樣，毛老師的系列數學輔導書也受到讀者的歡迎與好評，有興趣的讀者可以上網查詢有關對他編寫的圖書的評價。
毛綱源經濟類數學輔導系列（3本）
毛綱源理工類數學輔導系列（4本）
毛綱源考研類數學輔導系列（13本）

《毛綱源考研數學輔導系列:考研數學(1)歷年真題分類精解》系統、專業、經典、實用。《毛綱源考研數學輔導系列:考研數學(1)歷年真題分類精解》除了可以供備考考研數學一的人員使用外，還可以作為理工類的學生平時學習時的參考咨料。

第1部分 高等數學
第1章 函數、極限、連續
考點1.1.1 函數的概念及其性質
題型1.1.1.1 求分段函數的復合函數
題型1.1.1.2 判別或證明函數的奇偶性、週期性
考點1.1.2 函數極限存在性的判定
題型1.1.2.1 數列極限存在性的判定
題型1.1.2.2 數列極限存在性的判定
題型1.1.2.3 函數極限存在性的判別及其極限的求法
考點1.1.3 求函數極限
題型1.1.3.1 求0/0型或∞/∞型未定式極限
題型1.1.3.2 求∞—∞型未定式極限
題型1.1.3.3 求冪指函數型（0°型、∞°型、1∞型）未定式極限
考點1.1.4 數列極限的證法和求法
題型1.1.4.1 由遞推關系式定義的數列極限存在性的證明及其極限的求法
題型1.1.4.2 求數列極限
題型1.1.4.3 求某些積和式的極限
考點1.1.5 無窮小量或無窮大量的比較
題型1.1.5.1 無窮小量階的比較
題型1.1.5.2 無窮大量階的比較
考點1.1.6 已知一極限，確定待定常數、待定函數或另一待定極限
題型1.1.6.1 已知極限式的極限反求其所含的未知參數
題型1.1.6.2 已知含未知函數的一極限，求含該函數的另一函數極限
考點1.1.7 討論函數的連續性及間斷點的類型
題型1.1.7.1 討論函數的連續性
題型1.1.7.2 判別函數，f（x）的間斷點的類型
第2章 一元函數微分學
考點1.2.1 導數定義的應用
題型1.2.1.1 討論函數在某點的可導性
題型1.2.1.2 利用導數定義求函數在某點的導數值
題型1.2.1.3 討論分段函數的可導性及其導數的求法
題型1.2.1.4 利用導數定義討論函數性質
考點1.2.2 討論含絕對值函數的可導性
題型1.2.2.1 討論絕對值函數｜f（x）｜的可導性
題型1.2.2.2 討論函數f（x）=|φ（x）|g（x）的可導性
考點1.2.3 求一元函數的導數
題型1.2.3.1 求隱函數的導數
題型1.2.3.2求反函數的導數
題型1.2.3.3 求由參數方程所確定的函數的導數
題型1.2.3.4 求某些簡單函數的高階導數
考點1.2.4 利用微分中值定理證明中值等式
題型1.2.4.1 利用羅爾定理證明中值等式
題型1.2.4.2 利用拉格朗日中值定理證明中值等式
題型1.2.4.3 求中值的極限位置
考點1.2.5 利用導數和極限討論函數的性態
題型1.2.5.1 判定函數的單調性
題型1.2.5.2 求函數的極值
題型1.2.5.3 利用極限式判定函數是否取得極值
題型1.2.5.4 利用二階微分方程討論函數是否取得極值，其曲線是否有拐點
題型1.2.5.5 求曲線的凹凸區間及拐點
題型1.2.5.6 求曲線的漸近線
題型1.2.5.7 確定函數方程存在實根
考點1.2.6 利用導數證明函數不等式
題型1.2.6.1 已知F（a）≥0（或F（b）≥0），證明x>a（或x0
題型1.2.6.2 證明含有或可化為函數兩點值之差的不等式
考點1.2.7 導數的幾何應用
題型1.2.7.1 求平面曲線y=f（x）的切線和法線方程
題型1.2.7.2 求由F（x，y）=0所確定的曲線y=y（x）的切線和法線方程
題型1.2.7.3 求曲線x=x（t），y=y（t）的切線與法線
題型1.2.7.4 求曲線r=r（θ）的切線與法線方程
題型1.2.7.5 求解與兩曲線相切的有關問題
第3章 一元函數積分學
考點1.3.1 原函數與不定積分的概念及其計算
題型1.3.1.1 已知某函數的導數，求其原函數
題型1.3.1.2 計算不定積分
考點1.3.2 計算定積分
題型1.3.2.1 用分部積分法計算定積分
題型1.3.2.2 用換元法計算定積分
題型1.3.2.3 利用定積分的重要特性簡化計算定積分
題型1.3.2.4 計算被積函數是抽象函數導數或被積函數是導數已知的積分
題型1.3.2.5 比較和估計定積分的大小
考點1.3.3 變限積分
題型1.3.3.1 變限定積分函數的性質應用
題型1.3.3.2 求含變限積分的函數導數
題型1.3.3.3 求變換積分函數的定積分
題型1.3.3.4 討論變限積分函數的性態
題型1.3.3.5 求分段函數的變限變分
考點1.3.4 計算反常積分
題型1.3.4.1 計算無窮區間上（無窮限）的反常積分
題型1.3.4.2 計算無界函數的反常積分
題型1.3.4.3 求反常積分的極限值
考點1.3.5 定積分的應用
題型1.3.5.1 已知曲線方程，求其所圍平面圖形的面積、旋轉體體積
題型1.3.5.2 求旋轉體的側（表）面積
題型1.3.5.3 計算平面曲線的弧長
題型1.3.5.4 定積分在物理上的應用
第4章 向量代數和空間解析幾何
考點1.4.1 向量運算
題型1.4.1.1 向量的數量積、向量積、混合積的運算
考點1.4.2 求平面方程或直線方程
題型1.4.2.1 求平面方程
題型1.4.2.2 求平面、直線間的位置關系
題型1.4.2.3 求點到直線或點到平面的距離
考點1.4.3 求旋轉曲面方程
題型1.4.3.1 求坐標面上的曲線繞坐標軸旋轉所得旋轉曲面的方程
題型1.4.3.2 求空間曲線繞坐標軸旋轉所成的旋轉曲面方程
考點1.4.4 求解空間解析幾何與線性代數相結合的綜合題
題型1.4.4.1 將確定平面或直線的位置關系轉化為方程組的解或矩陣的秩來判定
題型1.4.4.2 將二次曲面正交變換的有關的問題轉化為二次型標準方程的有關問題求解
第5章 多元函數微分學
考點1.5.1 多元函數微分學中若干基本概念及其聯系
題型1.5.1.1 多元函數微分學中的幾個基本概念
題型1.5.1.2 二元函數在某點極限存在、連續、可偏導及可微的關系
考點1.5.2 計算多元函數的偏導數和全微分
題型1.5.2.1 求多元顯函數的偏導數及其在一點取值的計算
題型1.5.2.2 求抽象復合函數的偏導數
題型1.5.2.3 利用隱函數存在性定理確定隱函數
題型1.5.2.4 求隱函數的偏導數
題型1.5.2.5 求二元函數的二階混合偏導數
題型1.5.2.6 求含變限積分的二元函數的偏導數
題型1.5.2.7 求在變換下方程的變形
題型1.5.2.8 求方向導數和梯度
考點1.5.3 多元函數微分學在幾何上的應用
題型1.5.3.1 已知空間曲線的方程，求其切線和法平面方程
題型1.5.3.2 已知空間曲面方程，求其切平面或法線方程
考點1.5.4 多元函數的極值與最值
題型1.5.4.1 二元函數無條件極值的判別及其求法
題型1.5.4.2 求二（多）元函數的條件極值
題型1.5.4.3 求二元函數的最大值和最小值
第6章 多元函數積分學
考點1.6.1 根據積分區域和被積函數的特點計算二重積分
題型1.6.1.1 交換二次積分的積分次序
題型1.6.1.2 轉換二次積分
題型1.6.1.3 計算積分區域具有對稱性、被積函數具有奇偶性的二重積分
題型1.6.1.4 計算圓域或部分圓域上的二重積分
題型1.6.1.5 計算由直線圍成的積分區域上的二重積分
題型1.6.1.6 計算被積函數分區域給出的二重積分
考點1.6.2 三重積分
題型1.6.2.1 利用對稱性、奇偶性簡化三重積分計算
題型1.6.2.2 恰當選擇坐標系計算三重積分
題型1.6.2.3 三重積分的應用
考點1.6.3 計算曲線積分
題型1.6.3.1 計算對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）
題型1.6.3.2 利用對稱性與奇偶性簡化平面第二類曲線積分的計算
題型1.6.3.2 第二類平面曲線積分的演算法
題型1.6.3.7 求解曲線積分與路徑無關的有關問題
題型1.6.3.8 計算第二類空間曲線積分（對坐標的空間曲線積分）
考點1.6.4 計算曲面積分
題型1.6.4.1 求第一類曲面積分
題型1.6.4.2 計算第二類曲面積分
考點1.6.5 曲線、曲面積分的應用
題型1.6.5.1 曲線積分、曲面積分在幾何上的應用
題型1.6.5.2 求變力做功
考點1.6.6 計算向量場的散度或旋度
題型1.6.6.1 求梯度與求散度相結合
第7章 級數
考點1.7.1 數項級數斂散性的判別與證明
題型1.7.1.1 判別正項級數的斂散性
題型1.7.1.2 判別交錯級數的斂散性
題型1.7.1.3 判別（證明）任意項級數（變號級數）的斂散性
題型1.7.1.4 判別一般項為相鄰兩項代數和的數項級數的斂散性
題型1.7.1.5 已知一抽象級數的斂散性，討論與其相關數項級數的斂散性
題型1.7.1.6 已知一般項有極限，證明該級數的斂散性
題型1.7.1.7 證明數項級數的斂散性
考點1.7.2 冪級數的收斂半徑及收斂域的求法
題型1.7.2.1 求不缺項的冪級數的收斂半徑和收斂域
題型1.7.2.2 求缺項冪級數的收斂半徑和收斂域
考點1.7.3 求冪級數的和函數
題型1.7.3.1 求∞∑n=1 P（n）xn的和函數，其中P（n）為咒的多項式
題型1.7.3.2求∞∑n=1 1/Q（n）xn的和函數，Q（n）為n的多項式
題型1.7.3.3 求含階乘因數的冪級數的和函數
題型1.7.3.4 求數項級數（數值級數）的和
考點1.7.4 將簡單函數間接展成冪函數
題型1.7.4.1 求反三角函數的冪級數的展開式
題型1.7.4.2 將對數函數展成冪級數
題型1.7.4.3 將有理分式函數展成冪級數
考點1.7.5 傅裏葉級數
題型1.7.5.1 將週期函數展開成週期為2兀的傅裏葉級數
題型1.7.5.2 將週期函數展開成週期為22的傅裏葉級數
題型1.7.5.3 求傅裏葉系數
題型1.7.5.4 求傅裏葉級數的和函數在某點的值
第8章 常微分方程
考點1.8.1 求解一階線性微分方程
題型1.8.1.1 求解可分離變量的微分方程
題型1.8.1.2 求解齊次方程
題型1.8.1.3 求解一階線性方程
題型1.8.1.4 求解伯努利方程
題型1.8.1.5 求解方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0
考點1.8.2 求解高階常系數線性微分方程
題型1.8.2.1 利用解的結構和性質求解微分方程
題型1.8.2.2求解可降階的微分方程
題型1.8.2.3 求解高階常系數齊次線性方程
題型1.8.2.4 確定二階常系數非齊次微分方程的特解形式
題型1.8.2.5 求解二階常系數非齊次線性方程
題型1.8.2.6 歐拉方程的解法
題型1.8.2.7 求在變量代換下微分方程的變形，並求其解
考點1.8.3 已知微分方程的通（特）解反求該微分方程
題型1.8.3.1 已知微分方程的通（特）解，反求該齊次微分方程
題型1.8.3.2 已知微分方程的通（特）解，反求該非齊次方程
考點1.8.4 微分方程的應用
題型1.8.4.1 微分方程在幾何上的應用
題型1.8.4.2 微分方程在物理上的應用
……
第2部分 線性代數
第1章 行列式
第2章 矩陣
第3章 向量
第4章 線性方程組
第5章 矩陣的特徵值和特徵向量
第6章 二次型
第3部分 概率論與數理統計
第1章 隨機事件與概率
第2章 一維隨機變量及其分佈
第3章 二維隨機變量及其分佈
第4童 隨機變量的數字特徵
第5章 大數定律和中心極限定理
第6章 數理統計的基本概念
第7章 參數估計與假設檢驗
附錄 1997—2012年考研數學一試題

考點1.8.3 已知微分方程的通（特）解反求該微分方程
題型1.8.3.1 已知微分方程的通（特）解。反求該齊次微分方程首先從所給的通解中要會分析出特徵方程的根，如下所述。
（1）某齊次方程的通解為Y=C1er1x+C2er2x（r1≠r2）對應的特徵方程有兩個不相等的實根r1與r2，原齊次方程有兩個線性無關的特解y1=er1x和y2=er2x。
（2）某齊次方程的通解為Y=（C1+C2x）er1x對應的特徵方程有二重實根r1，且原齊次方程有兩個線性無關的特解y1=er1x和y2=xer1x。
（3）某齊次方程的通解為y=（C1+C2x+C3x2）er1x對應的特徵方程有三重實根r1，且原齊次方程有3個線性無關的特解y1=er1x，y2=zee1x，y3=x2er1x。
（4）某齊次方程的通解為Y=eax（C1cosβx+C2sinβx）對應的特徵方程有一對共軛復根r1，2=α±iβ，且有兩個線性無關的特解y1=eaxcosβx和y2=eαxsinβx。
（5）某齊次方程的通解為y=eαx（C1cosβx+C2sinβx）+xeax（C3cosβx+C4sinβx）對應的特徵方程有二重共軛復根α±iβ，且有4個線性無關的特解y1=eαxcosβx，Y2=eαxsinβx，y3=xeαxcosx，y4=xeαxsinβx。
然後寫出特徵方程。因常系數齊次線性微分方程與其特徵方程一一對應，故即可寫出待求的齊次微分方程。
假若已知某一齊次微分方程的所對應的特徵方程的三個根為r1，r2，r3，則有下述對應關系：（r—r1）（r—r2）（r—r3）=0r3+pr2+gr+δ=0y+py+qy+δy=0。
例1.8.3.1[2001年1]設y=ex（C1sinx+C2cosx）（C1，C2為任意常數）為某二階常系數線性齊次微分方程的通解，則該方程為____。
[解題思路]先由通解看出其特徵根，再由特徵根寫出其特徵方程，最後由特徵方程寫出其待求的二階常系數線性齊次方程。
解一利用特徵根與通解公式的對應關系易知，對應於線性無關的特解y1=exsinx，y2=excosx的特徵根為一對共軛復根α土iβ=1±i，以1+i，1—i為特徵根的特徵方程為[r—（1—i）][r—（1+i）]=r2一2r+2=0，
由特徵方程寫出對應的二階常系數線性齊次方程y—2y+2y=0，此即為所求的方程。解二用特解代入法求之。設所求方程為y+py+qy=0， ①下麵求出待定系數P與q，易求得
y1=（exsinx）=ex（sinx+cosx），y1=2excosx，
y2=（excosx）=ex（cosx—sinx），y2=—2Csinz，
將特解的導數yi，yi（i=1，2）分別代人方程①，得到
p（sinx+cosx）+qsinx=—2cosx，
p（cosx—sinx）+qcosx=2sinx。