工程數學：復變函數(第三版)（簡體書）

《工程數學:復變函數(第3版)》適於高等學校理工科類學生，以及工程技術人員閱讀。

引言
第1章 復數和復變函數及其極限
1.1 復數及其運算
1.1.1 復數的概念及其表示法
1.1.2△復數的代數運算
1.1.3 擴充復平面與復球面
習題 1.1
習題 1.1答案
1.2 復平面上曲線和區域
1.2.1△復平面上曲線方程的各種表示
1.2.2△連續曲線和簡單曲線與光滑曲線
1.2.3 平面點集與區域
習題 1.2
習題 1.2答案
1.3 復變函數與整線性映射
1.3.1△ 復變函數的概念
1.3.2 復映射——復變函數的幾何意義
1.3.3 整線性映射及其保圓性
習題 1.3
習題 1.3答案
1.4 復變函數的極限和連續
1.4.1△復變函數的極限
1.4.2 復變函數的連續性
習題 1.4
習題 1.4答案
第2章 解析函數
2.1 復變函數的導數
2.1.1△導數的概念及其求導法則
2.1.2 微分的定義及其可微的充要條件
習題 2.1
習題 2.1答案
2.2 函數的解析性和指數函數
2.2.1 函數解析的概念和充要條件
2.2.2 解析函數的運算性質
2.2.3△指數函數exp(ｚ)＝ｅｚ
習題 2.2
習題 2.2答案
2.3 初等解析函數
2.3.1 對數函數
2.3.2 冪函數
2.3.3 三角函數和雙曲函數
2.3.4△反三角函數和反雙曲函數
習題 2.3
習題 2.3答案
第3章 復積分
3.1 復積分的概念及其性質
3.1.1 復變函數積分的概念
3.1.2 復積分的存在性及其一般計算公式
3.1.3△復積分的簡單性質
習題 3.1
習題 3.1答案
3.2 積分與其路徑的無關性
3.2.1 復積分與其積分路徑無關的條件
3.2.2 解析函數的原函數和在積分計算中的應用
3.2.3△復閉路定理和閉路變形原理
習題 3.2
習題 3.2答案
3.3 Ｃａｕｃｈｙ積分公式和高階導數公式
3.3.1 解析函數的Ｃａｕｃｈｙ積分公式
3.3.2 解析函數的高階導數定理
3.3.3△ 解析函數的實部和虛部與調和函數
習題 3.3
習題 3.3答案
3.4 平面調和場及其復勢
3.4.1 平面向量場的旋度和散度與平面調和場
3.4.2 平面調和場的復勢及其有關等式
3.4.3 平面流速場和靜電場的復勢求法及其應用
習題 3.4
習題 3.4答案
第4章 復級數
4.1 復數項級數和冪級數
4.1.1 復數列的收斂性及其判別法
4.1.2 復數項級數的收斂性及其判別法
4.1.3 冪級數及其收斂半徑
4.1.4 △冪級數的運算性質
習題 4.1
習題 4.1答案
4.2 Taylor級數
4.2.1 有關逐項積分的兩個引理
4.2.2 Taylor級數展開定理
4.2.3 基本初等函數的Taylor級數展開式
4.2.4△典型例題及其說明
習題 4.2
習題 4.2答案
4.3 Ｌaurent級數
4.3.1 Ｌaurent級數展開定理
4.3.2 Laurent級數的性質
4.3.3△用Ｌaurent級數展開式計算積分
習題 4.3
習題 4.3答案
第5章 留數及其應用
5.1 函數的孤立奇點及其分類
5.1.1 函數孤立奇點的概念和分類
5.1.2 函數各類孤立奇點的充要條件
5.1.3 用函數的零點判別極點的類型
5.1.4 函數在無窮遠點的性態
習題 5.1
習題 5.1答案
5.2 留數和留數定理
5.2.1△ 留數的定義和計算
5.2.2 留數定理
5.2.3 函數在無窮遠點處的留數
習題 5.2
習題 5.2答案
5.3 留數在定積分計算中的應用
5.3.1△形如Ｉ1=∫α0fcos 2πα,sin 2πθαdθ的積分
5.3.2 形如Ｉ2=∫∞-∞ f(x)dx的積分
5.3.3 形如Ｉ3=∫+∞-∞ f(x)eiβxdx(β＞0)的積分
習題 5.3
習題 5.3答案
5.4 輻角原理及其應用
5.4.1 對數留數
5.4.2 輻角原理
5.4.3 Rouche′定理
習題 5.4
習題 5.4答案
第6章* 保角映射
6.1 保角映射的概念
6.1.1 曲線的切線方向和兩條曲線的夾角
6.1.2 解析函數導數的幾何意義
6.1.3 保角映射的概念和定理
習題 6.1
習題 6.1答案
6.2 分式線性映射及其性質
6.2.1 在擴充復平面上的保圓性
6.2.2 在擴充復平面保持交比的不變性
6.2.3 對擴充復平面上圓周的保對稱性
6.2.4 對有向圓周和直線的保側性
6.2.5 三種特殊的分式線性映射
習題 6.2
習題 6.2答案
6.3 幾個初等函數所構成的映射
6.3.1 對數映射w=lnz和指數映射w=ez
6.3.2 冪映射w=zn及其逆映射(n=2,3,…)
6.3.3 儒柯夫斯基(H.E.Жyковскни)函數
習題 6.3
習題 6.3答案
6.4 保角映射幾個一般性定理及其應用
6.4.1 保角映射的幾個一般性定理
6.4.2 SchwarzChristoffel映射——多角形映射
6.4.3 用保角映射解Laplace方程邊值問題
習題 6.4
習題 6.4答案
參考文獻

第6章 保角映射
第1章我們介紹過復變函數的幾何意義--映射。在此基礎上，本章先敘述解析函數導數的幾何意義，並且給出保角映射的概念。然後具體討論分式線性函數和幾個基本初等函數所構成的保角映射的特點與作用。最後介紹保角映射的幾個一般性定理和Schwarz-Christoffel映射--多角形映射。實際中許多問題的困難是由於有關函數的定義域比較復雜而引起的，需要利用保角映射把這些問題變換為比較簡單區域上的問題來解決。這方面的應用只在最後一節以Laplace方程為例說明之，以便讀者參考。
6.1保角映射的概念
為了討論解析函數導數的幾何意義和保角映射的概念，本節首先需要說明有向曲線的切線方向和兩條相交曲線夾角的有關規定，並且總假定所給平面曲線是有向光滑曲線。
6.1.1 曲線的切線方向和兩條曲線的夾角
由於任意一段有向曲線AB可用參數方程表示為z=z（t）+iy（t）（a≤t≤b），其反向曲線BA可表示為z=x（-t）+iy（-t）（-b≤t≤-a），它們的方向都是由t增加的方向來給定的，因此我們總可以將任一條曲線C的參數方程簡寫為
z=z（t），α≤t≤β （6-1-1）
並且認為C的方向就是參數t增加的方向。
對於C上某一點z0=z（t0）（α<><β）的切線方向，可先考察用增量比所表示的復向量其中△t＞0。它的方向就是割線向量z-z0的方向（如圖6-1所示）。當△t→0時，其極限z′（t0）所表示的復向量與曲線c相切，它的方向是動點沿該有向曲線運動在點z0的運動方向（對應△t=t-t0從負增加到正），於是有>
定義1 對於由式（6-1-1）給出的有向曲線C，稱復向量z′（t0）為C在點z0=z（t0）的切向量。由於C是光滑曲線，因此z′（t0）≠0。顯然Argz′（t0）是正實軸方向向量繞原點旋轉到切向量z′（t0）方向的轉動角--簡稱為正實軸到向量z′（t0）的夾角。
定義2 對於兩條相交的有向曲線C1和C2，可設它們的參數方程分別為z=zk（t）（ak≤t≤βk；k=1，2），其交點為z0=z1（t0）=z2（t2），在z0處切向量分別為z′1（t0）和z′2（t2）。我們稱C1的切向量z′1（t0）繞z0旋轉到C2的切向量z′2（t2）的轉動角為C1到C2在點z0的夾角，記為∠C1z0C2。由於這個轉動角可視為向量z′1（t0）繞點z0旋轉到實軸正向再旋轉到向量z′2（t2）的復合，因此可表示為顯然∠C1z0C2是多值的，且有∠C2z0C1=-∠C1z0C2。