複變函數（簡體書）

《復變函數》介紹了復變函數的基本概念、基本理論和方法，包括復數及復平面、復變函數的極限與連續性、復函數的積分理論、級數理論、留數理論及其應用、保形映射與解析延拓等。《復變函數》在內容的安排上深入淺出，表達清楚，系統性和邏輯性強。書中列舉了大量例題來說明復變函數的定義、定理及方法，并提供了豐富的習題，便于教師教學與學生自學。每章末都有小結，并配有復習題。小結對該章的主要內容作了歸納和總結，方便學生系統復習。
《復變函數》可作為高等師範院校數學系各專業學生的教學用書，也可供相關專業的教師和科技工作者參考。

目錄
第1章複數及復平面1
1.1 複數及其幾何表示1
1.1.1 複數域與復數的公理化定義1
1.1.2 複數域是實數域的擴充2
1.1.3 複數的運算2
1.1.4 共軛複數5
1.1.5 複數的幾何表示5
1.1.6 複數的三角表示6
1.1 7 复球面及無窮大11
習題1.1 11
1.2 復平面的拓撲12
1.2.1 初步概念12
1.2.2 Jordan曲線13
習題1.2 14
小結15
複習題15
第2章複變函數17
2.1 複變函數的極限與連續性17
2.1.1 複變函數的概念17
2.1.2 複變函數的極限18
2.1.3 複變函數的連續性20
習題2.1 22
2.2 解析函數23
2.2.1 复函數的導數23
2.2.2 解析的概念24
2.2.3 复函數可導與解析的條件25
習題2.2 28
2.3初等函數28
2.3.1 初等解析函數28
2.3.2 韌等多值函數31
習題2.3 40
小結40
複習題41
第3章複變函數的積分43
3.1 複變函數的積分43
3.1.1 复積分的定義與性質43
3.1.2 計算复積分的參數方程法45
3.1.3 典型例子46
習題3.1 48
3.2 Cauchy積分定理49
3.2.1 單連通區域的Cauchy積分定理49
3.2.2 Cauchy-Goursat積分定理的證明51
3.2.3 复函數的Newton-Leibniz公式54
3.2.4 多連通區域上的Cauchy積分定理56
3.2.5 典型例題58
習題3.2 59
3.3 Cauchy積分公式60
3.3.1 解析函數的Cauchy積分公式60
3.3.2 解析函數的任意階可導性和Morera定理61
3.3.3 Cauchy不等式和Liouville定理63
3.3.4 調和函數65
習題3.3 66
小結67
複習題68
第4章級數70
4.1 級數的基本性質70
4.1.1 複數項級數70
4.1.2 複變函數項級數72
4.1.3冪級數75
習題4.1 78
4.2 Taylor展式78
4.2.1 解析函數的Taylor展式78
4.2.2 解析函數的零點與*性83
習題4.2 85
4.3 Laurent展式86
4.3.1 解析函數的Laurent展式86
4.3.2 解析函數的孤立奇點90
4.3.3 解析函數在無窮遠點的性質94
4.3.4 整函數與亞純函數的概念95
習題4.3 96
小結96
複習題98
第5章留數99
5.1 留數定理99
5.1.1 孤立奇點的留數99
5.1.2 留數的計算100
習題5.1 101
5.2 留數定理的應用102
5.2.1 用留數定理求積分102
5.2.2 亞純函數的零點與極點的個數105
5.2.3 輻角原理106
5.2.4 Rouche定理及其應用108
習題5.2 111
小結112
複習題113
第6章保形映射與解析延拓115
6.1 單葉解析函數的映射性質115
6.1.1 單葉解析函數的基本性質115
6.1.2 導數的幾何意義117
習題6.1 119
6.2 分式線性變換及其映射性質119
6.2.1 分式線性函數119
6.2.2 分式線性函數的映射性質120
習題6.2 125
6.3 *大模原理125
6.3.1 *大模原理125
6.3.2 Schwarz引理125
習題6.3 127
6.4 Riemann定理及邊界對應127
習題6.4 128
6.5 解析延拓129
6.5.1 解析延拓的概念129
6.5.2 解析函數元素129
6.5.3 對稱原理130
6.5.4 用冪級數延拓，奇點132
習題6.5 134
小結134
複習題135
習題答案或提示137
參考文獻145
索引146