線性代數習題詳解與提高（簡體書）

《線性代數習題詳解與提高》是北京建築大學數學系編寫的《線性代數》（2019 版）的配套教材。本書對《線性代數》各章知識進行了梳理和總結，包括知識脈絡圖、知識要點和學習要求；對各章的習題和復習題做了詳盡的解答；同時， 為滿足學有余力的讀者的需要， 還補充了“常見題型”部分，其中不乏考研真題，這部分題目在難度和解題技巧方面都有進一步提升，達到考研題目水平。本書可供高等院校工程類相關專業、成人高等教育及自學者作為線性代數課程的輔助教材使用。

本書是北京建築大學數學系主編的《線性代數》(2019版)的配套教材. 本書對《線性代數》各章知識進行了總結，對全部習題做了詳盡的解答. 同時，為滿足學有余力的讀者的需要,補充了“常見題型”部分. 這部分題目在知識的廣度和深度方面進行了加強，在難度和技巧方面都有進一步的提升，另外還擴充了教材上沒有涵蓋的一些題型，包括部分考研真題。

由北京建築大學數學系編著、北京建築大學教材建設專項基金資助出版的《線性代數》（2019 版） 一書，作為我校全日制和成人教育理工科各專業線性代數課程的指定教材，取得了良好的教學效果。
在實踐過程中，廣大師生對此教材的好評主要集中在以下幾點。
1. 通過“線性方程組解的理論” 這一線索，將全書內容連為一體，知識體系十分完整。
2. 每節均有“導讀與提示” 部分，由淺入深，循序漸進，符合學習認知規律，在一定程度上降低了學習難度。
3. 將基本知識和理論證明分層講解，滿足各類學習者的不同需求。
4. 盡可能由實例引入數學概念，提高了讀者的學習興趣。
5. 每章都有“閱讀材料”，介紹該章（部分） 知識的來歷、應用等，開闊了讀者的視野，同時，也可以此為契機，開展學生思想政治教育。
在編寫過程中，我們始終把方便學生自學作為主要目標之一。考慮到近年來該課程教學的實際情況，為方便學生遇到問題及時得到解答，在教務處、理學院及數學與數據科學系領導的支持下，《線性代數》教材編寫組再一次組織相關老師共同編寫了《線性代數習題詳解與提高》一書。本書除對教材上所有習題給出詳盡的解答外，還在知識的廣度和深度方面進行了加強，擴充了教材上沒有涵蓋的一些題型（加* 號題為有一定難度的題），包括部分考研真題，希望對學生深入學習《線性代數》及考研有所幫助。
本書由劉長河、盧崇煜老師執筆，多位老師分章審核，具體如下：侍愛玲（第1章），徐華博（第2章），劉志強（第3章），代西武、劉世祥（第4章），呂大昭（第5章）。武利剛老師對全書進行了統一審核，並提出了寶貴意見。
在本書編寫過程中，理學院、數學與數據科學系領導給予了大力支持，本系諸位同仁提出了許多寶貴的意見，同時本書得到北京建築大學教材建設專項基金資助，在此深表感謝！
限於編者水平及各種主客觀條件，本書不足之處在所難免，敬請廣大師生在使用過程中不吝賜教，以便進一步修改完善，最終達到提高學習效果的目的。

北京建築大學數學與數據科學系 盧崇煜

第1章　行列式001
1.1　本章內容總結001
1.1.1　知識脈絡圖001
1.1.2　知識要點001
1.1.3　學習要求002
1.2　習題解答002
1.2.1　習題1.1 002
1.2.2　習題1.2 004
1.2.3　習題1.3 005
1.2.4　習題1.4 005
1.2.5　習題1.5 006
1.2.6　習題1.6 009
1.2.7　習題1.7 013
1.2.8　習題1.8* 016
1.2.9　復習題1 020
1.3　常見題型023
1.3.1　排列的逆序數和奇偶性023
1.3.2　n 階行列式的概念024
1.3.3　行列式的性質026
1.3.4　行列式按行（列）展開027
1.3.5　行列式的計算029
1.3.6　克拉默法則035
1.4　綜合練習1 037
1.5　綜合練習1　答案與提示038

第2章　矩陣及其運算041
2.1　本章內容總結041
2.1.1　知識脈絡圖041
2.1.2　知識要點041
2.1.3　學習要求042
2.2　習題解答042
2.2.1　習題2.1 042
2.2.2　習題2.2 043
2.2.3　習題2.3 048
2.2.4　習題2.4 053
2.2.5　復習題2 056
2.3　常見題型060
2.3.1　有關矩陣的基本概念和基本運算060
2.3.2　方陣的行列式、逆矩陣064
2.3.3　有關分塊矩陣的計算068
2.4　綜合練習2 070
2.5　綜合練習2　答案與提示072

第3章　矩陣的初等變換與線性方程組075
3.1　本章內容總結075
3.1.1　知識脈絡圖075
3.1.2　知識要點075
3.1.3　學習要求076
3.2　習題解答076
3.2.1　習題3.1 076
3.2.2　習題3.2 077
3.2.3　習題3.3 080
3.2.4　習題3.4 082
3.2.5　復習題3 086
3.3　常見題型092
3.3.1　矩陣的初等變換及初等矩陣092
3.3.2　矩陣的秩094
3.3.3　線性方程組與矩陣方程096
3.4　綜合練習3 102
3.5　綜合練習3　答案與提示104

第4章　向量組的線性相關性107
4.1　本章內容總結107
4.1.1　知識脈絡圖107
4.1.2　知識要點108
4.1.3　學習要求108
4.2　習題解答109
4.2.1　習題4.1 109
4.2.2　習題4.2 111
4.2.3　習題4.3 113
4.2.4　習題4.4 115
4.2.5　習題4.5 116
4.2.6　復習題4 120
4.3　常見題型122
4.3.1　向量組的線性相關性和向量組的秩122
4.3.2　向量空間127
4.3.3　線性方程組的通解、解空間128
4.4　綜合練習4 132
4.5　綜合練習4　答案與提示134

第5章　相似矩陣和二次型136
5.1　本章內容總結136
5.1.1　向量的內積、長度和正交性136
5.1.2　矩陣的特徵值與特徵向量137
5.1.3　二次型138
5.2　習題解答139
5.2.1　習題5.1 139
5.2.2　習題5.2 140
5.2.3　習題5.3 143
5.2.4　習題5.4 147
5.2.5　習題5.5 152
5.2.6　習題5.6 155
5.2.7　習題5.7 156
5.2.8　復習題5 157
5.3　常見題型160
5.3.1　有關向量空間、正交向量組等計算160
5.3.2　有關正交矩陣163
5.3.3　具體矩陣的特徵值和特徵向量164
5.3.4　抽象矩陣的特徵值165
5.3.5　矩陣的對角化問題167
5.3.6　有關二次型的基本概念168
5.3.7　化二次型為標準形、規範形168
5.3.8　正定二次型和正定矩陣的性質、判定171
5.4　綜合練習5 173
5.5　綜合練習5　答案與提示174

參考文獻176