沙粒、圍棋和無窮：尋找最大數的數學史詩之旅（簡體書）

地球上的沙粒是否比宇宙中的星星更多？是否有足夠的紙來寫下一個古戈爾普勒克斯（googlolplex）的數字？
在古代，只有像阿基米德這樣的少數學者才能領悟到非常大的數字與現實世界有關。但今天，我們普通人對數十億和數萬億這樣的數量都已經見怪不怪了。我們都以為數是無窮無盡的，只要一直數下去，就永遠也數不到頭，那麼還可能存在所謂“最大的數”嗎？
為了找出答案，本書展開了一場史詩般的探索，從我們身體內的細胞到宇宙中的恒星，再到所有黑洞蒸發所需的時間，大數無處不在。每當我們得到一個大數，另一個意想不到的更大的數就會出現，挑戰我們的想象與計算極限。從阿基米德數、阿克曼函數到康威鏈式箭號表示法、高德納向上箭號表示法，從龐加萊、圖靈、希爾伯特到康托爾、哥德爾，從指數、數論到圖論，這些偉大數學家思考和發現大數的故事幫助我們丈量世界，擴大自己的思考疆域。
歡迎加入尋找難以理解的巨大數字的奇妙之旅！

作者簡介

戴維·達林，曼徹斯特大學天文學博士。在過去的35年裡，他一直是一名自由職業的科普作家，寫過大約50本關於宇宙、物理、哲學和數學等學科的書。他的個人網站和社交媒體主頁“發現數學”是公眾廣泛使用的在線資源。他目前正在製作一個以科學為主題的音樂節目，名為“科幻體驗”。

阿格尼喬·班納吉，出生於印度加爾各答，但大部分時間都在蘇格蘭度過。班納吉的非凡數學天賦在他很小的時候就得到了認可。2018年，他在國際數學奧林匹克競賽中獲得滿分，並列第一，這使他成為世界上杰出的年輕數學家之一。班納吉目前正在劍橋大學三一學院繼續自己的學業。

譯者簡介

張旭成，德國杜伊斯堡-埃森大學博士，研究方向為代數幾何。目前在清華大學丘成桐數學中心從事博士後研究工作，曾譯《素數的陰謀》。

韓琨，文學碩士，先後畢業於中國人民大學、香港中文大學。科普圖書編輯，現居北京。

1.尋找最大的數以及用什麼方法表達並形成大數，是數學領域一個非常有趣且很多人研究的一個主題。世界上有最大的數嗎？在不加任何修飾限定的情況下，答案顯然是否定的：無論你說出多大的一個數，通過簡單的“加1”我們就可以得到一個更大的數。但探尋最大的數這一問題並沒有就此終結，因為我們真正感興趣的，是那些大且“有意義”的數。這種意義既可以來自於現實的物理世界，也可以來自於抽象的數學世界。科學領域中目前有意義的最大數字是多少？是我們本書追問的目標，讀到本書結尾，你會獲得答案。
2.以尋找最大的數為線索，回顧了數學發展史及偉大數學家的故事。大數探索肇始於東西方哲人對宇宙的描述和思考：阿基米德試圖用沙粒填滿古希臘人認知裡直徑兩光年的宇宙，而佛陀遍歷了梵文辭典來激發普羅大眾對宇宙的敬畏——兩者持有截然不同的目的。從阿基米德數、古戈爾數、愛丁頓數、梅森素數、香農數、斐波那契數、葛立恒數，到阿克曼函數、康威鏈式箭號表示法、高德納箭號表示法，從龐加萊、圖靈、希爾伯特、康托、哥德爾，從指數、數論到圖論，遍歷偉大數學家思考和發現大數的故事。
3.適合對大數好奇的普通讀者，也適合數學專業人士。在追尋最大的數的路上，我們會遇到一些非比尋常的想法，它們與我們慣有的思維方式很不一樣，因此最大的挑戰是找到熟悉的詞匯和概念，通過它們搭建起理解的橋梁。我們將遠離“故土”，冒險進入迄今為止很少有人親見或經歷過的思想領域。我們追求的是找到數字宇宙的邊界。

序 言
物理宇宙的浩瀚超乎想象。即使是離我們最近的恒星，距離之遙遠也幾乎難為任何地球生物所理解。可觀測宇宙的邊緣離我們大約 460 億光年（4350 萬億億千米），更是遠得難以置信。不過，我們即將開始的是一次更偉大的遠航——不是進入太空深處，而是前往數學宇宙的最遠處。
一路上，我們會遇到一些非比尋常的想法，它們與我們慣有的思維方式很不一樣，因此最大的挑戰是找到熟悉的詞匯和概念，通過它們搭建起理解的橋梁。我們將遠離“故土”，冒險進入迄今為止很少有人親見或經歷過的思想領域。我們追求的，無非是找到數字宇宙的邊界。
當然了，你可能會認為這樣的邊界並不存在。數字是無窮盡的，即使我們用 1 後面全是 0 或全是 9 寫滿這本書，乃至寫滿一間圖書館所有藏書的每一頁每一行，最後你只需要說一句“加 1”，就能得到一個比它更大的數。事實就是如此。數軸延伸至無限遠的迷霧中。但正如我們即將發現的那樣，尋找終極大數並不囿於緩慢地沿著一條沒有盡頭的道路一步一步地跋涉。對於經常重復的口頭禪“沒有最大的數字”，我們還有一些既令人驚訝又令人費解的替代方案，其中一些將引我們涉足有限與無窮之間的幽暗之地，它在很大程度上仍未被探索；另一些則將把我們帶入實際上平行的數學宇宙，那裡有不同的運行規則，我們之前認為牢不可破的知識在那裡輕易就會被推翻。
像探索任何未知的領域一樣，我們需要做好充分的準備。我們將研究大數的歷史，研究它是如何發展到今天這一步的。我們將深入研究一些本身就令人著迷但中學或大學課程鮮少涉及的領域，為之後的偉大探索做準備。
就像登山者試圖攀登以前未被征服過的山峰，歷史上也有一些數學家曾滿懷勇氣，試圖在巍峨的數字山脈上攀登新的高度。他們往往獨自冒險，並不依靠他人智力、道德或經濟上的支持來實現自己的雄心壯志。為了比前人走得更遠，這些踏上陌生土地的開拓者必須開發新的工具和技術。在他們看來，自己欣賞到的風景如此壯觀、令人驚嘆，毫不亞於珠穆朗瑪峰或馬特洪峰的峰頂看到的勝景。這些就是後文中等待著我們的腦中奇觀。
寫這本書也有我們個人的原因。數論——特別是研究非常大的數字的數學——一向為班納吉所熱衷。正是這個主題，令他在整個求學生涯中都為之著迷，最終在 2018 年國際數學奧林匹克競賽中獲得第一名，並入學劍橋。而達林一直喜歡尋找向廣大讀者解釋艱深想法的方法。早年間他在輔導小班納吉時，就與他建立起了難得的寫作伙伴關係，本書就是兩人伙伴關係的頂峰。
人們普遍有一種看法，即數學是冷酷、嚴肅的，與人類的真實世界略有疏遠，但事實遠非如此。數學與音樂和藝術一樣，是最具人性光輝的事業之一，它浸透著激情、悲劇和喜劇，充滿了浪漫、狂野而精彩的人物和不斷挑戰現狀的大膽新穎想法。數學的這種戲劇性，在尋找世界上最大的數這一終極智力挑戰中，表現得最為明顯。

序 言
第1章 沙粒和星星
第2章 現實的極限
第3章 數學無界
第4章 向高處，向遠處
第5章 一掠而過的g數
第6章 康威鏈
第7章 阿克曼和遞歸的力量
第8章 如果可以的話，算一算！
第9章 無窮之事
第 10 章 快速增長
第 11 章 不要計算！
第 12 章 大數數學家的奇異世界
第 13 章 超越之橋
第 14 章 最大的數
致 謝
附 錄 人名對照表
延伸閱讀
參考文獻
譯後記

第1章 沙粒和星星
地球上的沙粒和宇宙中的星星哪個多？在遠離人造光的晴朗夜晚，單憑肉眼你至少可以看到一兩千顆星星；如果當晚沒有月亮而你的視力又特別好的話，你可以看到將近四千顆。一把沙子裡的沙粒要比這多得多（見圖 1-1）。太空之廣袤，令人望而生畏。強大望遠鏡的觀測表明，太空包含大量星系，每個星系都擁有數十億顆星星；我們星球上的沙漠、海灘和海床裡都含有大量沙粒，同樣令人眼花繚亂。那麼，在這場數字遊戲中，沙粒和星星誰會勝出呢？
美國夏威夷大學的研究人員在 2003 年的一項研究中估算出，地球上沙粒的數量為750 億億，或者說75 後面跟著17 個0。至於整個可觀測宇宙中的星星，他們得出的數字為 700 萬億億，相當於一顆沙粒對應約一萬顆星星。
古希臘數學家和科學家阿基米德（Archimedes）也對這類問題感興趣。公元前 3 世紀，他寫了一篇後來被稱為《數沙者》（The Sand Reckoner）的短文給錫拉庫薩（又譯作敘拉古）國王革隆（Gelon）。這篇面向非專業人士的短文既準確又清晰，有時也被認為是第一篇研究說明性論文。阿基米德在文中提出了一個問題：填滿整個宇宙需要多少顆沙粒。
當然了，這個問題的答案取決於沙粒的平均大小和宇宙的大小。按照阿基米德非常慷慨（甚至不切實際）的估算，一粒小米粒可以容納一萬顆沙粒，這使得一顆沙粒的大小幾乎可以忽略不計。他還估算出，40 粒小米粒並排放在一起，可以達到一根手指的寬度，大約 19 毫米。這樣，一個直徑為一指寬的球體可以容納 6. 4 億顆沙粒。
阿基米德又根據前輩阿利斯塔克（Aristarchus）的經典日心說，估計了宇宙的大小。在日心說所描述的太空模型中，地球繞太陽運行，恒星固定在一個同樣以太陽為中心的球體上，但距離要遠得多。當地球從太陽的一側運行到另一側時，古希臘人無法辨察出天空中恒星相對位置的任何變化——這一事實即所謂的視差，它意味著恒星與太陽的距離必須有一個最小值。阿基米德據此估算出了當時已知宇宙的最小可能直徑——寫成現代單位，大約為 2 光年。
今天，我們可以很容易地通過數學計算得出，要填滿一個直徑 2 光年的球體需要多少顆阿基米德估算大小的沙粒。答案約為 1 後面 63 個零，也可以緊湊地寫成 1063——
10×10×10×…×10（有 63 個 10 相乘）。而阿基米德面臨的問題是，在他那個時代，還沒有我們這種表示大數的簡便方法。
我們現在使用的從 0 到 9 的阿拉伯數字，大約在其 800 年後才出現（而且還是出現在印度，不是在阿拉伯地區）。位值制記數法，即根據同一符號的不同位置來表示其數量級（例如 30、300和 3000 中的 3）的方法，彼時在古巴比倫還處於起步階段，尚未傳入古希臘。況且當時還沒有像指數記數法這樣的東西，即一個數自乘多少次可以寫成上標（即 1063 中的 63）。
在阿基米德開始計算宇宙沙粒時，古希臘人還是用字母表中的字母來表示數的。我們現在的數——1 到9，10 的倍數（10到 90）和 100 的倍數（100 到 900），那時都用不同的字母表示。我們熟悉的 24 個希臘字母，從 α 到 ω（今天的希臘語中仍在使用），必須輔以取自更古老的語言和方言中的其他字母，才能提供足夠的記號。α 到 θ 代表 1 到 9，ι 到 φ（源自腓尼基語）代表 10 的倍數（10 到 90），ρ 到 ?（在愛奧尼亞東部一些方言中使用）代表 100 的倍數（100 到 900）。古希臘人不會在不同的位置重復使用同一個字母，例如，222 會寫成 σκβ（＝200 ＋ 20 ＋ 2）。對於 1000 的倍數（1000 到 9000），一些字母會重復使用，但須另附各種標記。這就是古希臘的記數系統所能達到的極限，除了 murious——它是已定義的最大的單個單位，寫作 μ 的大寫 Μ，相當於我們今天的 10 000。羅馬人稱它為 myriad，這一名稱後來被英語吸收，但含義發生了變化，表示“無數的”或非常大（但未定義）的數。
使用上述字母串記數的方法，古希臘人可以寫出比 murious更大的數，但也只能是 M 的倍數。例如，1 234 567 會寫成ρκγΜ, δφξζ（123×10 000 ＋ 4567）。但對於超過幾億的數來說，這種記數法很快就後繼乏力。
阿基米德意識到，要表示他在計算宇宙沙粒時所產生的那種巨大的數，必須想出一套全新的數字命名系統。阿基米德首先將所有不超過 myriad myriad 的數定義為“第一階”的數——對我們來說這似乎並不是一個很大的進步，因為我們可以很容易地將myriad myriad 寫成 104×104，也就是 108（1 億）——然後從這裡開始無限延續下去。但是阿基米德開始他的大數項目時，並沒有像我們的指數記數法這樣用指數來表示一個數自乘次數的東西。
在將所有不超過 myriad myriad 的數定義為第一階的數之後，阿基米德繼而考慮了介於 myriad myriad 和 myriad myriad 乘以myriad myriad（1 後面跟著 16 個 0，或者用現代記數法是 1016）之間的數，並將這些數稱為“第二階”的數。之後他依此類推，以同樣的方式定義了“第三階”“第四階”的數——後一階都比前一階大 myriad myriad 倍。最終，他達到了“第 myriad myriad階”的數，換句話說，在我們的指數記數法中，是 108 自乘 108
次，即 108 的 108 次方，等於 10800 000 000。他將所有這些數定義為“第一周期”的數，如果將其中最大的數完整寫下來，會有8 億位。他把 10800 000 000 這個數本身作為“第二周期”的跳板，以它為起點再次開始這個過程。他用同樣的方法定義了第二周期裡的階，每個新的階都比前一階大 myriad myriad 倍。到“第myriad myriad 周期”結束時，阿基米德得到了 myriad myriad 的myriad myriad 乘以 myriad myriad 次方這麼大的數，我們可以將它寫成 1080 000 000 000 000 000，即 10 的 8 億億次方。
請記住，阿基米德並不知曉我們書寫大數的緊湊寫法，古希臘數學中甚至沒有零的概念。他從一個為超過幾億的數命名都困難的系統出發，創造了一種可以描述在 10 進制下有 8 億億位的數的方法。
事實證明，在數沙項目中，阿基米德並不需要這麼大的數。利用他對一顆沙粒和整個宇宙大小的估計，阿基米德得出的數只達到了第一周期的第八階。用指數記數法，僅僅 8×1063 顆阿基米德估算大小的沙粒就足以填滿希臘人認知裡直徑 2 光年的宇宙。即便使用現代更大的估計，可觀測宇宙的直徑為 920 億光年，填滿它也用不到 1095 顆沙粒——而這個數剛剛才達到阿基米德第一周期的第十二階。
《數沙者》是最前沿的工作。阿基米德不僅在有限的數據條件下提供了一幅與我們現在所知最接近的宇宙圖景，而且發明了一種描述大數的全新方法。阿基米德是第一個在沒有現代記數法的情況下解決了命名和操作大數問題的人。他使用以 10 000 為底的數字系統，有效地開創了冪運算——即將一個量提升到另一個量的冪次的過程。他還發現了同底數冪相乘、指數相加的規律，即對於任意的數 x，m，n，有 xm×xn ＝ xm n。例如 32×33 ＝ （3×3）×（3×3×3）＝ 35。
阿基米德第一個證明了人有可能超越其時代傳統——在他所處的那個時代，大數傳統上被簡單地稱為“無數”。這種處理方式在描述沙粒和星星時尤為明顯。比阿基米德更早的古希臘詩人品達（Pindar）在他的《奧林匹亞頌》第二首（Olympus Ode Ⅱ）中寫道：“沙粒無法計數。”希臘語中甚至還有一個詞 psammakósioi（字面意思“沙百”），就是用來表示“不可數的”。《聖經》的作者也放棄了沙粒和星星的計數。《聖經》裡有 21 處提到不可能計算出沙粒的數量。《舊約·創世記》（32：12）中說：“海邊的沙，多得不可勝數。”《新約·希伯來書》（11：12）更是將沙粒和星星混為一談：“如同天上的星那樣眾多，海邊的沙那樣無數。”
正如我們所見，阿基米德並沒有把自己局限在海邊甚至整個地球的沙粒上。他想象整個宇宙都充滿了小到幾乎看不見的沙粒，這樣就保證了同時代沒有人能超過他估算的數。幾百年後，世界另一個地方的知識分子，出於截然不同的目的，也寫了一些關於大數的東西。如果能知道阿基米德會如何看待後人的努力，那將是一件很有意思的事情。
東方哲學，尤其是佛教，一直著迷於空間、時間和心靈的廣袤。因此，這些思想體系的學者們最終轉變觀念，開始在最廣大的宇宙尺度上用數來表示事物的年齡或程度，也就
不足為奇了。寫於公元 3 世紀的大乘佛教經典之一《方廣大莊嚴經》中，有一段發生在已經去世數百年的佛陀（Gautama Buddha）和神秘數學家阿周那（Arjuna）之間的對話。佛陀在回答阿周那的問題時，闡述了一個基於拘胝（koti，又作拘梨，梵語“一千萬”）的數值系統，令人暈頭轉向。佛陀在每一步都會說出一個百倍於上一步的數：1 阿由多（ayuta）是 100 拘胝，1 尼由多（niyuta）是 100 阿由多；以此類推，直到怛羅絡叉（tallakshana），它等於 1 後面跟著 53 個 0。佛陀解釋說，在怛羅絡叉的範圍之外，還有一個阇阿伽羅摩尼（dvajagravati），等於1099，接著是其他 4 個遞增的層級，直到隨入極微塵波羅摩呶羅阇（uttaraparamanurajahpravesa），相當於 10421。?