數學之美（簡體書）

美國數學協會前會長弗朗西斯·蘇出版過一本書叫作《數學的力量》，書中講過這樣一個故事：一個美國少年從14歲開始遊走在犯罪的邊緣，結果在19歲時被判入獄32年。在入獄7年之後，這個少年給蘇寫了一封信，描述了他對數學的熱愛，自學大學數學課程及對它們的理解。此後，蘇與這位罪犯保持著長久的交流。蘇不禁自問：“這個失去自由的人為什麼還要學習數學？數學能帶給我們什麼？”在書的背面有這樣一句話“數學和人生之間有著千絲萬縷的聯繫，邁入數學殿堂最大的收獲，是塑造健全的心智和人格，為人生打開更多的可能。”蘇曾經寫道：“一個脫離了數學情懷的社會，就如同一個缺少了音樂會、公園和博物館的城市。和數學擦肩而過，你的生命就徹底失去了與美妙思想同歌共舞的機會，也失去了一個觀察世界的絕佳角度。理解數學之美將是一場與眾不同、令人心醉神迷的體驗，每個人都不應該放棄享受數學的權利。”對此，筆者是深信不疑的。作為一名普通的數學教師，常常會思考這樣的問題：我們為什麼要學習數學？數學能帶給我們什麼？如何將數學的普遍意義傳遞給學生？
數學的學習和研究是一件不太容易的事情，但是學習和研究數學的過程卻是快樂的。一直以來我們孜孜以求，希望能在數學與數學教育上做一些力所能及的事情。數學的學習與研究有時候是需要講究方法論的，從哲學的角度去考慮數學的方方面面，對數學的理解是很有必要的，而數學的美學是一個不容忽視的課題。為什麼要寫這樣一本書？因為對數學的熱愛，對教育的熱愛，希望將筆者所知道的關於數學的方方面面知識展現給學生。正因為如此，將對數學之美的理解寫成文字，讓學生能夠從中受益，於是便萌生了撰寫《數學之美》這本書的想法。
對於大多數人來講數學往往是抽象、艱澀、枯燥的，讓人敬而遠之。但是數學是有用的，它在幾乎所有學科中都有很重要的應用。因此，學習數學是一件無法避免的事情。數學又是美的，只是數學的美過於深沉與厚重。集雕塑家、數學家、文學家於一身的羅素指出“數學不僅擁有真理，而且還擁有至高的美，一種冷峻而嚴肅的美，正像雕塑所具有的美一樣”。在數學家眼中，漂亮和優美是數學定理的內核。英國數學家哈代曾經說過：“唯有優美的數學才能長存於世。”盡管數學世界裡也有蕪雜和混亂，但經過一代代數學家的打磨和思考，數學定理優雅的結構和證明逐漸清晰地呈現在世人面前。我們希望通過學習數學，體會數學之美，再通過教育將數學的美傳遞下去，從而激發學生對數學的興趣和熱愛，更好地促進數學教育的發展。數學的美究竟藏身何處？是大自然的啟示還是人的內心體驗？要認識數學的美，就必須認識美學意義。必須搞清楚什麼是美？什麼是美學？如何審美？在此基礎上，我們要掌握更多的數學知識，才能體會到數學的美妙之處，而一旦體會到數學的美，又能更好地促進人們去發現和創造數學美。數學的美在於它打開了人類心靈的窗戶，不斷啟迪著人類的智能，為人類認識世界提供了太多的可能。
2018年，筆者黃朝凌在首都師範大學訪學的時候，偶遇了黎景輝教授。黎教授主要從事自守型式理論方面的研究，對“相對跡公式”概念的形成有獨到的貢獻。自1978年起，黎教授先後在中山大學、華東師範大學、上海師範大學、北京大學講學。黎教授撰寫了許多專著，如《代數群引論》、《二階矩陣群的表示與自守形式》、《模曲線導引》、《拓撲群引論》及《代數K理論》等。當時他穿著一件兩個胳膊肘都破了一個洞的白襯衫，面對來自復旦大學、南京大學和上海交通大學的老師和學生，仍然保持著從容。筆者想這就是一部分中國數學工作者的真實寫照，他們在數學王國裡忘我地遨遊，不停地探索，卻並不在乎自己穿著什麼，或者吃著什麼。筆者希望自己是這樣的人，也希望自己的學生中有許多這樣的人。
本書從美學的最基本問題談起：什麼是美？人為什麼需要美？如何審美？美的形式有哪些？進而試圖闡釋數學的本質、數學的重要意義及數學美的各種形式。最後，筆者選取了16個我們認為能夠展現數學美的課題，詳細地闡述了每個課題從問題的萌芽、發展到學科的成熟。希望能夠以此說明數學美的存在，並希望讀者能夠從中感受到數學的美。
謹以此書送給我們的學生們，希望他們能夠從本書中體會到數學的美，並願意將自己的才華與精力用來創造數學美。對於學生來講，有時候知道數學的思想和方法是很重要的，而美的事物往往能夠喚醒人們內心的那份熱愛。本書的寫作目的是幫助讀者理解數學與數學之美，從而更進一步地理解數學之用，為今後的學習和工作打下數理邏輯的
基礎。
本書撰寫過程中得到了湖北文理學院領導和老師們的大力支持，尤其得到教務處處長聶軍教授和王海濤老師，以及數學與統計學院劉浩書記、王成勇院長、姚威副書記、丁凌副院長和張旻嵩副院長的鼎力支持。本書出版還得到湖北文理學院和漢江師範學院資助。林霜同學利用GeoGebra 50軟件繪製了本書中的幾何圖形，冉馥菘同學利用Sai2設計軟件繪製了本書中的其他圖。張敏捷副教授、陳仕軍副教授閱讀了部分章節並提出了修改意見，這裡一並表示感謝。
由於筆者水平有限，雖然竭盡全力，但書中不足之處在所難免，特別是對數學之美的闡述不甚完美，歡迎讀者提出寶貴意見。

第一講美學概論與數學之美003
第二講歐拉公式055
第三講橢圓、擺線、心形線與解析幾何063
第四講七橋問題與拓撲081
第五講最速降線與泛函分析095
第六講群與對稱105
第七講從科赫曲線到分形幾何123
第八講三角學與傅裡葉級數135
第九講有限與無限155
第十講田忌賽馬與博弈論169
第十一講韓信點兵與中國剩餘定理181
第十二講費馬最後猜想與代數數論189
第十三講三角形的內角和與非歐幾何199
第十四講高斯與數列209
第十五講賈憲三角與組合數學229
第十六講韋達定理與多項式241
第十七講從《幾何原本》到公理化，再到範疇論255