彈性力學基礎（簡體書）

本書是一部彈性力學基礎性教材，著重介紹彈性力學基本概念、基本方程以及分析求解彈性的問題基本方法。具體包括彈性體受力分析、變形分析、變形和受力之間的關係；線彈性力學定解問題一般方程及其簡化、求解線彈性力學定解問題的不同方法；熱彈性力學問題以及彈性力學的積分提法等。
本書的一個突出特點是對彈性力學重要方程盡量給出詳細的數學推導和說明，希望籍此能夠讓讀者深刻理解並掌握彈性力學的基本概念和思想。本書可以作為力學及有關專業的本科生、研究生教材，以及有關專業科研及工程技術人員的參考書。

廖日東，江西貴溪人，生於1972年，北京理工大學教授，1994年畢業於北京理工大學應用力學系獲工程力學專業學士學位，1999年畢業於北京理工大學車輛工程學院獲動力機械及工程專業博士學位，一直從事車輛及動力機械工程中結構強度及可靠性領域的教學和科研工作，曾獲國防科技進步二等獎2項、三等獎2項，2009年入選*“新世紀優秀人才計劃”，2010年獲中國內燃機學會“史紹熙人才獎”。

本書幫助初學者掌握彈性力學問題求解的脈絡。

所謂彈性, 是指物體在卸除所受載荷後能夠完全恢復成原來形狀的性質; 與之相對
應的是不能恢復變形的性質, 即塑性。物體表現出彈性還是塑性是與其所受載荷密切相
關的。當載荷足夠小時, 總可以認為物體是彈性的, 也就是彈性體。彈性力學是研究彈
性體在力的作用(也包括溫度變化等其他因素) 下如何變形以及如何傳遞所受作用力的
一門理論。工程實踐中, 大多數固體結構在其正常工作載荷條件下都可以近似看成彈性
體, 因此彈性力學與工程實踐具有密切的聯繫。事實上, 正是由於工程技術發展的需要
促進了彈性力學的產生和進步。如今, 載運工具、動力機械、航空航天、土木水利等各
個工程領域都是彈性力學應用的廣闊天地。同時, 彈性力學也是塑性力學、斷裂力學、
板殼力學、復合材料力學、細觀力學以及土壤力學等多種固體力學課程的先修課程。
作為固體力學的基礎, 彈性力學的發展可謂源遠流長, 彈性力學的天空中可謂群星
璀璨。但其早期的內容現在一般都歸入材料力學的範疇。今天, 我們通常將19 世紀20 年
代納維(Navier)、柯西(Cauchy) 等建立彈性力學基本方程組作為彈性力學的肇端。因
為彈性力學方程組的建立使得彈性力學問題得到完整的數學和物理描述, 彈性力學方程
組也與黏性流體力學方程組、電磁學方程組並稱為19 世紀物理學的三大著名偏微分方程
組, 在自然科學中占有重要地位。
特別值得一提的是, 奠定彈性力學基礎的納維、柯西、泊松(Poisson) 以及聖維南
(Saint-Venant) 等人均學習和任職於法國巴黎綜合工科學校(École Ploytechnique) 和橋
梁道路學校(École des Ponts et Chaussées), 他們生活在同一時代, 都從事了大量的工程
設計工作, 且都十分重視理論與實踐的結合。他們的成就是科學史上的一段佳話, 對今
天的工科學生應該具有重要的啟示意義。
迄今, 國內外已經出版了大量的彈性力學教材, 其中很多都是經典名著。在參考部
分教材的基礎上, 作者努力在以下幾方面讓本書具有一定的特色, 以期更有利於初學者
快速掌握彈性力學的基本概念、基本方程和基本方法。
(1) 注重問題牽引。全書將緊緊圍繞“彈性體如何傳遞所受作用力並如何變形” 這
一核心問題順序展開, 力求讓讀者始終明確自己解決這一核心問題時還面臨的子問題,
始終以“問題” 作為自己前進的指南和牽引, 進而提高學習和研究彈性力學的內在動力。
(2) 強調數學推演。彈性力學問題是複雜的, 只有採用數學語言才能準確描述, 只
有經歷數學推導和演算才能真正理解問題的解。本書對重要方程盡量給出詳細的推導和
說明, 希望大篇幅的數學推導是讓讀者深刻掌握彈性力學的保障而不是障礙。書中涉及
的數學知識, 相信只要具有工科大學數學基礎的讀者都能完全理解, 並能從中體會到數
　2 彈性力學基礎
學的關鍵作用。
(3) 方便對比學習。彈性力學中很多概念、方法存在諸多相似之處, 書中在相關內
容的撰寫上盡量采取相近的安排, 如對“應力” 和“應變” 概念的介紹, 對同一方程在
直角坐標系、柱坐標系和球坐標系中的推導以及對“位移法” 和“應力法” 的介紹, 對
“位移函數法” 和“應力函數法” 的介紹等, 有些內容甚至顯得有些重復。作者希望通過
這樣的安排讓讀者, 特別是初學者, 加深對概念的理解和對方法的掌握, 更清楚問題的
困難所在。
下面再介紹一下作者在撰寫本書的過程中對一些具體內容所做的思考和處理。
依作者的經驗, 學習彈性力學的一個突出困難是對“應力” “應變” 概念的理解。作
為一個需要用6 個量表示的二階張量, “應力” “應變” 無疑是大多數學生所學過的復
雜的物理量或幾何量。多數教材對這兩個概念的引入和分析是很簡略的, 從而導致初學
者難以做到深刻的理解和真正的掌握, 大大影響後續內容的學習。本書盡量站在初學者
的角度, 緊扣“如何表征變形體上一點處的受力狀態” 和“如何描述變形體上一點的變
形程度” 這兩個基本問題, 採用“先假設, 後證明” 的方式, 自然地提出直角坐標系中
的應力概念和應變概念。然後從概念的數學表征、不同記法、相關方程推導和應用等內
容上盡可能做詳細的介紹, 幫助初學者建立對兩個基本概念的深刻理解。
我們知道, 應力概念的提出是為了分析變形體上每一點的受力狀態, 因此應力是針
對“點” 而言的。與多數教材不同, 本書沒有採用直六面體而是採用了過同一點的3 個
“面” 來標示應力分量, 目的是強化一個點的應力和一個體的面力的區別, 從而更好地理
解應力概念的本質。
在介紹應變概念時, 本書沒有直接給出常用的柯西應變的定義, 而是根據“描述一
點處變形程度” 的需要, 首先提出格林應變, 盡管格林應變具有複雜的非線性形式, 卻
能讓初學者樹立清晰且完整的如何描述變形的概念, 然後指出柯西應變只是格林應變的
一次近似, 對柯西應變進行幾何含義的解釋無論怎樣都只是近似的。
與許多教材不同的另一點是, 本書摒棄了“微元體” 分析法, 直接針對“有限體”,
採用高等數學中積分/ 極限運算記法來闡述應力、應變的定義以及推導有關基本方程(柯
西公式、平衡方程、幾何方程等), 整個過程中沒有不必要的“假設” 和“技巧”, 作者
希望這樣的處理能夠使初學者對彈性力學概念的理解更加嚴謹, 也為高等數學知識的應
用提供了途徑。
從矩陣分析角度看, 主應力、主應變無非是應力矩陣和應變矩陣的特徵值, 但一般
來講, 在應力分析中, 我們可以從“尋找過一點的某截面, 使得該點在截面上的應力向
量與法向重合” 這樣一個清晰的問題來引出應力矩陣的特徵值問題, 但由於傳統應變矩
陣元素的定義過程, 應變矩陣的行或列失去了直觀的向量特徵, 這樣就使得應變矩陣的
特徵值問題失去了像應力矩陣特徵值一樣的問題牽引。為此, 本書提出了正應變和剪應
變的統一定義, 凸顯應變矩陣行或列的向量性質, 使主應變的提出也具有了同樣的問題
牽引。
前 言 3
張量分析是彈性力學的重要內容, 但對於張量的概念、記法和運算法則, 本書只根
據需要做一些必要但詳細的介紹。本書力圖表明彈性理論的建立需要(可以) 採用指標
記法和定義張量運算法則, 因為只有這樣才能更好地簡化有關推導過程, 才能讓有關方
程在形式上變得簡單且在不同坐標下得到統一的表達。
各向同性彈性體的應變和應力關係在彈性力學中占有重要地位, 本書充分發揮矩陣
分析的作用, 從數學上證明了常見的廣義胡克定律是材料為線彈性各向同性的充分必要
條件。依據同樣的思路, 本書也從數學上討論了應變與溫度變化的關係。相信這些內容
對初學者深刻理解理論分析與實驗測定之間的相互關係具有重要作用。
本書在分析彈性力學定解問題的求解方法上采取了從一般到特殊、從高維到低維的
思路來組織有關內容。在給出三維彈性力學問題的一般描述和求解思路後, 我們完全從
數學上探討三維問題向二維、一維問題降維的條件, 相應的方程以及可能的求解方法。
多年的教學實踐表明, 這種方式便於對問題的分類, 便於初學者掌握彈性力學問題求解
的脈絡。
在介紹彈性力學問題的積分表示時, 本書也是採用從一般到特殊的方式。在加權余
量表達式的基礎上, 給出分別適用於位移法和應力法的虛位移原理、虛應力原理, 進而
給出適用於線彈性材料的小勢能原理和小余能原理。為了更好地與後續有限元法課
程銜接, 本書對基於積分形式的近似解法也作了初步介紹。
本書在介紹彈性力學基本概念、基本方程和基本方法時, 分別給出了3 種不同坐標系
(直角坐標系、柱坐標系和球坐標系) 中的結果。事實上, 不同問題採用不同的坐標系來
分析和求解的難度是不同的。多數初學者似乎更容易接受直角坐標系, 但很多問題採用
直角坐標系涉及複雜的偏微分方程組的求解, 而若採用柱坐標或球坐標後, 問題都轉化
為常微分方程的求解, 難度大大下降, 這充分說明了坐標系選擇的重要性, 這一點希望
初學者能夠細心體會。
解析求解是彈性力學的重要內容, 但是由於數值方法(特別是有限元法) 的發展,
人們覺得彈性力學問題的解析求解似乎已經沒有再學習的必要, 然而事實顯然不是這樣
的。首先, 對於同一個問題, 如果同時獲得了解析解和數值解, 則解析解對問題的揭示
是精確的、深刻的, 而數值解通常只是近似的、粗淺的; 解析解是用來檢驗該問題數值
求解方法是否正確的標準; 但對於不存在解析解的複雜問題, 該問題退化形式的解析解
往往也是理解複雜數值解的基礎。事實上, 許多看似簡單的問題的解析解, 如本書給出
的厚薄圓筒(或球殼) 問題的解、橢圓截面桿扭轉問題的解、小孔應力集中問題的解等,
都對複雜工程應用具有重要的指導作用。這一點也希望讀者能夠結合有關應用進一步去
體會。
自研究生學習階段起, 作者主要從事彈塑性力學有限元法的工程應用工作, 對彈性
力學缺乏深入的理論研究。2005 年至今, 作者承擔了北京理工大學車輛工程、動力工程
及工程熱物理以及機械工程專業的碩士研究生彈性力學的教學工作。10 多年來, 作者每
次授課前, 都將自己置身於初學者的位置, 以“問題提出” 牽引教學內容, 以“數學推
　4 彈性力學基礎
演” 控制課堂節奏, 這種原始的教學方式在當今演示文稿(PPT) 盛行的時代得到大多
數學生的認可和歡迎, 很多同學都熱情鼓勵作者將課上詳細的板書編寫成冊, 本書的內
容便是在這樣教與學的過程中錙銖積累而成的。
在此, 作者首先要對以往歷屆和我共同學習的學生們表示真誠的謝意, 並特別感謝
鮑珂、李文、黃志榮、程正坤、陳國華、桂學文等同學在與作者課後討論中給予的啟發
以及整理講義、校對書稿時提供的幫助。但願本書的完成, 也能喚起我的學生們在離開
學校多年以後對當年課堂往事的回憶。
北京理工大學物理學院範天佑教授和宇航學院趙穎濤副教授認真審閱了書稿, 在指
正錯誤和提出建議的同時也對本書的特點給予肯定, 作者對他們表示深切的謝意!
本書的出版得到北京理工大學“特立教材” 專項計劃的資助; 北京理工大學出版社
宋肖、張路、熊琳編輯為本書的出版做了許多細致的、卓有成效的工作, 作者一並表示
感謝!
必須提及的是, 本書成稿的後一段時間, 正值新冠疫情肆虐之際, 每日裡各路媒
體傳來大量的關於染病和抗疫的人和事, 讓我的心裡滿是感慨和感動, 自己無力為抗疫
做貢獻, 唯願本書的早日完成能夠成為自己心中這段非常歲月的一個紀念。
受能力所限, 作者對很多問題的理解和認識可能是膚淺的或片面的, 雖然付出了不
少的努力, 但錯誤或是不妥定是難免, 熱誠歡迎各方面的批評和指正。

章 彈性體的受力分析 ……………………………………………………… ( 1 )
1. 1 彈性體的外力分析……………………………………………………………… ( 1 )
1. 2 彈性體內力的表征———應力…………………………………………………… ( 4 )
1. 2. 1 應力的概念………………………………………………………………… ( 4 )
1. 2. 2 應力的記法………………………………………………………………… ( 8 )
1. 3 不同坐標系中應力分量的變換………………………………………………… ( 11 )
1. 4 柱坐標系和球坐標系中的應力分量…………………………………………… ( 14 )
1. 4. 1 柱坐標系中的應力分量…………………………………………………… ( 14 )
1. 4. 2 球坐標系中的應力分量…………………………………………………… ( 17 )
1. 5 一些特殊方向上的應力分量…………………………………………………… ( 19 )
1. 5. 1 剪應力為零的情況———主應力問題……………………………………… ( 19 )
1. 5. 2 主坐標系中等傾面上應力分量…………………………………………… ( 22 )
1. 5. 3 正/剪應力及其方向的確定 ………………………………………… ( 23 )
1. 6 幾種特殊的應力狀態…………………………………………………………… ( 28 )
1. 6. 1 簡單應力狀態———單向拉/壓 …………………………………………… ( 28 )
1. 6. 2 特殊的平面應力狀態———純剪切………………………………………… ( 29 )
1. 6. 3 特殊的三維應力狀態———三向等拉/壓 ………………………………… ( 30 )
1. 7 應力對位置的變化規律———平衡方程………………………………………… ( 30 )
1. 7. 1 直角坐標系下的平衡方程………………………………………………… ( 30 )
1. 7. 2 柱坐標系下的平衡方程…………………………………………………… ( 34 )
1. 7. 3 球坐標系下的平衡方程…………………………………………………… ( 38 )
1. 7. 4 曲線坐標系下平衡方程推導的坐標變換法……………………………… ( 42 )
習題一 ………………………………………………………………………………… ( 44 )
第二章 彈性體的變形分析 ……………………………………………………… ( 46 )
2. 1 彈性體變形程度的表征———應變……………………………………………… ( 46 )
2. 1. 1 一些簡單的情形…………………………………………………………… ( 46 )
2. 1. 2 一般情形…………………………………………………………………… ( 50 )
2. 2 直角坐標系中位移與應變的關係———幾何方程……………………………… ( 53 )
2. 2. 1 幾何方程的推導…………………………………………………………… ( 53 )
2. 2. 2 應變分量有效性的證明…………………………………………………… ( 56 )
2. 2. 3 應變的記法………………………………………………………………… ( 58 )
　2 彈性力學基礎
2. 2. 4 剛體運動時應變定義的檢驗……………………………………………… ( 61 )
2. 3 不同直角坐標系中應變分量的轉換…………………………………………… ( 62 )
2. 4 柱坐標系和球坐標系下的應變………………………………………………… ( 63 )
2. 4. 1 柱坐標系下的應變………………………………………………………… ( 63 )
2. 4. 2 球坐標系下的應變………………………………………………………… ( 67 )
2. 5 曲線坐標系下幾何方程推導的坐標變換法…………………………………… ( 70 )
2. 6 應變分量定義的統一形式……………………………………………………… ( 72 )
2. 7 特殊方向上的應變分量………………………………………………………… ( 73 )
2. 8 由柯西應變求位移……………………………………………………………… ( 75 )
2. 8. 1 線積分法…………………………………………………………………… ( 75 )
2. 8. 2 位移單值可積的條件———應變協調方程………………………………… ( 77 )
2. 8. 3 位移解中積分常數的討論………………………………………………… ( 78 )
2. 8. 4 對多連通域位移協調方程的討論………………………………………… ( 79 )
2. 8. 5 三個例子…………………………………………………………………… ( 80 )
2. 9 柱坐標和球坐標系下的應變協調方程………………………………………… ( 85 )
習題二 ………………………………………………………………………………… ( 86 )
第三章 彈性體的變形與受力的關係…………………………………………… ( 88 )
3. 1 線性各向同性材料的應力—應變關係………………………………………… ( 88 )
3. 2 彈性體應力—應變關係一般理論……………………………………………… ( 92 )
3. 2. 1 變形過程的功和能分析…………………………………………………… ( 92 )
3. 2. 2 線彈性體應力—應變關係的一般分析…………………………………… ( 94 )
3. 2. 3 線彈性體應力—應變關係的方向性……………………………………… ( 95 )
3. 3 線性各向同性彈性常數及應力—應變關係記法……………………………… (104)
3. 3. 1 各種彈性常數的測定、 相互關係及取值範圍…………………………… (105)
3. 3. 2 線性各向同性應力—應變關係的記法…………………………………… (106)
3. 4 線性各向同性彈性體主應力和主應變之間的關係…………………………… (108)
3. 5 考慮溫度變化的彈性體應力—應變關係……………………………………… (109)
習題三 ………………………………………………………………………………… (113)
第四章 彈性力學一般方程及其退化…………………………………………… (114)
4. 1 三維線彈性力學定解問題……………………………………………………… (114)
4. 1. 1 基本方程…………………………………………………………………… (114)
4. 1. 2 邊界條件…………………………………………………………………… (116)
4. 1. 3 邊界條件的近似———聖維南原理………………………………………… (117)
4. 2 彈性力學問題解的適定性……………………………………………………… (120)
4. 3 線彈性力學問題的疊加原理…………………………………………………… (122)
目 錄 3
4. 4 線彈性力學定解問題的降維…………………………………………………… (123)
4. 4. 1 平面應力問題……………………………………………………………… (123)
4. 4. 2 平面應變問題……………………………………………………………… (130)
4. 4. 3 平面問題方程組的統一形式……………………………………………… (135)
4. 4. 4 平面問題方程組的極坐標形式…………………………………………… (137)
4. 4. 5 軸對稱平面問題…………………………………………………………… (138)
4. 4. 6 一維應力問題……………………………………………………………… (140)
4. 4. 7 一維應變問題……………………………………………………………… (144)
4. 4. 8 球對稱問題………………………………………………………………… (148)
習題四 ………………………………………………………………………………… (150)
第五章 線彈性力學定解問題的位移法求解 ………………………………… (152)
5. 1 線彈性力學定解問題基本解法概述…………………………………………… (152)
5. 2 直角坐標系中位移法基本方程的推導………………………………………… (153)
5. 2. 1 三維問題…………………………………………………………………… (153)
5. 2. 2 二維問題…………………………………………………………………… (154)
5. 2. 3 一維問題…………………………………………………………………… (154)
5. 3 柱坐標系中位移法基本方程的推導…………………………………………… (155)
5. 3. 1 三維問題…………………………………………………………………… (155)
5. 3. 2 軸對稱結構軸截面平面應變問題………………………………………… (157)
5. 3. 3 軸對稱結構橫截面平面應變問題………………………………………… (158)
5. 3. 4 軸對稱結構一維徑向應變問題…………………………………………… (158)
5. 3. 5 軸對稱結構一維軸向應變問題…………………………………………… (159)
5. 4 球坐標系中位移法基本方程的推導…………………………………………… (159)
5. 4. 1 三維問題…………………………………………………………………… (159)
5. 4. 2 球結構軸對稱問題………………………………………………………… (160)
5. 4. 3 球對稱問題………………………………………………………………… (160)
5. 5 均勻壓力作用下的五面剛性光滑約束塊體問題……………………………… (161)
5. 6 均勻壓力作用下兩端自由的厚壁圓筒問題…………………………………… (162)
5. 7 均勻壓力作用下的球殼問題…………………………………………………… (166)
習題五 ………………………………………………………………………………… (168)
第六章 線彈性力學定解問題的應力法求解 ………………………………… (170)
6. 1 直角坐標系中應力法基本方程的推導………………………………………… (170)
6. 1. 1 三維問題…………………………………………………………………… (170)
6. 1. 2 平面應力問題……………………………………………………………… (172)
6. 1. 3 一維應力問題……………………………………………………………… (172)
　4 彈性力學基礎
6. 2 柱坐標系中應力法基本方程的推導…………………………………………… (172)
6. 2. 1 三維問題…………………………………………………………………… (172)
6. 2. 2 二維問題…………………………………………………………………… (176)
6. 3 球坐標系中應力法基本方程的推導…………………………………………… (177)
6. 3. 1 三維問題…………………………………………………………………… (177)
6. 3. 2 球對稱問題………………………………………………………………… (178)
6. 4 重力作用下的柱體……………………………………………………………… (179)
6. 5 均勻壓力作用下兩端自由的厚壁圓筒問題…………………………………… (182)
6. 6 均勻壓力作用下的球殼問題…………………………………………………… (184)
習題六 ………………………………………………………………………………… (186)
第七章 線彈性力學問題的應力函數法………………………………………… (187)
7. 1 直角坐標系下的艾瑞應力函數法及應用……………………………………… (187)
7. 2 極坐標系中的艾瑞應力函數法及應用………………………………………… (195)
7. 3 普朗特應力函數法及應用……………………………………………………… (205)
7. 4 三維問題的應力函數法………………………………………………………… (210)
習題七 ………………………………………………………………………………… (212)
第八章 線彈性力學問題的位移函數法………………………………………… (213)
8. 1 無體力彈性體位移場性質……………………………………………………… (213)
8. 2 無旋位移場的勢函數法………………………………………………………… (214)
8. 3 伽遼金位移函數法……………………………………………………………… (218)
8. 4 其他位移函數法………………………………………………………………… (226)
習題八 ………………………………………………………………………………… (228)
第九章 熱彈性力學問題 ………………………………………………………… (229)
9. 1 熱傳導問題簡介………………………………………………………………… (229)
9. 2 熱彈性力學問題的基本方程…………………………………………………… (232)
9. 3 自由物體熱應力為零的條件…………………………………………………… (234)
9. 4 熱彈性力學的位移法…………………………………………………………… (235)
9. 5 熱彈性力學的應力法…………………………………………………………… (239)
9. 6 柱坐標下的熱彈性力學………………………………………………………… (242)
9. 7 球坐標下的熱彈性力學………………………………………………………… (248)
習題九 ………………………………………………………………………………… (254)
第十章 彈性力學的積分提法 …………………………………………………… (255)
10. 1 幾個基本概念 ………………………………………………………………… (255)
10. 2 彈性力學問題的等效積分形式 ……………………………………………… (256)
10. 3 彈性力學問題的虛功原理 …………………………………………………… (257)
10. 4 小勢能原理 ………………………………………………………………… (261)
　6 彈性力學基礎
10. 5 小余能原理 ………………………………………………………………… (265)
10. 6 微分提法與積分提法的對比 ………………………………………………… (266)
10. 7 彈性力學積分提法的應用 …………………………………………………… (269)
習題十 ………………………………………………………………………………… (278)
附錄 彈性力學代表人物及其主要貢獻………………………………………… (279)
主要參考書目 ………………………………………………………………………… (285)