笛卡兒幾何(學生版)（簡體書）

笛卡兒是誰 中國科學院數學與系統科學研究院研究員
笛卡兒(R.Descartes,1596—1650)這個名字因解析幾何對科學的巨大貢獻而家喻戶曉。笛卡兒的“我思故我在”的哲學絕唱,成了唯物與唯心論者唇槍舌劍的一個永恒主題。這位17世紀的紳士到底是個什麼樣的偉人呢?
《古今數學思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作者克萊因(M.Kline)說: “笛卡兒是第一位杰出的近代哲學家,是近代生物學的奠基人,是第一流的物理學家,但只‘偶然’是個數學家。不過,像他那樣富於智能的人,即使只花一部分時間在一個科目上,其工作也必定是有重要意義的。”
為了更好地了解笛卡兒創立解析幾何的來龍去脈,我們先講講這個人吧。1596年3月31日,笛卡兒出生在法國圖賴訥(Touraine) 地區的拉艾鎮(La Haye)。笛卡兒的父親約阿希姆·笛卡兒(J.Descartes)是布列塔尼省倫諾地方法院的評議員,按現代術語講,他既是律師又是法官。當時涉及法律事務的職位在很大程度上是世襲的;從事這一職業的人在社會上有相當大的獨立性和一定的特權,屬於所謂的“穿袍貴族”階層,其地位介於貴族和資產者之間。其母讓娜·布羅沙爾(J.Brochard)也出身於這一社會層,1597年去世,給笛卡兒留下一筆遺產,使他在此後的一生中有了可靠的經濟保障,得以從事自己喜愛的工作。
有關笛卡兒早年生活的資料很少,只知他幼年體弱,喪母後由一位保姆照料;他對周圍的世界充滿好奇心,因此父親說他是“小哲學家”。8歲(1604)時入拉弗萊什鎮的耶穌會學校讀書,校方出於對他健康的關心,特許他不受校規約束,早晨可躺到願意去上課時為止。
據說他因此養成了清晨臥床長時間靜思的習慣,幾乎終生不變。該校的教學大綱規定,學生在前五年學習人文學科(即拉丁語、希臘語和經典作家的作品)、法語(包括寫作詩歌與散文)、音樂、表演和紳士必備的技藝———騎馬和擊劍。後三年課程的總稱是哲學,包括邏輯學[亞裡士多德(Aristotle)的三段論演繹法]、一般哲學[對亞裡士多德的《尼各馬可倫理學》(The Nicomachean Ethics)的詳盡分析]、物理學、數學、天文學及形而上學[指托馬斯·阿奎那(Thomas Aquinas)的哲學和天主教學者對此所做的注釋]。在涉及科學的課程中,只有數學和天文學含有較新的研究成果。笛卡兒曾對詩歌懷有濃厚的興趣,認為“詩是激情和想象力的產物”。人們心中知識的種子猶如埋在燧石中,哲學家“通過推理”使之顯露,“而詩人靠想象力令其迸發火花,因而更加光輝”。
笛卡兒後來回憶說,這所學校是“歐洲最著名的學校之一”,但他對所學的東西頗感失望,因為教科書中那些看起來微妙的論證,其實不過是些模棱兩可甚至前後矛盾的理論,只能使他頓生懷疑而無從得到確鑿的知識,唯一給他安慰的是具有自明推理的數學。他在結束學業時暗下決心: 一是不再在書本的字裡行間求學問,而要向“世界這本大書”討教,以“獲得經驗”;二是要靠對自身之內的理性的探索來區別真理和謬誤。
1612年他從拉弗萊什的學校畢業;1616年獲普瓦提埃大學的法律學位。此後,笛卡兒便背離家庭的職業傳統,開始探索人生之路。當時正值歐洲歷史上第一次大規模的國際戰爭———三十年戰爭(1618—1648)時期,他從1618年起開始了長達10年的漫遊與軍旅生活。他曾多次從軍,在一些參戰的王公貴族麾下聽命。他從戎的目的主要是為了彌補學校教育的不足,並無明顯的宗教或政治傾向。
1618年,他參加了信奉新教的奧倫治王子的軍隊,一年半後又到對立的信奉天主教的巴伐利亞公爵手下服務。笛卡兒自己評論這段生活的用詞是“太空閑,太放蕩”。看來,他不大可能實地參戰,因而有足夠的時間思考。在這期間,有幾次經歷對他產生了重要影響。
1618 年他與荷蘭哲學家、醫生兼物理學家貝克曼(I.Beeckman)相識;據說因笛卡兒在短時間內獨立解決了幾道公開求答的數學難題而引起貝克曼對他的注意。
他向笛卡兒介紹了數學的最新進展,包括法國數學家韋達(F.Viète)在代數方程論方面的工作;給了他許多有待研究的問題,特別是有關聲學與力學類似於數學證明的方法,嚴格區分了真正的科學知識和那些僅僅為可能成立的命題,從而駁倒一位與會者的“一種新哲學”。貝呂勒(P.de Bérulle)主教深有感觸,專門召見笛卡兒,以上帝代表的身份勸導他應獻身於一項神聖的事業,即用他的充分而完美的方法去研究醫學和力學。為順應天意,笛卡兒決定避開戰爭、遠離社交活動頻繁的城市,尋找一處適於研究的環境。1628年秋,他移居荷蘭,開始長達20年的潛心研究和寫作生涯,這期間除短期出訪外一直在荷蘭各地隱居。
1628—1630年間,他撰寫了第一篇方法論的論文:《探求真理的指導原則》(未最終完稿,1701年刊於他的選集中);1630—1633年間,他從事多個學科的研究,涉及光的本質、折射現象、物質的性質與結構、數學、生理學與解剖學。他的目標在於用他的方法建立一個包羅萬象的知識框架,為此,他準備出版一本書———《論世界》(Le Monde),計劃寫“論光”(Le Lumièse)和“論人”(L’Homme)兩部分。1633年初稿即將完稿之際,數學家、神學家梅森(M.Mersenne)寫信告訴他,伽利略(G.Galilei)因宣傳哥白(N.Copernicus)的學說而遭天主教宗教裁判所的審判;笛卡兒遂放棄了出版該書的打算,因為書中顯然含有哥白尼的觀點,他甚至未按慣例把手稿全部寄給梅森。其實笛卡兒並沒有放棄自己的基本主張,其後3年中,他專心論證他的新方法具有堅實的哲學基礎,相信自己的形而上學原理最終能被神學家所接受。
1637年,笛卡兒發表了《方法談》(原名是Discours de la méthode: Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences,可譯為“更好地指導推理和尋求科學真理的方法論”)。
這部著作一反當時學術界的常規,用法文而不用拉丁文撰寫,以便普通人閱讀。該書正文占全書篇幅的約七分之一,包含了未發表的《論世界》中的重要內容,簡要闡述了他的機械論的哲學觀和基本研究方法,以及他的經歷。書的其餘部分給出了三個應用實例,現一般稱為三個“附錄”,它們都可獨立成篇,是笛卡兒最主要的科學論著,它們是: 《折光》(La Dioptrique),其中提出了折射定律;《氣象》(Les Météores),用於闡釋與天氣有關的自然現象,提出了虹的形成原理;《幾何》(La Géométrie)用於清晰地表明他的方法的實質,包含了解析幾何的基本思想。這部著作的出版引起了一些學者[包括費馬(P.de Fermat)]和他的爭論。

目 錄
弁　言/ 1
上篇 閱讀指導
笛卡兒是誰 / 3
笛卡兒《幾何》的主要內容 / 12
笛卡兒的數學思想 / 22

中篇 笛卡兒幾何
第1章 僅使用直線和圓的作圖問題 / 37
第2章 曲線的性質 / 60
第3章 立體及超立體問題的作圖 / 125
附錄 方法談(節選) / 179

下篇 學習資源
擴展閱讀 / 203
數字課程 / 205
思考題 / 206
閱讀筆記 / 208

笛卡兒的數學思想
中國科學院數學與系統科學研究院研究員
笛卡兒的數學觀跟他的哲學觀是相輔相成的。這裡主要就他對歐幾裡得的《幾何原本》(以下簡稱《原本》)的體系及內容(以下簡稱“歐氏幾何”)的看法做一分析。
一、 笛卡兒是否喜歡歐氏幾何
1. 歐氏幾何是以構造方法為基礎的公理體系對歐幾裡得《原本》作為公理體系的特色,已有大量著述,不再贅言,此處只簡要提一提其構造方法的特征。
應該說,人類早期發展起來的幾何、算術和代數,都以其研究物件的直觀性存在或構造性存在為基礎。《原本》的基礎仍在於幾何物件的構造性存在: ① 它的5 條(公設)是為作圖而設的;② 它只討論可規、尺作圖的圖形。它規定的工具(不帶刻度的直尺和離開作圖平面即失效的原始圓規)雖使人感到一種濃烈的公理味,但歐幾裡得的目的可能是為了作圖的規格化、統一化。用現代的觀點看,《原本》中的作圖過程,大都可看成一種簡單的algorithm(可譯作算法∙∙)———使用一組特定的數學工具去解決一類給定問題的一個程序。在討論平面幾何的卷Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ和Ⅵ中,共有基本作圖題48 個,每個都給出一種簡單算法,典型的如卷Ⅱ命題2:
分割給定直線(段),使得整段與其中一分段所作的矩形等於所餘另一分段上所成的正方形。
為了指出這種算法不是太平凡的,只消說明它相當於代數中求解x2 +ax =a2 這類方程。

值得注意的是,《原本》中涉及圖形間關係的不少命題,也是通過直接作圖再加全等公理來證明的,如卷Ⅱ中的命題1,2,3,4,5,6,7,8。
2. 笛卡兒對《原本》的公理形式和幾何內容“分而治之”,各作取舍
在笛卡兒的著作中,我們尚未找到他對歐氏幾何的系統評價,但從他建立他的哲學體系的方法,可以看出他在如下意義上,並不排斥由定義、公理到定理的這種形式的知識結構,即認為它是證明各種知識的確實性(或者說真理性)的唯一可靠的方法。他也確實把他的哲學體系全部建立在“我思故我在”這條“第一原理”之上了。在《哲學原理》的序言中,笛卡兒寫道: “要尋找第一原因和真正的原理,由此演繹出人所能知的一切事物的理由。”
同時,笛卡兒也指出了這種綜合的、演繹的數學體系的局限,說它雖“給出了大量真理”,但無法使人明白“事情為什麼會是這樣,也沒有說明這些真理是如何被發現的”。因此,在具體的研究工作中,笛卡兒明顯喜歡分析的幾何而不是綜合的幾何。
對於《原本》的具體幾何內容,笛卡兒的態度是矛盾的,他覺得這種幾何只研究一些非常抽象而看來無用的問題,這跟他的強調實用的科學觀相悖;但那些幾何命題確實具有最大的簡明性,而又不必求助經驗,這正是他所追求的具有確實性的知識的典範。不過,笛卡兒顯然不滿足於書齋式的研究,而強調幾何與自然的結合,在《哲學原理》第4 章中,他明確提出:
關於物質事物的明白而清晰的概念有形相、體積、運動及其變化的各種法則,這些法則就是幾何和機械學的法則。
3. 笛卡兒擴大了幾何的研究物件
笛卡兒取消了歐氏幾何對構造性存在的苛刻限制,為擴大幾何的研究物件,從而為幾何研究自然現象開辟了道路。
笛卡兒在《幾何》中分析了古希臘人在作圖問題上的局限性,首次提出幾何的精確性最終依賴於推理,因此比歐氏尺、規復雜的工具,只要在機械學中允許使用,就應視為跟尺、規有同樣的精確性,它們作出的圖形,應該和圓與直線一樣有資格作為幾何的研究物件。他在給貝克曼的一封信中說,算術問題根據各自的特點加以解決,“有的問題用有理數解,另一些僅用到無理數,還有一些僅可以想象而無法解出”。在涉及連續量的問題中,他說:
某些僅用直線和圓就可解決,其他的要由別種曲線來解,不過要求它們由單一的運動給出,因此,可用新形式的各種作圖規畫出(我想這些新作圖規在幾何上的精確性不會亞於通常用來畫圓的圓規)。
為此,他提議增加一條用於作圖的假定:
兩條或兩條以上的線可以一條隨一條地運動,並由它們的交點確定出其他曲線。
笛卡兒還真的設計了一種帶滑槽和活動軸的作圖工具。
笛卡兒甚至主張尚無法用當時的工具畫出的曲線,也應被接納入幾何。他說: “還有另一些問題可以僅用各種互不從屬的運動產生的曲線來解,這些曲線肯定只能想象(如著名的割圓曲線),我想不出還有什麼問題不能用這樣的曲線來解決。”(見致貝克曼的信)
笛卡兒如此熱衷於擴大幾何曲線的領域,目的是明確的。他認為,提出更廣的曲線來研究是恰當的,這“將為實踐活動提供巨大的機會”。他本人就花了很大努力,利用幾何來研究光學現象。
笛卡兒能突破直到韋達為止人們一直堅守的以尺、規作圖決定幾何物件存在的防線,跟他的哲學思維似有聯系。他在《第一哲學沉思集》第六部分中,提出所謂“想象”和“純粹理解(或理會)”之間的區分:
當我想象一個三角形時,我不僅理會到這是一個由3 條線組成的形相,而且同時直觀到可以說由我的心智的能力或內視力提供出來的3 條線……可是如果我要去思想一個千邊形,我雖然明白地理會到這是一個由一千條邊組成的形相……可是無論如何不能想象出千邊形的一千條邊,即不能用我的心靈的眼睛看到那一千條邊。
這說明即使是最簡單的直線圖形,有些也是無法想象的,當然也不能具體地作圖了。那麼笛卡兒放棄尺、規作圖的限制是順理成章的了。