工科微分流形研究導論（簡體書）

本書是工科生(或工程技術人員)微分流形的入門教材，考慮到讀者的數學基礎，注重了數學表達的通俗性。本教材旨在讓讀者對微分流形這個重要的工具具備入門基礎，並引導讀者學習“新三高”數學，即：抽象代數、拓撲、泛函分析。全書共分為６章，前兩章是流形導出的物理背景和數學基礎；第３章介紹流形的基本概念，第４章介紹微分形式和張量，第５章是流形相關的李導數和李群，第６章是形式的微積分。本書可作為材料、化工、土木建築、人工智能等工程技術專業高年級本科生和研究生的教材和參考書，也可供給排水、機電、自動化等其他工程技術專業高年級本科生和研究生參考。

1 流形的數學基礎
1.1 空間Rn及其拓撲
1.2 映射
1.3 實分析
1.3.1 解析性
1.3.2 算符
1.3.3 換位子
1.4 群論
1.4.1 定義
1.4.2 李群
1.4.3 子群
1.4.4 同構和同態
1.5 小結
2 拓撲流形的來源和演變
2.1 微分流形的來源
2.2 流形概念的演變
2.3 小結
思考和練習題
3 微分流形
3.1 微分流形中重要的術語
3.1.1 拓撲流形
3.1.2 光滑映射基礎
3.1.3 微分流形
3.1.4 商流形
3.1.5 單位分解定理
3.2 切向量和切空間
3.2.1 歐氏空間的切向量
3.2.2 微分流形的切向量
3.2.3 切空間
3.2.4 餘切空間
3.2.5 切空間與餘切空間中的基變換
3.3 切映射
3.3.1 函數的拉回
3.3.2 切映射
3.3.3 切映射的局部坐標表示
3.3.4 餘切映射
3.4 向量和向量場
3.5 小結
思考和練習題
4 映射和張量
4.1 從線性變換談起
4.2 映射
4.2.1 雙線性函數與矩陣、二次型之間的關係
4.2.2 雙線性函數空間
4.2.3 線性空間的張量積及泛性（同調代數中一個重要性質）
4.2.4 線性對偶
4.2.5 映射的微分
4.2.6 反函數定理
4.2.7 秩定理
4.3 張量
4.3.1 基本定義
4.3.2 張量的計算
4.3.3 度量張量
4.3.4 流形上的度量張量場
4.4 小結
4.4.1 基本概念
4.4.2 主要結論
思考和練習題
5 李導數、李代數和李群
5.1 李導數的導出
5.1.1 矢量場和積分曲線
5.1.2 d/dλ算符的求冪
5.1.3 李括號、非坐標基和李代數
5.1.4 李拉曳
5.2 李導數
5.2.1 李導數的基本概念
5.2.2 李導數的性質
5.2.3 李導數的應用
5.2.4 李導數的一個應用實例：S2的生成元
5.3 李代數
5.3.1 李代數的基本定義
5.3.2 基靈矢量場
5.3.3 矢量場和粒子動力學的守恆量
5.3.4 軸對稱性
5.4 李群
5.4.1 抽象李群
5.4.2 李群的實例
5.5 李代數和它們的群
5.5.1 李括號的一般定義
5.5.2 覆蓋
5.5.3 SU（2）
5.5.4 SU（2）的冪
5.5.5 SO（3）的冪
5.5.6 SU（2）涵蓋SO（3）
5.5.7 拓撲結構
5.6 小結
思考和練習題
6 微分形式的代數和微積分計算
6.1 微分形式的代數
6.1.1 體積的定義
6.1.2 反對稱張量的記法和定義
6.1.3 微分形式
6.1.4 微分形式的運算
6.1.5 1-微分形式和狄拉克δ函數
6.1.6 1-微分形式的梯度和表示
6.1.7 基1-微分形式和1-微分形式的分量
6.1.8 指數記號
6.2 微分形式的積分計算
6.2.1 微分形式的外積（展開）
6.2.2 微分形式的限制
6.2.3 微分形式的場
6.2.4 手徵性與可定向性
6.2.5 體積和可定向流形上的積分
6.3 微分形式的代數（進一步展開）
6.3.1 N-矢量，對偶，符號εij…k
6.3.2 張量密度
6.3.3 廣義的克羅內克函數
6.3.4 行列式和εij
6.3.5 度量體積元素
6.4 微分形式的微分
6.4.1 外微分
6.4.2 外微分的常見例子
6.4.3 微分的外積運算
6.4.4 外微分式及其外微分式的外積運算
6.4.5 多變量積分中的積分微元代換公式
6.4.6 各階外微分式的外微分運算
6.4.7 牛頓-萊布尼茲公式，斯托克斯公式，格林公式高斯公式的統一描述
6.4.8 龐加萊引理及其逆
6.5 小結
思考和練習題
參考文獻