數學史鑒：數學歷史與數學成就

數學是中國古代科學中的一門重要學科，其發展源遠流長，成就輝煌。根據它本身的特點，可分為這樣幾個時期：先秦萌芽和漢唐奠基時期、古典數學理論體系建立的時期、古典數學發展的高峰時期和中西方數學的融合時期。
中國為世界四大文明古國之一，在數學發展的歷史長河中，創造出許多傑出成就。比如勾股定理的發現和證明、「?」和負數的發明和使用、十進位值制記數法、祖沖之的圓周率推算、方程的四元術等，都是中國古代數學領域的貢獻，在世界數學史上佔有重要地位。

勾股定理是一個基本幾何定理，是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。勾股定理是餘弦定理的一個特例。世界上幾個文明古國如古巴比倫、古埃及都先後研究過這條定理。中國是最早瞭解勾股定理的國家之一，被稱為「商高定理」。

中國是世界上公認的「?」的故鄉。在數學史上，「?」的發明和使用是費了一番周折的。中國發明和使用「?」，對世界科學作出了巨大的貢獻。

在商業活動和實際的生產生活當中，由於「?」不能正確表示出商人付出的錢數和盈利得來的錢數，因而又出現了負數。從古至今，負數在日常生活中有非常重要的作用。

中國早在西元前二世紀就認識到了負數的存在。人們在籌算板上進行算術運算的時候，一般用黑籌表示負數，紅籌表示正數。或者是以斜列來表示負數，正列表示正數。

中國古代數學領域湧現了許多學科帶頭人，是他們讓古典數學大放異彩。假如歷史上沒有人研究數學，就絕不會有《周髀算經》、有數學家，周王開井田、秦始皇建陵墓等一樣也做不成。

中國古代數學與西方抽象的哲學性思考不同，定律與規則的發現都是建立在日常生活、觸手可及的物品上，以解決實際問題為目標，充分顯示出中國人務實的農耕精神，具有鮮明的社會性和濃厚的人文色彩，為中國三千年的進步打下深厚的基礎，惠及今日。

序言
追根溯源--數學歷史
開創輝煌--數學成就
群星閃耀--數學名家

數學的萌芽與奠基
中國古代數學發轫於原始公社末期，當時私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，已開始用文字符號取代結繩記事了。
春秋戰國時期，籌算記數法已使用十進位值制，人們已諳熟九九乘法表、整數四則運算，並使用了分數。西漢時期《九章算術》的出現，為中國古代數學體系的形成造成了奠基作用。
那是春秋時期，有一個宋國人，在路上行走時撿到了一個別人遺失的契據，拿回家收藏了起來。他私底下數了數那契據上的齒，然後高興地告訴鄰居說：「我發財的日子就要來到了！」
契據上的齒就是木刻上的缺口或刻痕，表示契據所代表的實物的價值。
當人類沒有發明文字，或文字使用尚不普遍時，常用在木片、竹片或骨片上刻痕的方法來記錄數字、事件或傳遞訊息，統稱為「刻木記事」。
中國少數民族曾經使用刻木記事的，有獨龍族、傈僳族、佤族、景頗族、哈尼族、拉祜族、苗族、瑤族、鄂倫春族、鄂溫克族、珞巴族等民族。
如佤族用木刻計算日子和帳目；苗族用木刻記錄歌詞；景頗族用木刻記錄下村寨之間的糾紛；哈尼族用木刻作為借貸、離婚、典當土地的契約；獨龍族用遞送木刻傳達通知等。凡是通知性木刻，其上還常附上雞毛、火炭、辣子等表意物件，用以強調事情的緊迫性。
其實，早在《列子•說符》記載的故事之前，我們的先民在從野蠻走向文明的漫長歷程中，逐漸認識了數與形的概念。
出土的新石器時期的陶器大多為圓形或其他規則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個著地點，都是幾何知識的萌芽。說明人們從辨別事物的多寡中逐漸認識了數，並創造了記數的符號。
殷商甲骨文中已有十三個記數單字，最大的數是「三萬」，最小的陶器上的幾何圖案是「一」。一、十、百、千、萬，各有專名。其中已經蘊含有十進位值制的萌芽。
傳說大禹治水時，便左手拿著準繩，右手拿著規矩丈量大地。因此，我們可以說，「規」、「矩」、「準」、「繩」是我們祖先最早使用的數學工具。
商高 西周初期數學家。與周公旦同時期人。在西元前一千年發現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五。早於畢氏定理五六百年。其數學成就據《周髀算經》記載，主要有三方面：勾股定理、測量術和分數運算。
人們丈量土地面積，測算山高谷深，計算產量多少，粟米交換，制定曆法，都需要數學知識。在約成書於西元前一世紀的《周髀算經》中，記載了西周商高和周公答問之間涉及的勾股定理內容。
有一次，周公問商高：「古時做天文測量和訂立曆法，天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺寸去測量，請問數是怎樣得來的？」
商高略一思索回答說：「數是根據圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來。矩是根據乘、除計算出來的。」
這裡的「矩」原是指包含直角的作圖工具。這說明了「勾股測量術」，即可用三比四比五的辦法來構成直角三角形。
《周髀算經》並有「勾股各自乘，並而開方除之」的記載，這已經是勾股定理的一般形式了，說明當時已普遍使用了勾股定理。勾股定理是中國數學家的獨立發明。
《禮記•內則》篇提道，西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、御、書、數的訓練，作為「六藝」之一的「數」已經開始成為專門的課程。
春秋時期，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已普遍使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展具有劃時代的意義。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上也有相應的提高。
周公 姓姬名旦，又稱「周公旦」，也稱「叔旦」。是周代周文王的兒子，是西周初期傑出的政治家、軍事家和思想家。他曾先後輔助周武王滅商、周成王治國。他制定和完善宗法、分封等各種制度，使西周奴隸制得到進一步的鞏固。
戰國時期，隨著鐵器的出現，生產力的提高，中國開始了由奴隸制向封建制的過渡。新的生產關係促進了科學技術的發展與進步。此時私學已經開始出現了。
最晚在春秋末期時，人們已經掌握了完備的十進位值制記數法，普遍使用了算籌這種先進的計算工具。
秦漢時期，社會生產力得到恢復和發展，給數學和科學技術的發展帶來新的活力，人們提出了若干算術難題，並創造瞭解勾股形、重差等新的數學方法。
耿壽昌 西漢時期天文學家，理財家。漢宣帝時任大司農中丞，在西北設置「常平倉」，用來穩定糧價兼作國家儲備糧庫。後來被封為關內侯。精通數學，修訂《九章算術》，又用銅鑄造渾天儀觀天象，著有《月行帛圖》、《日月帛圖》、《月行圖》等，今皆不存。
同時，人們注重先秦文化典籍的收集、整理。作為數學新發展及先秦典籍的搶救工作的結晶，便是《九章算術》的成書。它是西漢丞相張蒼、天文學家耿壽昌收集秦火遺殘，加以整理刪補而成的。
《九章算術》是由國家編纂的一部官方性數學教科書，集先秦至西漢數學知識之大成，是中國古代最重要的數學經典，對兩漢時期以及後來數學的發展產生了很大的影響。
《九章算術》成書後，注家蜂起。《漢書•藝文志》所載《許商算術》、《杜忠算術》就是研究《九章算術》的作品。東漢時期馬續、張衡、劉洪、鄭玄、徐岳、王粲等通曉《九章算術》，也為之作注。這些著作的問世，推動了稍後的數學理論體系的建立。
《九章算術》的出現，奠定了中國古代數學的基礎，它的框架、形式、風格和特點深刻影響了中國和東方的數學。

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周成王時，在周公的主持下，人們對以往的宗法傳統習慣進行補充、整理，制定出一套以維護宗法等級制度為中心的行為規範以及相應的典章制度、禮節儀式。周「制禮作樂」的內容包括禮、樂、射、御、書、數。成為貴族子弟教育中六門必修課程。
其中的「數」，包括方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、盈不足、旁要九個部分，稱為「九數」。它是當時學校的數學教材。九數確立了漢代《九章算術》的基本框架。