有限因變量模型中的參數估計（簡體書）

針對有隨機效應的多重二元響應模型，研究了給定響應變量時模型的逆回歸性質，基於該理論給出了模型的逆回歸估計，所得到的回歸係數向量的估計只相差一個正的常數乘積。進一步給出了模型的假設檢驗法。對於隨機效應的多元秩序模型，也得到了回歸係數的逆回歸估計。對於多重二元響應Probit模型，給出了參數的漸近有效估計，只需一步（獲少數幾步）迭代可以得到參數的漸近有效估計對固定效應的LDV模型，假定擾動項分佈為I型極值分佈，應用極大似然方法估計參數，並將方法應用于多項選擇模型，給出了應用實例。本書內容理論與實踐相結合，各章均有實例或計算機模擬研究。

馬建軍，男，瀋陽理工大學副教授，1999年開始從事高校的數學教學與科研工作。2001年―2003年，北京理工大學大學數學系在職攻讀碩士研究生，2003―2007年，北京理工大學數學系在職攻讀博士研究生，獲理學博士學位，研究方向為概率論與數理統計。迄今為止，共發表學術論文14篇，其中三大檢索５篇。承擔各類研究課題6項，其中主持遼寧省教育廳研究課題一項，參研國家自然科學基金課題二項，主持博士啟動基金一項。2009年獲遼寧省自然科學學術成果獎3等獎一項，2010年獲瀋陽市自然科學學術成果獎3等獎一項。參與遼寧省研究生精品課《數理統計與隨機過程》建設項目，主持研究生教研項目一項。2012年獲瀋陽理工大學教學基本功大賽一等獎，2016年獲瀋陽理工大學優秀主講教師稱號。

有限因變量模型（Limited Dependent Variable Models，LDV模型）是具有潛在變量的一大類模型的統稱。根據模型中的響應變量的不同類型可以將模型分為多項選擇模型、多元秩-序模型、多重二元響應模型等。有限因變量模型是典型的高維數據模型，並且在模型中具有潛在變量，維數問題給有限因變量模型中的參數估計帶來了很大的困難。
為了解決高維數據模型中的參數估計問題，D. L. McFadden將蒙特卡羅模擬方法應用於有限因變量模型的參數估計，相繼提出了模擬矩方法，模擬極大似然方法等模擬估計方法。V. A. Hajivassiliou在統計學手冊中對有限因變量模型的模擬估計方法進行了系統的闡述。模擬估計方法計算量大、操作複雜，難以被非專業人員所應用。
李克昭提出的充分降維的理論方法，如切片逆回歸方法（Sliced Inverse Regression）、基本海森方向（Principal Hessian Direction），可以建立降維模型來估計中心降維空間的基向量，從而在高維數據的回歸問題中進行大規模的數據降維。切片逆回歸方法在進行數據降維時，有計算簡單、估計效率高等優點,甚至有人提出來切片逆回歸方法會像最小二乘法一樣被廣泛地應用。
本書引入了數據降維的思想方法來構造有限因變量模型中回歸係數的估計。根據有限因變量模型的特點，我們給出了一種新的逆回歸方法求有限因變量模型中回歸係數的估計，方法有效地避免了維數問題，並且有以下幾個優點：
（1）所構造的估計量是具有顯式表達式的估計量；
（2）證明了估計量具有漸近正態性；
（3）推導出了回歸係數估計的漸近分佈；
（4）基於回歸係數估計的漸近分佈構造了模型相關的假設檢驗。
除了應用逆回歸方法之外，本書中也應用極大似然方法構造了多重二元響應Probit模型中參數的漸近有效估計和多元秩序Logit模型中回歸係數的估計。在這兩個模型中所構造的估計也有效地避免了維數問題。
本書的內容安排如下，在第1章的引言中詳細介紹了有限因變量模型的定義、研究方法及發展現狀。第2章構造了多重二元響應模型的回歸係數的估計。第3章構造了了多元秩-序模型回歸係數的估計。第4章構造了廣義多項選擇模型回歸係數的估計。第5章構造了多重二元響應Probit模型參數的漸近有效估計。第6章構造了多元秩序Logit模型回歸係數的極大似然估計。每一章均進一步研究了估計的漸近分佈及假設檢驗問題。本書彙聚了作者對有限因變模型相關理論的研究成果。本書的出版還要感謝遼寧省教育廳科學研究一般項目（項目編號：LG201623）的大力支持。
最後，由於作者水平有限，書中難免有錯誤和不足的地方，歡迎讀者批評指正。

馬建軍
2018年6月

第1章 緒論 1
1.1 LDV模型的定義 1
1.1.1 模型的定義 1
1.1.2 模型的統計推斷問題 3
1.2 LDV模型中參數估計問題的研究現狀 4
1.3 逆回歸方法 6
1.3.1 逆回歸的總體性質 6
1.3.2 分片逆回歸估計（SIR） 7
1.3.3 SIR的大樣本性質 8
1.4 準備知識： ?方法 9
1.4.1 多元 ?方法 9
1.4.2 向量估計函數的 方法 11
1.5 本書提要 12
第2章 多重二元響應模型回歸係數的估計 14
2.1 多重二元響應模型的逆回歸性質 14
2.2 多重二元響應模型回歸係數的逆回歸估計 17
2.3 估計的漸近正態性 18
2.4 假設檢驗 30
2.5 模擬研究 31
2.5.1 點估計的模擬研究 31
2.5.2 線性假設的檢驗 35
2.5.3 回歸變量的選擇 37

第3章 多元秩?序模型中回歸 係數的估計 39
3.1 多元秩?序模型的逆回歸性質 39
3.2 回歸係數的估計 41
3.3 相合性 42
3.4 模擬研究 43
3.5 回歸係數的Bootstrap檢驗 47
3.5.1 回歸係數的線性假設檢驗 47
3.5.2 假設檢驗的模擬實驗 50
第4章 廣義多項選擇模型中回歸係數的估計 52
4.1 廣義多項選擇模型 52
4.2 廣義多項選擇模型中回歸係數的估計 53
4.3 漸近正態性 54
4.4 模擬研究 68
4.4.1 點估計 68
4.4.2 假設檢驗 70
第5章 多重二元響應Probit模型的漸近有效估計 73
5.1 多重二元響應Probit模型 73
5.2 邊際似然 73
5.3 Fisher信息陣 78
5.4 漸近有效估計 79
5.5 模擬結果 87
第6章 多元秩序Logit模型回歸係數的極大似然估計 90
6.1 固定影響屬性的多元秩序模型 90
6.2 多元秩序Logit模型的極大似然估計 91
6.2.1 多元秩序Logit模型 91
6.2.2 回歸係數的極大似然估計 92
6.2.3 模擬研究 94
6.3 多元秩序Logit模型的假設檢驗 96
6.3.1 部分極大似然估計 97
6.3.2 極大似然估計的漸近正態性及相關結論 98
6.3.3 檢驗統計量 100
6.3.4 假設檢驗的模擬研究 101
6.4 實例分析 102
參考文獻 105