計算固體力學（簡體書）

計算固體力學是以固體力學和應用數學為基礎，以計算機為工具，用數值方法解決各種工程和科學中複雜問題。在計算機仿真高度發展的今天，成熟的數值方法已通過大型軟件成功應用在工程之中，同時，新的數值計算方法還不斷地湧現。隨著力學計算能力的提高，用力學理論解決設計問題成為主要途徑，而試驗手段成為次要的了；力學加電子計算機將成為工程設計的主要手段。為了適應人才培養的需要，拓寬基礎，擴大知識面，增強學生的適應能力。作者基於十年來教學與科研工作，針對近代計算技術和計算方法的迅猛發展，注重於一系列基本概念、思路、數學手段和技巧，以及有關重要的力學基本原理，並參考吸收了近年來一些計算固體力學教材的優點，詳略得當地編寫了"計算固體力學"。

目錄
前言
緒論1
思考4
第1章加權餘量法5
1.1微分方程的等效積分5
1.2加權餘量法的基本原理6
1.3離散的伽遼金弱形式18
思考21
第2章彈性力學平面問題有限元法22
2.1位移模式23
2.2單元應變矩陣27
2.3單元應力矩陣28
2.4單元剛度矩陣29
2.5載荷移置33
2.6整體分析34
2.7誤差及收斂性38
2.8非協調元與雜交元39
思考40
第3章變換單元42
3.1等參變換42
3.2裂紋尖端奇異單元51
3.3無限域邊界的處理58
3.4複合單元59
思考60
第4章工程中常用的結構單元61
4.1桿單元與梁單元62
4.2板殼單元69
4.3軸對稱單元78
4.4空間單元82
思考88
第5章動力學問題的有限元法89
5.1單元的動力學方程89
5.2單元的質量矩陣91
5.3單元的阻尼矩陣92
5.4結構的動力學方程93
5.5模態分析94
5.6基於時域法的瞬態響應分析97
5.7基於頻域法的隨機振動與疲勞分析104
思考112
第6章幾何非線性問題的有限元法113
6.1非線性方程組的一般解法114
6.2幾何非線性問題的單元平衡方程118
6.3大位移問題增量形式的解法120
6.4非線性接觸的處理方法123
思考127
第7章材料非線性問題的有限元法128
7.1彈塑性的本構關係128
7.2彈塑性有限元分析133
7.3蠕變有限元分析135
思考138
第8章熱分析有限元法139
8.1熱傳導方程139
8.2穩態導熱有限元方程140
8.3瞬態導熱有限元方程143
8.4熱應力分析146
思考147
第9章邊界元法148
9.1邊界元法概述148
9.2邊界積分方程150
9.3離散化邊界元方程156
9.4快速多極算法160
思考163
第10章無網格法164
10.1無網格法概述164
10.2無網格形函數的構造方法166
10.3系統離散方程的建立170
思考174
第11章離散元法175
11.1離散元法的基本思想176
11.2離散元法的單元模型176
11.3離散元法的數值實現177
思考179
參考文獻180
附錄有限元程序181

緒論
固體力學主要研究在各種外界因素作用下可變形體內部各點所產生的位移、皮力。應變以及破壞等的媒律：假設研究對像中的位移、應變、應力等為空間或時間的連續函數，借助於數學方法將其研究問題轉化成相應的偏微分方程邊值向題過初邊值問題。用微分方程來描述工程技術問題是科學的一大成果，其求第一直貫穿於固體力學的發展階段。
固體力學遇到的數理模型是複雜多樣的，其計算方法已經歷了三個發展時期解析方然，古典數值方然和現代數值方法。
在固體力學發展初期，科學家針對基本方程和邊界條件的定解問題提出了許多解析方法，如應力函數法，試湊法(反道和半逆法)及復變函數法等，這些方法所解決的主要是一些簡單的彈性力學問題.穩定問題及後來出現得極少的整性力學問題。除了少數簡單圖體力學問題外，解析方法是不可行的。隨著固體力學白身的發展及實際工程問題的出現，許多複雜的問題求解開始逐漸引入近似的求解方法。
與傳統解析方法對數學的完美要求相比，近似解法更注重在工程問題中的實用性。古典數值方法在數學形式上就是利用近似解代替精確解，近似解不一定嚴格滿足基本方程成邊界條件，即放鬆了對解的限制。歷史上*早採用的數值方法是有限差分法，從微分方程出發，將連續的定解區城用有限個離散點構成的網格來代替，用奉勒展開式將原力程和定解條件中的微商用不同時間成空間點差商來近似把原微分方程和邊界條件的求解轉變為求解一個線性代數方程組，從而得到原問題在離散點上的近似解，再利用插值方法便可以得到整個區城上的近似解。另一種近似方法是某於等效和分的數值方法。倒如，瑞士科學家里茲於1908年尊里茲法作為一種有效方法提出.基於變分法(積分方程)中*小勢能原理或虛位移原理，選擇一個滿足位移邊界條件的近似函數，對泛畫求駐值，得到一組線性代數方程，從而獲得問題的近似解。另外，蘇聯數學家伽遼疊於1915年發明了伽遼金法，採用微分方程對應的等效積分弱形式，選擇滿足位移邊界條件(與力邊界條件)的近似函數，並把近似函數中基所數或形函數為權函數，得到一組線性代做方程，可得問題的近似解。這種方法屬於加權餘量法。里茲法和伽遼金法均用有限白山座體系近似代替了無限自由度體系，萵者在某個特定的條件下是等效的。有限差分法.裡旅法，伽遼金法等近似解法的出現表明固體力學從初期的單純理論研究逐新轉入到實際工程應用之中。但是，還存在不滿意之處：有限差分法局限於規則的差分網格，如正方形矩形或正三角形網格等；里茲法和伽遼金法選擇的近似函數必須調足整個求解區域。當研究對像是一個複雜的結構或具有復雜幾何形狀，近似函數不易得到滿足；所以古典數值方法對於模擬複雜邊界的二維或三維問題有一定難度。
現代數值方法則拋棄了這種在整個求解域上選取近似函數的思想。求解模型中採用了“離散化"的思想，近似函數僅雷在局部滿足微分方程。基於變分法成加權佘量去，提出了流行的有限單元法，邊界單元法，無網格法等。
20世紀60年代，計算機技術的出現和應用為標誌著國體力學計算的一個飛躍，使圖體力學的現代數值方法進人了前所未有的深度與廣度。電子計算機應用的飛速發展，以及計算方法的不斷改進和完善，促成了計算固體力學學科的誕生。
計算固體力學是採用離散化的數值方法，並以電子計算機為工具，求解固體力學中各類問題的學科。借助於計算機，有限元法與有限差分鐘相輔相成，已成為現代工程計算中不可缺少的強有力工具。但是.有限差分法只看到了節點的作用，沒有註意到連接節點的單元所起到的作用；有限元法吸取了有限差分法中離敏化處理的內核，又繼承了空分計算中選擇插值函數井對區城進行積分的合理方法，並且充分估計了單元對節點參數的貢獻，使計算結果更為精確。因而。在工程計算中，以有限元法為核心的現代數值方法得到了廣泛的成用。
計算固體力學應用到的工程問題及其求解的特點：
(1)靜力學問題。離散化後歸結為求解線性代數方程組。常見於求解結構的應力和變形。
(2)特徵值問題。離散化後歸增為求解矩陣的特徵值和特徵向量問題，常見於求解結構成系統的頻率和振皇，穩定極限載荷和屈曲形狀。
(3)動態響應問題，離散化後得到一常微分方座組，可直接數值機分成利用先求得特徵向量將它轉換為一組互不耦合的常微分方程，再進行時同積分求解。常見於求解結構的振動和彈性波的傳播。
(4)非線性問題。例如，黏彈(塑)性等物理非線性問題，大變形和後屈曲等幾何非線性問題，一般採用增量算法將它們轉化為一係到線性問題求解。
(5)含裂紋的非連續問題。可採用奇異單元模擬裂紋尖端的應力場。
(6)複合材料和結構的非均質問題。目前，對此類問題求解還不完著，正在發展之中。
(7)多場耦合問題。對此類問題求解也在發展之中。
計算固體力學研究和應用的領城不斷擴大，隨計算機技術的發展，解題能力成數量級地提高。例如，借助計算機，已能對整個“鳥巢”、整艘航空母艦，或整架飛機等工程問題進行詳細分析，並得到滿意結果。
計算固體力學的發展，既有其學科自身的要求，也有實際工程問題的推動。1997年9月，錢學森先生給予清華大學力學系贈言：“隨著力學計算能力的提高，用力學理論解決設計何題成為主要途徑，而試驗手段成為次要的了。由此展望21世紀，力學加電子計算機將成為工程設計的主要手段。”計算固體力學的發展方向是：在數值方法方面，利用多種數值方法的優點，取長補短，提高大型系統的非線性分析.隨機分析.*合分析等算法的精度和效率，改進其穩定性和收效性；在應用方面，充分利用計算機圖像、數據庫，人工智能等技術，並可與優化設計，可靠性設計等相結合，發展多功能，自動化的道用成專用工程軟件系統，將突破經典力學的植架，繼而滲人到諸如生物力學，量子力學等領城，形成新的交叉學科。
本書將討論線性，材料非線性，幾何非線性.動力學問題和熱分析向題；涉及加權餘量鐵，有限元法，邊界元法，無網格法和離散元法等，主要介紹這些方法的基本原理和概念。鑑於研究生曾學過“教值分析"，“線性代數"與“彈性理論"，為了避免重複，不再整述有限益分法，矩陣算法和變分法。
著名的有限元法，邊界元法既可以從變分原理推出，也可以用加權餘量法推出。已經證明，加權餘量法用於存在泛函極值的微分方程與泛函級值是等價的，遺憾的是，至今還有一部分散分方程沒有找到對應的泛函。換句話說.直接針對原始微分方程推導出來的加權餘量法比變分法重有優勢，這是因為它也適用於不能給出近(需對其求板小值)的事選間以，既然加權餘量法包容了壹分原理中泛函極值.有限元法.邊界元法等的*普遍原理，它更容易推廣應用到不同微分方程的其他向題，所以本書以加權餘量法開篇。有限元法是當代計算固體力學應用的核心，著量*多。邊界元法是對有限元法的補充，二者取長補姬，其期合計算方法將來也許是個發展方向，故將邊界元法作為單獨章節進行核心技術的介紹。目前，無網格法是計算圖體力學研究領城的前沿熱點，出生較晚，有特成長，甚至有些概念的“名字”還在爭議之中。無網格法有許多優點，甚至有專家預測無網格法將成為繼有限元法之後新一代的數值方法。所以，安排在邊界元法章節之後，單獨介留無網格然，便於啟迪這方面的研究。
不論有限元法.邊界元法，還是無網格法，均是基於連續介質力學基礎之上，在非連續介團力學領城的計算又如何呢？離散元法就是該領域敗值計算方法的典型代表，主要用來模擬大量顆粒在給定條件下如何運功。在計算機的輔助下。離散元法甚至可以完成模擬“介於流體和固體之間的顆粒或者粉末”受力與運動分析。離散元法的應用已擴展到連續介質及連續介質向非連統介質轉化的力學問題。例如。衝擊、侵徹等動載荷作用下材料的破壞。為了知識點的全面性，在計算固體力學的簡尾，把離散元法作為其擴充部分。
思考
1.有限益分法的優缺點各是什麼？
2.計算固體力學的生命力如何？
3.回憶虛位移原理，虛功原理，*小勢能原理，里茲法。
4.什麼是自然變分原理和廣義變分原理？
彈性力學*小勢能原理和*小余能原理都屬於自然變分原理。在自然變分原理中試探函數事先應滿是規定的條件。例如，*小勢的原理中位移試探函數應事先滿足幾何方程和給定的位移邊界條件；*小余能原理中應力試探函數應事先滿足平衡方程和給定的外力邊界條件。如果這些條件未事先滿足，則需要利用一定的方法將它們引入泛函。這類變分原理稱為的束變分原理，或廣義變分原理。利用廣義變分原理可以擴大選擇試探函數的範圈，從而提高利用變分原理求解數學物理問題的能力。
第1章加權餘量法
1.1微分方程的等效積分
應用科學和工程問題往往可以歸結為：在一定邊界條件，初始條件下，求解問題的控制微分方程(組)。微分方程(組)可以是常微分方程，偏微分方程，線性的或非線性的。例如，某一應用科學問題中的控制微分方程式及邊界條件分別為
式中，為待求的函數；A、B為微分算子；為不的已知函數。
微分方程組(1-1-1)的等效積分形式
式中為為任意函數。也稱為權函數。由於前響為任意函數上式與微分形式(1-1-1)是完全等價的。
假設微分方程組(1-1-2)中A的微分算子為x階，對微分方程的等效積分形式(1-1-2)進行次分部積分，得到微分方程組(1-1-1)等效積分弱形式
分部積分後，微分算子EF為階，微分算子C，D為m階。將微分方程轉化為弱形式，這個弱並不是滿化對方程解的結果，而是弱化對解方程的要求，具體是弱化待求函數的連續性，當然這種購化是以提高權函數的連續性為代價的。權函數為選擇的已知函數，能夠滿足分部職分方法對權函數連續性要求。這種弱化摸來了以下好處：
(1)降低對未知函數的連續性的要求，從而可以在更廣泛的范國內選擇試深函數；
(2)對連續介質問題，便於有限元構造單元和插值函數；
(3)在物理上更符合實際問題對來如函數連續性的要求。
如果在微分方程的等效機分弱形式中，對場函數和任意權函數的連續性要求是相同的，則稱為微分方程的對稱等效機分弱形式；如果對場函數和任意權函數的連續性要求是不相同的，則稱為微分方程的非對稱等效積分場形式。
以二維穩態熱傳導問題的微分方程和邊界條件等效的積分弱形式(1-1-4)進行說明。