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商品簡介
作者簡介
名人/編輯推薦
目次
書摘/試閱
商品簡介
《2015年考研數學高分復習全書（數學一、二）》編寫特點如下：
一、考試內容提要——對照最直接
明確考試內容與要求，才能有的放矢。本書在每章的第一節對最新考研大綱要求的基本概念、基本原理和基本方法都做了詳盡的講解，并指出注意事項。作者認為這對于考前進行全面、系統的復習是非常必要的。
二、重要公式與結論（補充注釋與重要結論）——總結最完善
針對每一章中的重點、難點以及容易混淆的概念進行詮釋，并歸納總結每一章的重要定理、公式和結論，特別是對一些重要的中間結論或者隱含條件進行了歸納總結。目的在于希望考生通過系統復習后，一見到此類問題，就能立刻聯想到考題實際期望考查的是哪一方面的知識點，從而使考生站在一個更高的層次上去分析問題、解決問題，達到認識和理解的新境界。考生是否具備了這種能力，對考研能否取得成功和獲得高分是至關重要的。
三、典型題型與例題分析——題型最豐富
對數學課程來說，題目是無窮的，但題型是有限的。作者通過精心編制和設計許多新題型，使得本書幾乎囊括了考研數學所涉及的所有題型，并逐一進行分析，給出了解題方法和規律。另外，借助于許多重要經典例題的評注，本書能夠幫助讀者更好地把握典型例題的典型處理方法和各種可能的延伸，從而使讀者能夠舉一反三，觸類旁通。
四、習題精選與詳細解答——選題最典型
要想真正掌握一門課程內容并通過相關考試，做一定數量的習題是必不可少的。為此，作者按照填空題、選擇題和解答題的順序對應各種題型選編了相當數量的習題，供讀者模擬練習之用，希望讀者盡可能獨立地完成習題。
一、考試內容提要——對照最直接
明確考試內容與要求，才能有的放矢。本書在每章的第一節對最新考研大綱要求的基本概念、基本原理和基本方法都做了詳盡的講解，并指出注意事項。作者認為這對于考前進行全面、系統的復習是非常必要的。
二、重要公式與結論（補充注釋與重要結論）——總結最完善
針對每一章中的重點、難點以及容易混淆的概念進行詮釋，并歸納總結每一章的重要定理、公式和結論，特別是對一些重要的中間結論或者隱含條件進行了歸納總結。目的在于希望考生通過系統復習后，一見到此類問題，就能立刻聯想到考題實際期望考查的是哪一方面的知識點，從而使考生站在一個更高的層次上去分析問題、解決問題，達到認識和理解的新境界。考生是否具備了這種能力，對考研能否取得成功和獲得高分是至關重要的。
三、典型題型與例題分析——題型最豐富
對數學課程來說，題目是無窮的，但題型是有限的。作者通過精心編制和設計許多新題型，使得本書幾乎囊括了考研數學所涉及的所有題型，并逐一進行分析，給出了解題方法和規律。另外，借助于許多重要經典例題的評注，本書能夠幫助讀者更好地把握典型例題的典型處理方法和各種可能的延伸，從而使讀者能夠舉一反三，觸類旁通。
四、習題精選與詳細解答——選題最典型
要想真正掌握一門課程內容并通過相關考試，做一定數量的習題是必不可少的。為此，作者按照填空題、選擇題和解答題的順序對應各種題型選編了相當數量的習題，供讀者模擬練習之用，希望讀者盡可能獨立地完成習題。
作者簡介
主編黃先開曹顯兵
副主編胡立清劉喜波，均為中國科學院數學博士，知名高校教授，在學術界和科研上貢獻突出，在考研輔界有很好的口碑和群眾基礎，授課各具特色，深受考生歡迎。各自均出版有三部專著和多篇重要學術論文，并主編考研圖書多部。
副主編胡立清劉喜波，均為中國科學院數學博士，知名高校教授，在學術界和科研上貢獻突出，在考研輔界有很好的口碑和群眾基礎，授課各具特色，深受考生歡迎。各自均出版有三部專著和多篇重要學術論文，并主編考研圖書多部。
名人/編輯推薦
一線名師授課底本，經典講解全新奉上，全面解析大綱考試內容與考試要求，清晰明確，一目了然，總結重要公式與結論，幫助考生常記不忘，歸納典型題型講解內容，例題分析、詳解、評注環環相扣，每章配精編習題，有針對性地演練、溫習。
目次
目錄
第一部分高等數學
第一章函數、極限與連續
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一函數關系的建立
題型二考查函數的特性
題型三求函數極限
題型四求數列極限
題型五求解含參變量的極限
題型六已知極限，求待定參數、函數值、導數及函數
題型七無窮小比較
題型八判斷函數的連續性與間斷點的類型
題型九確定方程f(x)=0的根
題型十綜合題
習題精選一
習題精選一參考答案
第二章導數與微分
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一利用導數定義解題
題型二求分段函數的導數
題型三導數在幾何上的應用
題型四變限積分求導
題型五利用導數公式與運算法則求導
題型六綜合題
習題精選二
習題精選二參考答案
第三章微分中值定理與導數的應用
§1知識要點精講
§2典型題型與例題分析
題型一證明存在ξ,使f(ξ)=0
題型二證明存在ξ,使f(n)(ξ)=0(n=1,2,…)
題型三證明存在ξ,使G(ξ,f(ξ),f′(ξ)，…)=0
題型四直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明
題型五雙介值問題,要證存在ξ,η使G(f′(ξ),f′(η),…)=0
題型六證明存在ξ，使得f(n)(ξ)=k(k≠0)
題型七有關介值的不等式證明
題型八隱含介值問題
題型九不等式的證明
題型十利用導數證明函數恒等式
題型十一利用導數判別函數的單調性
題型十二利用導數研究函數的極值與最值
題型十三曲線的凹凸性與拐點
題型十四求曲線的漸近線
題型十五函數作圖
題型十六求曲率與曲率半徑
題型十七綜合題
習題精選三
習題精選三參考答案
第四章一元函數積分學
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一計算不定積分
題型二不定積分綜合題
題型三有關定積分的概念與性質的問題
題型四利用基本方法（牛頓萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法）
計算定積分
題型五對稱區間上的積分
題型六涉及變限積分的問題
題型七定積分循環計算法
題型八幾類特殊積分問題
題型九反常（廣義）積分的計算
題型十定積分等式的證明
題型十一定積分不等式的證明
題型十二定積分的幾何(物理)應用
題型十三綜合題
習題精選四
習題精選四參考答案
*第五章向量代數與空間解析幾何
§1知識要點精講及主要公式與結論
§2典型題型與例題分析
題型一與向量代數有關的計算問題
題型二求平面與直線方程
題型三討論平面與直線的位置關系
題型四求對稱點、投影點及投影曲線
題型五綜合題
習題精選五
習題精選五參考答案
第六章多元函數微分學
§1知識要點精講及主要公式與結論
§2典型題型與例題分析
題型一基本概念題
題型二求復合函數的偏導數或全微分
題型三求隱函數的偏導數或全微分
題型四已知偏導數，反求函數關系
題型五多元函數的極值和最值問題
*題型六求多元函數的梯度或方向導數
*題型七多元函數微分學的幾何應用
題型八綜合題
習題精選六
習題精選六參考答案
第七章重積分
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一考查二重積分的基本概念與性質
題型二二重積分的基本計算方法
題型三利用重積分的對稱性簡化計算
題型四交換積分次序
題型五分區域函數的二重積分
題型六反常（廣義）二重積分
*題型七直角坐標系下計算三重積分（適用于方形區域）
*題型八利用“先二后一”法(適用于旋轉體類型的區域)
*題型九利用柱面坐標(適用于區域含柱形體的情形)
*題型十利用球面坐標(適用于區域含球形的情形)
題型十一綜合題
習題精選七
習題精選七參考答案
*第八章曲線、曲面積分
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一對弧長的曲線積分的計算方法
題型二對坐標的曲線積分的計算方法
題型三對面積的曲面積分的計算方法
題型四對坐標的曲面積分的計算方法
題型五求曲面的面積
題型六求向量場的散度及旋度
題型七綜合題
習題精選八
習題精選八參考答案
*第九章無窮級數
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一判定常數項級數的收斂性
題型二求函數項級數的收斂域、冪級數的收斂半徑和收斂區間
題型三求常數項級數的和及函數項級數的和函數
題型四冪級數的展開
題型五傅里葉級數的展開
題型六綜合題
習題精選九
習題精選九參考答案
第十章常微分方程
§1知識要點精講
§2基本方法
§3典型題型與例題分析
題型一可化為一階線性微分方程的求解及全微分方程求解
題型二可化為變量可分離微分方程的求解
題型三可降階的高階微分方程
題型四高階線性微分方程和可化為二階常系數線性微分方程的求解
題型五綜合題與應用題
習題精選十
習題精選十參考答案
第二部分線性代數
第一章行列式
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一利用行列式的性質與行(列)展開定理計算行列式
題型二按行(列)展開公式求代數余子式
題型三利用多項式分解因式計算行列式
題型四抽象行列式的計算或證明
題型五n階行列式的計算
題型六利用特征值計算行列式
題型七綜合題
習題精選一
習題精選一參考答案
第二章矩陣
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一求數值型矩陣的逆矩陣
題型二A為抽象矩陣，討論A的可逆性
題型三考查矩陣運算的特殊性
題型四解矩陣方程
題型五求方陣A的高次冪An
題型六利用伴隨矩陣A*進行計算或證明
題型七有關初等矩陣的問題
題型八求矩陣的秩
題型九綜合題
習題精選二
習題精選二參考答案
第三章向量
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一判定向量組的線性相關性
題型二把一個向量用一組向量線性表示
題型三求向量組的秩
題型四有關矩陣秩的命題
*題型五有關向量空間的基本概念題
題型六綜合題
習題精選三
習題精選三參考答案
第四章線性方程組
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一基本概念題(解的判定、性質、結構)
題型二含有參數的線性方程組的求解
題型三抽象線性方程組求解
題型四討論兩個方程組的公共解
題型五討論兩個方程組解之間的關系
題型六已知方程組的解，反求系數矩陣或系數矩陣中的參數
題型七有關基礎解系的討論
題型八有關AB=0的應用
題型九綜合題
習題精選四
習題精選四參考答案
第五章特征值與特征向量
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一數值型矩陣特征值、特征向量的計算
題型二計算抽象矩陣的特征值
題型三特征值、特征向量的逆問題
題型四矩形相似與對角化的討論
題型五有關實對稱矩陣的命題
題型六特征值、特征向量與相似矩陣的應用問題
題型七有關特征值、特征向量的證明問題
題型八綜合題
習題精選五
習題精選五參考答案
第六章二次型
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一基本概念題(二次型的矩陣、秩、正負慣性指數)
題型二化二次型為標準形
題型三有關正定二次型(正定矩陣)命題的證明
題型四綜合題
習題精選六
習題精選六參考答案
*第三部分概率論與數理統計
第一章隨機事件與概率
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一事件的表示和運算
題型二有關概率基本性質的命題
題型三古典概型與幾何概型的概率計算
題型四事件獨立性的命題
題型五條件概率與積事件概率的計算
題型六全概率公式和貝葉斯公式概型
題型七伯努利試驗
題型八綜合題
習題精選一
習題精選一參考答案
第二章隨機變量及其分布
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一有關隨機變量與分布的基本概念題
題型二求隨機變量的分布律與分布函數
題型三已知事件發生的概率，反求事件中的未知參數
題型四利用常見分布求相關事件的概率
題型五求隨機變量函數的分布
題型六綜合題
習題精選二
習題精選二參考答案
第三章多維隨機變量及其分布
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一聯合分布、邊緣分布與條件分布的計算
題型二已知部分分布律或邊緣分布，求聯合分布律或相關參數
題型三利用已知分布求相關事件的概率
題型四隨機變量函數的分布
題型五隨機變量的獨立性的討論
題型六綜合題
習題精選三
習題精選三參考答案
第四章隨機變量的數字特征
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一期望和方差的計算
題型二隨機變量函數的數學期望與方差
題型三有關協方差、相關系數、獨立性與相關性的命題
題型四有關數字特征的應用題
題型五綜合題
習題精選四
習題精選四參考答案
第五章大數定律和中心極限定理
§1知識要點精講
§2典型題型與例題分析
題型一有關切比雪夫不等式的命題
題型二有關大數定律的命題
題型三有關中心極限定理的命題
題型四綜合題
習題精選五
習題精選五參考答案
第六章數理統計的基本概念
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一求樣本容量n，或與樣本均值和樣本方差S2有關的概率
題型二求統計量的數字特征
題型三求統計量的分布
習題精選六
習題精選六參考答案
第七章參數估計
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一求矩法估計和最大似然估計
題型二估計量評選標準的討論
題型三參數的區間估計
題型四綜合題
習題精選七
習題精選七參考答案
第八章假設檢驗
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一正態總體未知參數的假設檢驗
題型二有關兩類錯誤的命題
習題精選八
習題精選八參考答案
第一部分高等數學
第一章函數、極限與連續
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一函數關系的建立
題型二考查函數的特性
題型三求函數極限
題型四求數列極限
題型五求解含參變量的極限
題型六已知極限，求待定參數、函數值、導數及函數
題型七無窮小比較
題型八判斷函數的連續性與間斷點的類型
題型九確定方程f(x)=0的根
題型十綜合題
習題精選一
習題精選一參考答案
第二章導數與微分
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一利用導數定義解題
題型二求分段函數的導數
題型三導數在幾何上的應用
題型四變限積分求導
題型五利用導數公式與運算法則求導
題型六綜合題
習題精選二
習題精選二參考答案
第三章微分中值定理與導數的應用
§1知識要點精講
§2典型題型與例題分析
題型一證明存在ξ,使f(ξ)=0
題型二證明存在ξ,使f(n)(ξ)=0(n=1,2,…)
題型三證明存在ξ,使G(ξ,f(ξ),f′(ξ)，…)=0
題型四直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明
題型五雙介值問題,要證存在ξ,η使G(f′(ξ),f′(η),…)=0
題型六證明存在ξ，使得f(n)(ξ)=k(k≠0)
題型七有關介值的不等式證明
題型八隱含介值問題
題型九不等式的證明
題型十利用導數證明函數恒等式
題型十一利用導數判別函數的單調性
題型十二利用導數研究函數的極值與最值
題型十三曲線的凹凸性與拐點
題型十四求曲線的漸近線
題型十五函數作圖
題型十六求曲率與曲率半徑
題型十七綜合題
習題精選三
習題精選三參考答案
第四章一元函數積分學
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一計算不定積分
題型二不定積分綜合題
題型三有關定積分的概念與性質的問題
題型四利用基本方法（牛頓萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法）
計算定積分
題型五對稱區間上的積分
題型六涉及變限積分的問題
題型七定積分循環計算法
題型八幾類特殊積分問題
題型九反常（廣義）積分的計算
題型十定積分等式的證明
題型十一定積分不等式的證明
題型十二定積分的幾何(物理)應用
題型十三綜合題
習題精選四
習題精選四參考答案
*第五章向量代數與空間解析幾何
§1知識要點精講及主要公式與結論
§2典型題型與例題分析
題型一與向量代數有關的計算問題
題型二求平面與直線方程
題型三討論平面與直線的位置關系
題型四求對稱點、投影點及投影曲線
題型五綜合題
習題精選五
習題精選五參考答案
第六章多元函數微分學
§1知識要點精講及主要公式與結論
§2典型題型與例題分析
題型一基本概念題
題型二求復合函數的偏導數或全微分
題型三求隱函數的偏導數或全微分
題型四已知偏導數，反求函數關系
題型五多元函數的極值和最值問題
*題型六求多元函數的梯度或方向導數
*題型七多元函數微分學的幾何應用
題型八綜合題
習題精選六
習題精選六參考答案
第七章重積分
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一考查二重積分的基本概念與性質
題型二二重積分的基本計算方法
題型三利用重積分的對稱性簡化計算
題型四交換積分次序
題型五分區域函數的二重積分
題型六反常（廣義）二重積分
*題型七直角坐標系下計算三重積分（適用于方形區域）
*題型八利用“先二后一”法(適用于旋轉體類型的區域)
*題型九利用柱面坐標(適用于區域含柱形體的情形)
*題型十利用球面坐標(適用于區域含球形的情形)
題型十一綜合題
習題精選七
習題精選七參考答案
*第八章曲線、曲面積分
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一對弧長的曲線積分的計算方法
題型二對坐標的曲線積分的計算方法
題型三對面積的曲面積分的計算方法
題型四對坐標的曲面積分的計算方法
題型五求曲面的面積
題型六求向量場的散度及旋度
題型七綜合題
習題精選八
習題精選八參考答案
*第九章無窮級數
§1知識要點精講
§2重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一判定常數項級數的收斂性
題型二求函數項級數的收斂域、冪級數的收斂半徑和收斂區間
題型三求常數項級數的和及函數項級數的和函數
題型四冪級數的展開
題型五傅里葉級數的展開
題型六綜合題
習題精選九
習題精選九參考答案
第十章常微分方程
§1知識要點精講
§2基本方法
§3典型題型與例題分析
題型一可化為一階線性微分方程的求解及全微分方程求解
題型二可化為變量可分離微分方程的求解
題型三可降階的高階微分方程
題型四高階線性微分方程和可化為二階常系數線性微分方程的求解
題型五綜合題與應用題
習題精選十
習題精選十參考答案
第二部分線性代數
第一章行列式
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一利用行列式的性質與行(列)展開定理計算行列式
題型二按行(列)展開公式求代數余子式
題型三利用多項式分解因式計算行列式
題型四抽象行列式的計算或證明
題型五n階行列式的計算
題型六利用特征值計算行列式
題型七綜合題
習題精選一
習題精選一參考答案
第二章矩陣
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一求數值型矩陣的逆矩陣
題型二A為抽象矩陣，討論A的可逆性
題型三考查矩陣運算的特殊性
題型四解矩陣方程
題型五求方陣A的高次冪An
題型六利用伴隨矩陣A*進行計算或證明
題型七有關初等矩陣的問題
題型八求矩陣的秩
題型九綜合題
習題精選二
習題精選二參考答案
第三章向量
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一判定向量組的線性相關性
題型二把一個向量用一組向量線性表示
題型三求向量組的秩
題型四有關矩陣秩的命題
*題型五有關向量空間的基本概念題
題型六綜合題
習題精選三
習題精選三參考答案
第四章線性方程組
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一基本概念題(解的判定、性質、結構)
題型二含有參數的線性方程組的求解
題型三抽象線性方程組求解
題型四討論兩個方程組的公共解
題型五討論兩個方程組解之間的關系
題型六已知方程組的解，反求系數矩陣或系數矩陣中的參數
題型七有關基礎解系的討論
題型八有關AB=0的應用
題型九綜合題
習題精選四
習題精選四參考答案
第五章特征值與特征向量
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一數值型矩陣特征值、特征向量的計算
題型二計算抽象矩陣的特征值
題型三特征值、特征向量的逆問題
題型四矩形相似與對角化的討論
題型五有關實對稱矩陣的命題
題型六特征值、特征向量與相似矩陣的應用問題
題型七有關特征值、特征向量的證明問題
題型八綜合題
習題精選五
習題精選五參考答案
第六章二次型
§1知識要點精講
§2難點、疑點解析及重要公式與結論
§3典型題型與例題分析
題型一基本概念題(二次型的矩陣、秩、正負慣性指數)
題型二化二次型為標準形
題型三有關正定二次型(正定矩陣)命題的證明
題型四綜合題
習題精選六
習題精選六參考答案
*第三部分概率論與數理統計
第一章隨機事件與概率
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一事件的表示和運算
題型二有關概率基本性質的命題
題型三古典概型與幾何概型的概率計算
題型四事件獨立性的命題
題型五條件概率與積事件概率的計算
題型六全概率公式和貝葉斯公式概型
題型七伯努利試驗
題型八綜合題
習題精選一
習題精選一參考答案
第二章隨機變量及其分布
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一有關隨機變量與分布的基本概念題
題型二求隨機變量的分布律與分布函數
題型三已知事件發生的概率，反求事件中的未知參數
題型四利用常見分布求相關事件的概率
題型五求隨機變量函數的分布
題型六綜合題
習題精選二
習題精選二參考答案
第三章多維隨機變量及其分布
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一聯合分布、邊緣分布與條件分布的計算
題型二已知部分分布律或邊緣分布，求聯合分布律或相關參數
題型三利用已知分布求相關事件的概率
題型四隨機變量函數的分布
題型五隨機變量的獨立性的討論
題型六綜合題
習題精選三
習題精選三參考答案
第四章隨機變量的數字特征
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一期望和方差的計算
題型二隨機變量函數的數學期望與方差
題型三有關協方差、相關系數、獨立性與相關性的命題
題型四有關數字特征的應用題
題型五綜合題
習題精選四
習題精選四參考答案
第五章大數定律和中心極限定理
§1知識要點精講
§2典型題型與例題分析
題型一有關切比雪夫不等式的命題
題型二有關大數定律的命題
題型三有關中心極限定理的命題
題型四綜合題
習題精選五
習題精選五參考答案
第六章數理統計的基本概念
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一求樣本容量n，或與樣本均值和樣本方差S2有關的概率
題型二求統計量的數字特征
題型三求統計量的分布
習題精選六
習題精選六參考答案
第七章參數估計
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一求矩法估計和最大似然估計
題型二估計量評選標準的討論
題型三參數的區間估計
題型四綜合題
習題精選七
習題精選七參考答案
第八章假設檢驗
§1知識要點精講
§2補充注釋與重要結論
§3典型題型與例題分析
題型一正態總體未知參數的假設檢驗
題型二有關兩類錯誤的命題
習題精選八
習題精選八參考答案
書摘/試閱
第一章函數、極限與連續
[1]§
1知識要點精講
函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限：limx→0sinxx=1,limx→∞1+1xx=e函數連續的概念函數間斷點的類型初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質
一函數
1函數的概念及表示法
設x和y是兩個變量（均在實數R內取值),D是一個給定的非空數集,如果對于每個數x∈D,按照一定的法則,變量y總有一個確定的值和它對應,則稱變量y是變量x的函數,記作y=f(x),其中D叫做函數y=f(x)的定義域,x叫做自變量,y叫做因變量,函數值f(x)的全體所構成的集合稱為函數f的值域.表示法有：公式法、表格法、圖形法等.
要注意函數定義中的兩個要素：
(1)定義域D：它表示x的取值范圍，由函數對應法則或實際問題的要求來確定.
(2)對應法則f：它表示給定x值,求y值的方法.
因此：
①對于兩個給定的函數,當且僅當它們的定義域和對應法則都相同時,才能說它們是相同的函數,否則它們就是不同的函數.
②求函數f的定義域,就是求使y的取值和運算有意義的自變量x的取值范圍.
2.函數的性態——有界性,單調性,周期性,奇偶性
(Ⅰ）有界性
設函數y=f(x)在區間I上有定義,如果存在正數M,對于任意x∈I,恒有｜f(x)｜≤M,則稱函數y=f(x)在區間I上有界；如果這樣的M不存在,則稱函數y=f(x)在I上無界.如果存在正數M1，對于任意x∈I,恒有f(x)≤M1，則稱函數y=f(x)在區間I上有上界；如果存在正數M2，對于任意x∈I,恒有f(x)≥M2，則稱函數y=f(x)在區間I上有下界.易知函數f(x)在區間I上有界的充分必要條件是它在I上既有上界又有下界.
(1)幾個常見的有界函數.
在區間(-∞,+∞)上,有
|sinx|≤1,|cosx|≤1,|arctanx|＜π2,|arccotx|＜π(或0＜arccotx＜π).
因此，y=sinx,y=cosx,y=arctanx,y=arccotx在區間(-∞,+∞)上有界.
在區間［-1,1］上,有|arcsinx|≤π2,|arccosx|≤π(或0≤arccosx≤π).
因此，y=arcsinx,y=arccosx在區間［-1,1］上有界.
注：①函數y=f(x)有界或無界是相對于某個區間而言的.
例如y=1x在區間(0,1)內無界,但在區間18,1上是有界的.
②區分無界函數和無窮大：在某一變化過程中,若f(x)為無窮大,則存在對應的區間使f(x)無界；但是若f(x)在某個區間上無界,則f(x)不一定為無窮大.
例如y=1xsin1x在區間(0,1］上無界,但在x→0+時并不是無窮大.
③若函數y=f(x)在區間I上有界,則f(x)的導函數和原函數在區間I上不一定有界.
例如y=x在［0,1］上有界,但其導函數y=12x在(0,1］上是無界的；
y=1+cosx在(-∞,+∞)上有界,但其原函數F(x)=x+sinx在(-∞,+∞)上是無界的.
（2）判別方法:
方法一直接法：定義本身就是判定f(x)是否有界的一種有效方法,即對f(x)，若存在M＞0，使得f(x)≤M，則f(x)有界,否則無界.
方法二若存在區間I內序列xn,使得f(xn)→∞(n→∞),則f(x)在I內無界.
方法三間接法：①若f(x)在［a,b］連續,則f(x)在［a,b］有界.②若f(x)在(a,b)連續,且limx→a+f(x)存在,limx→b-f(x)存在,則f(x)在(a,b)有界.
(Ⅱ)單調性
設函數y=f(x)在區間I上有定義,如果對于x1,x2∈I,當x1＜x2時,恒有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2))，則稱函數y=f(x)在區間I上是單調增加(或單調減小)的.若x1,x2∈I,當x1＜x2時，有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2)),則稱f(x)在區間I上單調不減(單調不增).
判別方法：
方法一利用定義：設x1＞x2，計算f(x1)-f(x2)，若它大于零,則單調增加；若它小于零,則單調減小.
方法二利用導數：對可導函數y=f(x)，若y′＞0，則y單調增加；若y′＜0，則y單調減小.
注：單調函數的導函數和原函數都不一定仍為單調函數.例如y=x在(-∞,+∞)內單調增加,而其導函數y′=1與原函數F(x)=12x2在(-∞,+∞)內都不單調.
(Ⅲ)周期性
設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個不為零的常數T,使得對于任一x∈D,有x±T∈D且f(x+T)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數,T稱為f(x)的周期.通常把滿足上式的最小正數T稱為函數f(x)的周期.
判別方法:
方法一利用定義:計算f(x+T)=…=f(x),則f(x)是以T為周期的函數.
方法二間接法:利用常見周期函數的周期進行判別和計算.
例如，由sinx,cosx的周期為2π，推知sinx,cosx,sin2x,cos2x的周期為π;由tanx,cotx的周期為π，推知|tanx|，|cotx|的周期為π，tanx2,cotx2的周期為2π.
注:若f(x)是可導的周期函數,則它的導函數仍是周期函數,且周期不變,但它的原函數不一定仍為周期函數.
例如f(x)=1+sinx是周期為2π的函數,其導函數f′(x)=cosx仍是周期為2π的函數,但其原函數F(x)=x-cosx不是周期函數.
（Ⅳ)奇偶性
設函數f(x)的定義域D關于原點對稱,如果對任一x∈D,恒有f(-x)=f(x)(或-f(x)),則稱函數f(x)為偶函數(或奇函數).偶函數的圖形關于y軸對稱,奇函數的圖形關于坐標原點對稱.
判別方法:
方法一利用定義:通過計算f(-x)=…=f(x)(-f(x))，則f(x)是偶(奇)函數.
方法二利用運算性質:
奇函數±奇函數=奇函數偶函數±偶函數=偶函數
奇函數×偶函數=奇函數偶函數×偶函數=偶函數
奇函數×奇函數=偶函數
方法三利用導函數與原函數奇偶性:
可導的奇函數的導函數是偶函數,例如(x3)′=3x2.
可導的偶函數的導函數是奇函數,例如(x2)′=2x.
連續的奇函數的任何一個原函數都是偶函數,例如f(x)=sinx,F(x)=-cosx+C.
連續的偶函數的原函數中只有一個F(x)=∫x0f(t)dt是奇函數,例如f(x)=cosx,其全體原函數F(x)=∫cosxdx=sinx+C中只有sinx(C=0)是奇函數.
注:①若函數的定義域關于原點不對稱,則此函數既不是奇函數,也不是偶函數.
②設函數f(x)的定義域D關于原點對稱,則f(x)一定可以表示成奇函數與偶函數的和.事實上,
f(x)=12［f(x)-f(-x)］+12［f(x)+f(-x)］,
式中前者為奇函數,后者為偶函數.
【例1.1】判別下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=ln(x+x2+1).
(2)F(x)=∫xaf(t)dt，其中a為常數,f(x)為可積的奇函數.
【詳解】
(1)因為
f(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln(x2+1-x)=lnx2+1-x2x2+1+x
=-ln(x+x2+1)=-f(x)，
故f(x)=ln(x+x2+1)為奇函數.
(2)F(-x)=∫-xaf(t)dtt=-u-∫x-af(-u)du=∫x-af(u)du
=∫a-af(u)du+∫xaf(u)du=0+∫xaf(u)du=F(x)，
故F(x)為偶函數.
3.復合函數
設y=f(u),u=φ(x)為兩個函數,若φ(x)的值域與f(u)的定義域有非空交集,則由y=f(u)及u=φ(x)可復合而成復合函數y=f(φ(x)),u稱為中間變量.
【例1.2】設f(x)=4-x2,|x|≤2,
0,|x|＞2,求f(f(x)).
【詳解】f(f(x))=4-f2(x),|f(x)|≤2,
0,|f(x)|＞2.
進一步,由下列不等式確定x的取值范圍,從而可得f(x)的表達式,再代入上面式子:
(1)由|f(x)|≤2有|4-x2|≤2,
|x|≤2或|0|≤2,
|x|＞2，即2≤|x|≤2或|x|＞2.
(2)由|f(x)|＞2有|4-x2|＞2,
|x|≤2或|0|＞2,
|x|＞2，即|x|＜2.
故f(f(x))=4,|x|＞2,
4-(4-x2)2,2≤|x|≤2,
0,|x|＜2.
注：求這種分段函數的復合要“由里往外”逐層進行分析與計算.
[1]§
1知識要點精講
函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限：limx→0sinxx=1,limx→∞1+1xx=e函數連續的概念函數間斷點的類型初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質
一函數
1函數的概念及表示法
設x和y是兩個變量（均在實數R內取值),D是一個給定的非空數集,如果對于每個數x∈D,按照一定的法則,變量y總有一個確定的值和它對應,則稱變量y是變量x的函數,記作y=f(x),其中D叫做函數y=f(x)的定義域,x叫做自變量,y叫做因變量,函數值f(x)的全體所構成的集合稱為函數f的值域.表示法有：公式法、表格法、圖形法等.
要注意函數定義中的兩個要素：
(1)定義域D：它表示x的取值范圍，由函數對應法則或實際問題的要求來確定.
(2)對應法則f：它表示給定x值,求y值的方法.
因此：
①對于兩個給定的函數,當且僅當它們的定義域和對應法則都相同時,才能說它們是相同的函數,否則它們就是不同的函數.
②求函數f的定義域,就是求使y的取值和運算有意義的自變量x的取值范圍.
2.函數的性態——有界性,單調性,周期性,奇偶性
(Ⅰ）有界性
設函數y=f(x)在區間I上有定義,如果存在正數M,對于任意x∈I,恒有｜f(x)｜≤M,則稱函數y=f(x)在區間I上有界；如果這樣的M不存在,則稱函數y=f(x)在I上無界.如果存在正數M1，對于任意x∈I,恒有f(x)≤M1，則稱函數y=f(x)在區間I上有上界；如果存在正數M2，對于任意x∈I,恒有f(x)≥M2，則稱函數y=f(x)在區間I上有下界.易知函數f(x)在區間I上有界的充分必要條件是它在I上既有上界又有下界.
(1)幾個常見的有界函數.
在區間(-∞,+∞)上,有
|sinx|≤1,|cosx|≤1,|arctanx|＜π2,|arccotx|＜π(或0＜arccotx＜π).
因此，y=sinx,y=cosx,y=arctanx,y=arccotx在區間(-∞,+∞)上有界.
在區間［-1,1］上,有|arcsinx|≤π2,|arccosx|≤π(或0≤arccosx≤π).
因此，y=arcsinx,y=arccosx在區間［-1,1］上有界.
注：①函數y=f(x)有界或無界是相對于某個區間而言的.
例如y=1x在區間(0,1)內無界,但在區間18,1上是有界的.
②區分無界函數和無窮大：在某一變化過程中,若f(x)為無窮大,則存在對應的區間使f(x)無界；但是若f(x)在某個區間上無界,則f(x)不一定為無窮大.
例如y=1xsin1x在區間(0,1］上無界,但在x→0+時并不是無窮大.
③若函數y=f(x)在區間I上有界,則f(x)的導函數和原函數在區間I上不一定有界.
例如y=x在［0,1］上有界,但其導函數y=12x在(0,1］上是無界的；
y=1+cosx在(-∞,+∞)上有界,但其原函數F(x)=x+sinx在(-∞,+∞)上是無界的.
（2）判別方法:
方法一直接法：定義本身就是判定f(x)是否有界的一種有效方法,即對f(x)，若存在M＞0，使得f(x)≤M，則f(x)有界,否則無界.
方法二若存在區間I內序列xn,使得f(xn)→∞(n→∞),則f(x)在I內無界.
方法三間接法：①若f(x)在［a,b］連續,則f(x)在［a,b］有界.②若f(x)在(a,b)連續,且limx→a+f(x)存在,limx→b-f(x)存在,則f(x)在(a,b)有界.
(Ⅱ)單調性
設函數y=f(x)在區間I上有定義,如果對于x1,x2∈I,當x1＜x2時,恒有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2))，則稱函數y=f(x)在區間I上是單調增加(或單調減小)的.若x1,x2∈I,當x1＜x2時，有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2)),則稱f(x)在區間I上單調不減(單調不增).
判別方法：
方法一利用定義：設x1＞x2，計算f(x1)-f(x2)，若它大于零,則單調增加；若它小于零,則單調減小.
方法二利用導數：對可導函數y=f(x)，若y′＞0，則y單調增加；若y′＜0，則y單調減小.
注：單調函數的導函數和原函數都不一定仍為單調函數.例如y=x在(-∞,+∞)內單調增加,而其導函數y′=1與原函數F(x)=12x2在(-∞,+∞)內都不單調.
(Ⅲ)周期性
設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個不為零的常數T,使得對于任一x∈D,有x±T∈D且f(x+T)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數,T稱為f(x)的周期.通常把滿足上式的最小正數T稱為函數f(x)的周期.
判別方法:
方法一利用定義:計算f(x+T)=…=f(x),則f(x)是以T為周期的函數.
方法二間接法:利用常見周期函數的周期進行判別和計算.
例如，由sinx,cosx的周期為2π，推知sinx,cosx,sin2x,cos2x的周期為π;由tanx,cotx的周期為π，推知|tanx|，|cotx|的周期為π，tanx2,cotx2的周期為2π.
注:若f(x)是可導的周期函數,則它的導函數仍是周期函數,且周期不變,但它的原函數不一定仍為周期函數.
例如f(x)=1+sinx是周期為2π的函數,其導函數f′(x)=cosx仍是周期為2π的函數,但其原函數F(x)=x-cosx不是周期函數.
（Ⅳ)奇偶性
設函數f(x)的定義域D關于原點對稱,如果對任一x∈D,恒有f(-x)=f(x)(或-f(x)),則稱函數f(x)為偶函數(或奇函數).偶函數的圖形關于y軸對稱,奇函數的圖形關于坐標原點對稱.
判別方法:
方法一利用定義:通過計算f(-x)=…=f(x)(-f(x))，則f(x)是偶(奇)函數.
方法二利用運算性質:
奇函數±奇函數=奇函數偶函數±偶函數=偶函數
奇函數×偶函數=奇函數偶函數×偶函數=偶函數
奇函數×奇函數=偶函數
方法三利用導函數與原函數奇偶性:
可導的奇函數的導函數是偶函數,例如(x3)′=3x2.
可導的偶函數的導函數是奇函數,例如(x2)′=2x.
連續的奇函數的任何一個原函數都是偶函數,例如f(x)=sinx,F(x)=-cosx+C.
連續的偶函數的原函數中只有一個F(x)=∫x0f(t)dt是奇函數,例如f(x)=cosx,其全體原函數F(x)=∫cosxdx=sinx+C中只有sinx(C=0)是奇函數.
注:①若函數的定義域關于原點不對稱,則此函數既不是奇函數,也不是偶函數.
②設函數f(x)的定義域D關于原點對稱,則f(x)一定可以表示成奇函數與偶函數的和.事實上,
f(x)=12［f(x)-f(-x)］+12［f(x)+f(-x)］,
式中前者為奇函數,后者為偶函數.
【例1.1】判別下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=ln(x+x2+1).
(2)F(x)=∫xaf(t)dt，其中a為常數,f(x)為可積的奇函數.
【詳解】
(1)因為
f(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln(x2+1-x)=lnx2+1-x2x2+1+x
=-ln(x+x2+1)=-f(x)，
故f(x)=ln(x+x2+1)為奇函數.
(2)F(-x)=∫-xaf(t)dtt=-u-∫x-af(-u)du=∫x-af(u)du
=∫a-af(u)du+∫xaf(u)du=0+∫xaf(u)du=F(x)，
故F(x)為偶函數.
3.復合函數
設y=f(u),u=φ(x)為兩個函數,若φ(x)的值域與f(u)的定義域有非空交集,則由y=f(u)及u=φ(x)可復合而成復合函數y=f(φ(x)),u稱為中間變量.
【例1.2】設f(x)=4-x2,|x|≤2,
0,|x|＞2,求f(f(x)).
【詳解】f(f(x))=4-f2(x),|f(x)|≤2,
0,|f(x)|＞2.
進一步,由下列不等式確定x的取值范圍,從而可得f(x)的表達式,再代入上面式子:
(1)由|f(x)|≤2有|4-x2|≤2,
|x|≤2或|0|≤2,
|x|＞2，即2≤|x|≤2或|x|＞2.
(2)由|f(x)|＞2有|4-x2|＞2,
|x|≤2或|0|＞2,
|x|＞2，即|x|＜2.
故f(f(x))=4,|x|＞2,
4-(4-x2)2,2≤|x|≤2,
0,|x|＜2.
注：求這種分段函數的復合要“由里往外”逐層進行分析與計算.
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