高等代數中的典型問題與方法（簡體書）

本書是為正在學習高等代數的讀者、正在復習高等代數準備報考研究生的讀者以及從事這方面教學工作的年輕教師編寫的。本書與北京大學數學系幾何與代數教研組編寫的《高等代數(第三版)》相配套，在編寫上也遵循此教材的順序。本書全面、系統地總結和歸納了高等代數中問題的基本類型、每種類型的基本方法，對每種方法先概括要點，再選取典型而有一定難度的例題，逐層剖析。對一些較難理解的問題，在適當的章節做了專題研究，進行了較深入的探討和總結，如：線性變換的對角化、矩陣的分解等問題，以消除讀者長期以來對其抽象問題在理解上含糊不清的疑慮，從而更深入地領會問題。全書共分9章，42節，111個條目，約210個問題，涉及多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間。本書大量采用全國部分高校歷屆碩士研究生高等代數入學試題，并參閱了50余種教材、文獻及參考書，經過反復推敲、修改和篩選，在長期教學實踐的基礎上編寫而成。選材具有典型性、靈活性、啟發性、趣味性和綜合性，配套的各節練習題可提高學生進一步分析問題和解決問題的能力，對培養學生的能力極為有益。

本書是筆者在陜西師范大學數學與信息科學學院為高年級學生講授“高等代數選講”所寫講義的基礎上編寫的。全書共分9章，42節，約111個小條目，中心問題是向讀者回答：高等代數的每個單元到底有哪些基本問題？每類問題各有哪些方法？每種方法又有哪些富有代表性、典型性、又有相當難度，值得向讀者推薦的好例題和練習？ 基于編寫本書的上述宗旨，作者在對例題進行分類講解時，特別注意了系統地講述解題思想與解題方法，而不是題目的堆砌或單純的題解。全書每段先對所解問題以“要點”的形式進行概括性的闡述，然后由淺人深地安排一套一套的例題，對具體的方法和精神實質，加以“評析”，以拔高而達到更深層次的理解。 本書與北京大學數學系幾何與代數教研組編寫的《高等代數（第三版）》配套，選取大量國內各高校碩士研究生高等代數入學試題，對高等代數中各種類型的問題進行了全面、系統的總結和歸納，全方位解除學生的解題困惑。

第1章 多項式
1.1 多項式的概念與運算
一、多項式的基本概念
二、多項式的運算
1.2 多項式的整除
一、帶余除法及其計算
二、整除
三、最大公因式及其求法
四、多項式的互素
1.3 多項式的因式分解
一、不可約多項式
二、k重因式
三、多項式函數
四、一般數域上的因式分解及根的性質
五、復數域上多項式的因式分解及根的性質
六、實數域上多項式的因式分解及根的性質
七、有理數域上多項式的因式分解及根的性質
第2章 行列式
2.1 用定義計算行列式
2.2 求行列式的若干方法
一、三角化法
二、用行列式的性質化為已知行列式
三、滾動相消法
四、拆分法
五、加邊法
六、歸納法
七、利用遞推降級法
八、利用重要公式與結論
九、用冪級數變換計算行列式
2.3 利用降級公式計算行列式
2.4 有關行列式的證明題
2.5 一個行列式的計算與推廣
一、Dn的計算
二、問題的推廣
第3章 線性方程組
3.1 線性相關性（Ⅰ）
一、線性相關
二、線性無關
三、綜合性問題
3.2 矩陣的秩
3.3 線性方程組的解
一、線性方程組的幾種表示形式
二、線性方程組有解的判定及解的個數
三、線性方程組解的結構
笫4章 矩陣
4.1 矩陣的基本運算
一、矩陣的加法和數乘
二、矩陣的乘法
三、矩陣的轉置
四、矩陣的伴隨
4.2 矩陣的逆
一、矩陣逆的性質
二、矩陣逆的求法（Ⅰ）
三、矩陣不可逆的證明方法
四、矩陣多項式的逆（Ⅱ）
4.3 矩陣的分塊
一、分塊陣的乘法及其應用
二、分塊陣的廣義初等變換
三、關于分塊陣的逆（Ⅲ）
4.4 初等矩陣
一、初等矩陣及其性質
二、初等變換的應用
三、矩陣的等價
4.5 若干不等式
一、Steinitz替換定理及其應用
二、利用整齊與局部的思想（實例）
第5章 二次型
5.1 二次型與矩陣
一、二次型的概念及其表示
二、二次型與對稱矩陣
5.2 標準形與規范形
一、標準形
二、規范形及其唯一性
三、（反）對稱矩陣（Ⅱ）
5.3 正定二次型的判定（Ⅰ）
一、正定二次型的判定
二、正定矩陣的判定
5.4 其他各類二次型
一、負定二次型
二、半正（負）定二次型
5.5 不等式與二次型（實例）
第6章 線性空間
6.1 線性空間的定義
一、用定義證明線性空間
二、幾個常用的線性空間
三、向量組的線性相關性
6.2 基與維數.變換公式
一、基與維數的求法
二、變換公式（Ⅰ）
三、坐標的求法
6.3 子空間及其運算
一、子空間的判定
二、子空間的運算
三、直和的證明
四、子空間的性質
6.4 不等式
第7章 線性變換
7.1 線性變換及其運算
一、線性變換的判定及其性質
二、線性變換的多項式
7.2 線性變換與矩陣
一、線性變換的矩陣
二、一一對應關系
三、矩陣的相似
四、變換公式（Ⅱ）
7.3 矩陣（線性變換）的特征值與特征向量
一、矩陣特征值與特征向量求法
二、矩陣特征值的和與積
三、代數重數與幾何重數
四、擾動法
7.4 線性變換（矩陣）的對角化問題（Ⅰ）
一、利用特征向量判定
二、利用特征值判定
7.5 不變子空間
一、不變子空間的判定
二、特征子空間
三、值域
四、核
7.6 線性空間的分解
一、多項式理論與線性空間分解初步
二、線性空間的分解
第8章 λ-矩陣
8.1 λ-矩陣的有關概念及結論
一、λ-矩陣的相關概念
二、不變因子，行列式因子與初等因子
8.2 矩陣相似的條件
一、矩陣相似與又一矩陣等價之間的關系
二、矩陣相似的充要條件
8.3 矩陣的Jordan標準形
一、Jordan標準形及其求法
二、Jordan塊的性質及其應用
8.4 Jordan標準形的相似過渡陣的求法
8.5 最小多項式
一、最小多項式及其性質
二、最小多項式的求法
三、最小多項式的應用（實例）
8.6 矩陣的對角化問題
一、利用最小多項式判定矩陣的對角化
二、常見的幾類可對角化矩陣
8.7 矩陣方冪的若干求法
一、秩為1的情況
二、可分解為數量矩陣和冪零矩陣之和的情況
三、歸納法（實例）
四、利用相似變換法
五、特征多項式法（或最小多項式法）
六、利用Jordan標準形（實例）
第9章 歐幾里得空間
9.1 歐氏空間及其基本性質
一、歐氏空間的基本概念
二、不等式
三、度量矩陣及其性質
9.2 標準正交基
一、標準正交基及其性質
二、標準正交基的求法
三、正交矩陣及其性質
9.3 子空間
一、子空間的正交及其性質
二、正交補
9.4 歐氏空間上的線性變換
一、正交變換
二、對稱變換
三、反對稱變換
四、（反）對稱矩陣（Ⅲ）
9.5 矩陣分解
一、加法分解
二、乘法分解
三、特殊矩陣的分解
練習答案