和算中源：和算算法及其中算源流（簡體書）

《中外科學文化交流歷史文獻叢刊．和算中源：和算算法及其中算源流》從算法的角度，通過歷史考證與數理分析，系統闡述日本傳統數學（和算）在高次方程數值解法、非線性方程消元算法、函數插值法、高階等差數列求和算法、同餘式組解法、丟番圖逼近法、函數加速逼近法，以及微積分算法等方面的成就，並追溯這些算法與中國傳統數學（中算）中相應算法之淵源關係。揭示東亞傳統數學的算法化精神與成就，由此論證中國傳統數學可以向近代數學演進。

徐澤林，1963年生，安徽省無為縣人，專業方向為科學技術史，1994年於內蒙古師範大學科學史研究所獲理學碩士學位，1998年于西北大學數學系獲科學史專業理學博士學位，同年赴天津師範大學數學科學學院任教，現為東華大學人文學學院教授，中國科學技術史學會理事，日本科學史學會會員。主要研究興趣為東亞數學史、數學交流史與比較數學史、中國古代數理天文學。著有《和算選粹》等。

《和算中源:和算算法及其中算源流》正是一部探討和算的發展及其中算淵源的力作。作者徐澤林教授是國內為數不多的和算史專家。

第1章 “演段”的演變與東亞代數方法的發展1.1 數學史學界對“演段”概念的不同解釋1.2 對宋元數學中“演段”的考察1.3 對明代數學中“演段”的考察1.4 對和算中“演段”意義的考察1.5 “演段”概念的內涵及其演變1.6 從“演段”概念的演變看東亞代數演算方式的發展及其意義第2章 代數方程的數值解法：開方術2.1 中國古代的開方術與增乘開方術2.2 關孝和的開方術及其與中算家開方術之比較2.3 中日方程論的成就2.4 久留島義太的迭代法2.5 久留島義太的執中法本章小結第3章 非線性方程組解法：解伏題3.1 中國的幾何代數化傳統與消元法3.2 《算學啟蒙》在日傳播與天元術的受容3.3 關孝和的解伏題及其數學機械化特徵3.4 和算家對行列式展開法的改進3.5 吳方法與和式幾何研究本章小結第4章 多項式函數插值法：招差術4.1 函數插值法原理4.2 中國古代的插值法4.3 關孝和的累裁招差術4.4 關孝和的渾沌招差術4.5 《大成算經》中的方程招差法4.6 關孝和渾沌招差法的思想來源4.7 和算中招差法的各種應用本章小結第5章 級數求和算法：垛積術5.1 中國古代的垛積術5.2 關孝和的垛積術5.3 其他和算家的垛積術本章小結第6章 同餘式組與不定方程解法：剪管術與剩一術6.1 中國剩餘定理與大衍總數術6.2 演紀術及其與求一術的關係6.3 關孝和的諸約術、剩一術與剪管術6.4 清代數學家的不定分析研究第7章 丟番圖逼近算法：零約術7.1 實數的有理逼近法7.2 中國古代的通其率術與調日法7.3 關孝和的零約術與和內插方法7.4 建部賢明的零約術與連分數展開法7.5 建部賢弘的累約術與重約術……第8章 極值算法：極數術第9章 數值加速逼近算法：累遍增約術與Romberg算法第10章 幾何求積與無窮級數展開法：圓理綴術

除其中的5個二次方程可以用條段法進行直田演段而獲得天元式外，其余高次方程均無需用劉益、李冶的條段法進行演段。事實上，朱世杰在這里全用天元術進行演段，演段過程中利用了卷首演段圖所反映的代數關系和多項式公式。這表明，朱世杰超越李冶而擺脫了幾何直觀，其演段是比較抽象的和形式化的，關于一般高次方程的純代數演算。
除《四元玉鑒》外，《算學啟蒙》（1299）中也使用演段，并且也有關于演段的說明文字。其卷下“開方釋鎖門”第八題下的朱世杰自注日：
按：此以古法演之，和步自乘，得八千四百六十四步，乃四段直積，一段較冪也。列積，四之，得八千二百八，減之，余有較冪二百五十六，為實，以一為廉，平方開之，得較一十六步，加和，半之，得長，長內減較，即平也。今以天元演之，明源活法，省功數倍。假立一算于太極之下，如意求之，得方、廉、隅從正負之段，乃演其虛積，相消相長，脫其真積也。予故于逐問，備立細草，圖其縱橫，明其正負，使學者粲然易分曉也。
朱氏所稱“以古法演之”的“古法”，當指“條段法”，所言“今以天元演之”，當指天元術。所以，朱世杰的注文表明，條段法（古法）和天元術都是演段方法。在這里，他與李冶在《益古演段》中的做法一樣，將天元術與條段法進行比較。和算家建部賢弘根據這段關于天元術的注文，在《綴術算經》（1722）中通過直田問題論述天元術應用時，也指出：
如古法，將直積圍成四方，中央容長平差冪而造長平和冪之圖，開平方先求長平和。于此題，其理雖速也，若總如此以理究，少于難題役心猶可察理，競不能成索數之術。今天元之法，其理雖幽隱者，然速得術之神法也，然非不探而直得，純以因乘、加減之理探，探而得其度者也。
值得注意的是，朱世杰所稱的“假立一算于太極之下，如意求之，得方、廉、隅從正負之段”，清楚地說明，演段目的就是要獲得“方、廉、隅從正負之段”（方程系數），其“段”的意義不再是平面圖形幾何量的量詞，如其“開方釋鎖門”第15問的術文中稱：“一百二十二段平、以長乘之，為一百二十二段積”，這里的“段”既是一維線段的量詞，又是二維平面圖形的量詞，而且后面的題目中還出現如“三段方臺積、四段圓臺積、四段立方積”的三維立體圖形的量詞。“段”的意義不再局限于平面圖形，幾何意義在淡化，代數意義在增強，逐漸抽象為各類數學量的倍數（系數），也為多項式的常系數。
綜上可知，朱世杰的“演段”不再拘泥于條段法，而是普遍使用天元術和四元術，是以多項式演算為中心、列方程為目標的代數演算。