隨機數學建模方法及其應用：概率模型（簡體書）

在隨機數學建模方法中，按其解法規律可分為概率模型和統計模型。《系統分析與建模叢書．隨機數學建模方法及其應用：概率模型》是隨機數學建模方法的概率模型部分，書中以一般方法出發從數學建模的角度論述了如何用隨機建模方法來研究隨機問題的建模、求解和檢驗過程，包括概率分佈法建模、隨機過程法建模兩大類。

《系統分析與建模叢書?隨機數學建模方法及其應用:概率模型》可供科研工作者、從事數學建模工作的高等學校教師與學生閱讀，也可作為概率統計專業學生的學習參考書。

例如，若用計算機數值求解例1.1.1，必須是針對最原始的目標函數式（1.6.3）代入初始數據（泊松分布的均值、密度，參數a、b、c）直接編程計算，若針對式（1.6.4）～式（1.6.8）任何一個式使用計算機，即使是使用了數值算法，也只能算是（理論求解基礎上的）計算機輔助求解。
針對不同的數學模型有不同的數值計算方法。例如，傳統的數值計算方法有數值求方程根的牛頓迭代法、求解線性方程組的高斯消去法、求矩陣特征根和特征向量的雅可比方法等；以及用于函數近似的插值法、用于數值積分的龍貝格公式、用于常微分方程數值解法的龍格一庫塔法等。上面列舉的這些方法不是直接針對最優化模型的，不是本節的重點，但在求解最優化模型時可能作為局部步驟會用到。有關這些數值算法參見文獻（李慶楊等，1982）。這些算法在常見的數學軟件如MATLAB中基本上都可實現，需要時直接調用即可。
專門用于求解最優化模型的數值算法本質上是一種搜索法，即按某種規則（搜索策略、搜索規則）進行搜索最優解的算法，根據搜索策略的不同，求解最優化問題的計算機數值算法可分為3類，即①枚舉法（又稱窮舉法）包括逐步搜索法、三分搜索法、增量二分搜索法等；②啟發式算法（又稱為現代算法）包括禁忌搜索算法、模擬退火算法、遺傳算法、蟻群優化算法、粒子群優化算法等；③運籌學算法（又稱為規劃論算法）專門針對運籌學中特殊的最優化模型提出的算法，如單純形法、分支定界法等，組合優化、圖論優化算法也歸于此。
我們只重點講述枚舉法，因為枚舉法是數值算法的基礎，易于理解掌握，通過它可理解數值法的精髓、本質，為繼續掌握其他數值算法奠定基礎。有關啟發式算法的描述見文獻（張軍等，2008），有關運籌學算法的描述見文獻（魏國華等，1987）。
下面我們講解如何使用枚舉法求解概率分布模型。
設概率分布模型的目標函數為maxZ（Q）=f（X，Q）（若目標取最小值，可兩邊取負號變換為求最大值），其中，目標函數中的數據對象X已用其分布特征或數字特征解出并代人，所以目標函數中只有一個自變量，因此下面我們用maxZ=f（Q）表示。注意在有些模型中Q在連續區間上取值，在有些模型中Q僅在離散點上取值。
在進行算法描述前先注意幾個問題。
（1）后面給出的算法都是在一個極（大）值區間上討論的。把僅包含一個極（大）值點的區間[a，6]稱為極值區間，極值區間要依據具體問題及直覺經驗來確定，
（2）由于計算機字長等原因造成的舍人誤差的存在，所以計算機數值求解算法不一定能把準確解Q找到，一般允許一定誤差存在，只要找到的Q與Q距離不超過給定的誤差ε，達到精度要求即可，即有|Q—Q|≤ε。