考研數學(三)歷年真題分類精解（簡體書）

毛綱源教授，畢業于武漢大學，留校任教，後調入武漢理工大學擔任數學物理系系主任，在高校從事數學教學與科研工作40餘年，發表多篇關於考研數學的論文，主講微積分、線性代數、概率論與數理統計課程。理論功底深厚，教學經驗豐富，思維獨特。曾多次受邀在山東、廣東、湖北等地主講考研數學，並得到學員的廣泛認可和一致好評：“知識淵博，講解深入淺出，易於接受”，“解題方法靈活，技巧獨特，輔導針對性極強”，“對考研數學的出題形式、考試重難點瞭若指掌，上他的輔導班受益匪淺”……同樣，毛老師的輔導書也受到讀者的歡迎與好評，有興趣的讀者可以上網查詢有關對他編寫的圖書的評價。
毛綱源經濟類數學輔導系列（3本）
毛綱源理工類數學輔導系列（4本）
毛綱源考研類數學輔導系列（13本）

《毛綱源考研數學輔導系列:考研數學(3)歷年真題分類精解》系統、專業、經典、實用。《毛綱源考研數學輔導系列:考研數學(3)歷年真題分類精解》除了可以供準備參加考研數學三的人員使用外，還可以作為經濟類和工商管理類的學生平時學習時的參考資料。

第1部分 高等數學
第1章 函數、極限、連續
考點1.1.1 函數的概念與性質
題型1.1.1.1 求分段函數的復合函數
題型1.1.1.2 判定數列或函數在區間上的有界性
考點1.1.2 極限的概念與性質
題型1.1.2.1 判定極限的存在性
題型1.1.2.2 討論極限的性質
考點1.1.3 求函數極限
題型1.1.3.1 求0/0或∞/∞型極限
題型1.1.3.2 求∞—∞型極限
題型1.1.3.3 求冪指函數型極限
題型1.1.3.4 求極限式含冪指函數的極限
題型1.1.3.5 求極限式含指數函數差的極限
題型1.1.3.6 求極限式含lnf（x）的函數極限，其中limf（x）=1
題型1.1.3.7 求含有界變量為因數的函數極限
題型1.1.3. 8 求冪指函數型的數列極限
考點1.1.4 確定未知參（函）數
題型1.1.4.1 已知極限式的極限，反求其所含的未知參數
題型1.1.4.2 已知含未知函數的一極限，求含該函數的另一函數極限
考點1.1.5 無窮小量或無窮大量的比較
題型1.1.5.1 無窮小量階的比較
題型1.1.5.2 確定無窮小量的階數
題型1.1.5.3 無窮大量階的比較
考點1.1.6 討論函數的連續性及間斷點的類型
題型1.1.6.1 討論函數的連續性
題型1.1.6.2 判別函數f（z）的間斷點的類型
題型1.1.6.3 已知分段函數的連續性求其待定常數
考點1.1.7 連續函數性質的應用
題型1.1.7.1 介值定理（零點定理）的應用
第2章 一元函數微分學
考點1.2.1 導數定義的應用
題型1.2.1.1 討論函數在某點的可導性
題型1.2.1.2 討論分段函數的可導性及導函數的連續性
題型1.2.1.3 利用導數定義求極限或導數
考點1.2.2 求一元函數的導數和微分
題型1.2.2.1 求各類一元函數的各階導數
題型1.2.2.2 微分的概念與計算
考點1.2.3 利用導數討論函數性態
題型1.2.3.1 確定單調區間與極值
題型1.2.3.2 已知一極限式，討論函數是否取得極值
題型1.2.3.3 求函數曲線的凹凸區間與拐點
題型1.2.3.4 求函數曲線的漸近線
題型1.2.3.5 確定函數方程存在實根及其個數問題
考點1.2.4 微分中值定理的應用
題型1.2.4.1 利用微分中值定理的條件與結論解題
題型1.2.4.2 使用羅爾定理證明中值等式
題型1.2.4.3 證明中值等式f（ε）士g'（ε）f（ε）=0
題型1.2.4.4 證明與函數差值有關的中值命題
題型1.2.4.5 證明存在多個中值所滿足的中值等式
題型1.2.4.6 證明函數與其導數的關系
題型1.2.4.7 利用導數證明不等式
考點1.2.5 一元函數微分學的幾何應用
題型1.2.5.1 求曲線的切線和（或）法線方程
題型1.2.5.2 求解與兩曲線相切的有關問題
題型1.2.5.3 求解與切線在坐標軸上的截距有關的問題
考點1.2.6 導數在經濟活動分析中的應用
題型1.2.6.1 計算與彈性有關的問題
題型1.2.6.2 計算與邊際和彈性有關的應用題
題型1.2.6.3 求解經濟應用中一元函數的最值問題
第3章 一元函數積分學
考點1.3.1 原函數與不定積分的關系
題型1.3.1.1 原函數與不定積分的概念及其性質
題型1.3.1.2 連續函數f（x）與其原函數F（x）即f（x）與f（x）的性質之間的關系
考點1.3.2 計算不定積分
題型1.3.2.1 計算分母含根號因數的無理函數的不定積分（定積分）
題型1.3.2.2 求簡單無理函數的不定積分
題型1.3.2.3 求被積函數含反三角函數、對數函數為因數函數的不定積分
考點1.3.3 計算定積分
題型1.3.3.1 利用定積分的幾何意義計算定積分
題型1.3.3.2 計算對稱區間[—a，a]上的定積分
題型1.3.3.3 計算被積函數含導函數的積分
題型1.3.3.4 計算∫b∫af［φ（x）]dx
題型1.3.3.5 求解函數方程，該方程含積分區間（區域）確定的未知函數的定（二重）積分
題型1.3.3.6 比較定積分值的大小
題型1.3.3.7 計算週期函數的定積分
考點1.3.4 求解與變限積分有關的問題
題型1.3.4.1 求變限積分的導數
題型1.3.4.2 求含變限積分的未定式極限
題型1.3.4.3 討論變限積分函數的性態
考點1.3.5 有關定積分的證明
題型1.3.5.1 證明定積分的等式
題型1.3.5.2 證明定積分的不等式
考點1.3.6 計算反常積分（廣義積分）
題型1.3.6.1 計算無窮區間上的反常積分
題型1.3.6.2 計算無界函數的反常積分
考點1.3.7 一元函數積分學的應用
題型1.3.7.1 已知曲線方程，求其所圍平面圖形的面積
題型1.3.7.2 求旋轉體體積
題型1.3.7.3 求解與最值問題相結合的幾何應用題
題型1.3.7.4 由邊際函數求總函數
第4章 多元函數微積分學
考點1.4.1 二元（多元）函數微分學中的基本概念
題型1.4.1.1 二元函數極限、連續、可偏導及可微的基本概念
題型1.4.1.2 二元函數的極限、連續、可偏導及可微的關系
考點1.4.2 計算復合函數的偏導數
題型1.4.2.1 計算二元（多元）顯函數的偏導數（的值）
題型1.4.2.2 求帶抽象函數記號的復合函數的偏導數
考點1.4.3 求二元函數的全微分
題型1.4.3.1 求二元顯函數的全微分
題型1.4.3.2 求多元隱函數的偏導數及其全微分
考點1.4.4 多元函數微分學的應用
題型1.4.4.1 求二元函數的極值（無條件極值）和最值
題型1.4.4.2 求二（多）元函數的條件極值
考點1.4.5 計算二重積分
題型1.4.5.1 根據積分區域選擇積分次序計算二重積分
題型1.4.5.2 交換二次積分的積分次序
題型1.4.5.3 轉換二次積分（轉換坐標系）
題型1.4.5.4 利用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性簡化計算
題型1.4.5.5 分塊計算二重積分
題型1.4.5.6 計算簡單無界區域上的二重積分
題型1.4.5.7 討論二重積分的不等式
考點1.4.6 計算圓域上的二重積分
題型1.4.6.1 計算圓域x2+y2≤a2（a>0）上的二重積分
題型1.4.6.2 計算圓域x2+y2≤2ax（a>0）上的二重積分
題型1.4.6.3 計算圓域x2+y2≤2by（b>0）上的二重積分
題型1.4.6.4 計算圓域x2+y2≤—2by（b>0）上的二重積分
題型1.4.6.6 計算圓域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重積分
第5章 無窮級數
考點1.5.1 判別（證明）常數項級數的斂散性
題型1.5.1.1 判別正項級數的斂散性
題型1.5.1.2 判別交錯級數的斂散性
題型1.5.1.3 判別任意項級數的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂
題型1.5.1.4 已知數項級數的斂散性，確定其參數的取值範圍
考點1.5.2 冪級數
題型1.5.2.1 求冪級數的收斂半徑或（和）收斂域
題型1.5.2.2 求冪級數的和函數
題型1.5.2.3 求數項級數的和
考點1.5.3 將函數展為冪級數
題型1.5.3.1 求函數在指定點的冪級數展開式
題型1.5.3.2 利用冪級數展開式求其和函數或數項級數的和
第6章 常微分方程與差分方程
考點1.6.1 求解一階線性微分方程
題型1.6.1.1 求解變量可分離的微分方程
題型1.6.1.2 求解齊次微分方程
題型1.6.1.3 求解一階線性微分方程y′+p（x）y=q（x）
題型1.6.1.4 求解以分段函數為非齊次項或系數的一階線性微分方程
題型1.6.1.5 求解可化為一階微分方程的方程
考點1.6.2 求解未知函數出現在積分號內的方程
題型1.6.2.1 求解含變限積分的方程
題型1.6.2.2 求解含積分區域變化的二重積分的函數方程
考點1.6.3 求解二階（高階）常系數線性微分方程
題型1.6.3.1 確定二階常系數非齊次線性微分方程特解形式
題型1.6.3.2 求解二階常系數線性微分方程
考點1.6.4 微分方程的簡單應用
題型1.6.4.1 求解與平面圖形面積有關的問題
題型1.6.4.2 求解與旋轉體體積有關的問題
考點1.6.5 一階常系數線性差分方程
題型1.6.5.1 求解一階常系數線性非齊次差分方程
題型1.6.5.2 一階常系數線性非次差分方程的簡單應用
第2部 分線性代數
第1章 行列式
考點2.1.1 計算數字型行列式
題型2.1.1.1 計算行和（或列和）相等的行列式
題型2.1.1.2 計算非零元素（主要）在一條或兩條線上的行列式
題型2.1.1.3 計算非零元素在平行於主對角線的三條線上的行列式
考點2.1.2 計算抽象矩陣的行列式
題型2.1.2.1 求解同階矩陣A，B的線性組合的行列式|aA+bB|（a，b為常數）
題型2.1.2.2 計算零子塊的四分塊矩陣的行列式
題型2.1.2.3 利用方陣相乘的行列式性質計算行列式
題型2.1.2.4 利用秩、特徵值、相似矩陣等計算行列式
考點2.1.3 克萊姆法則的應用
題型2.1.3.1 求方程組AX=b的唯一解或判定方程組AX=0只有零解
題型2.1.3.2 已知方程組An×nX=0只有零解或有非零解，確定待求常數
第2章 矩陣
考點2.2.1 矩陣運算
題型2.2.1.1 利用矩陣乘法的結合律計算乘積矩陣
題型2.2.1.2 計算矩陣的高次冪
題型2.2.1.3 證明抽象矩陣可逆，並求其逆矩陣的表示式
題型2.2.1.4 求元素已知的矩陣的逆矩陣
考點2.2.2 求解與伴隨矩陣有關的問題
題型2.2.2.1 計算與伴隨矩陣有關的矩陣行列式
題型2.2.2.2 求（A）—1或（A1）
題型2.2.2.3 求與伴隨矩陣有關的矩陣的秩
題型2.2.2.4 求伴隨矩陣的表達式
考點2.2.3 求矩陣的秩
題型2.2.3.1 求數字型矩陣的秩
題型2.2.3.2 求抽象矩陣的秩
題型2.2.3.3 已知矩陣的秩，求其待定常數或其待定常數所滿足的關系
考點2.2.4 求解矩陣方程
題型2.2.4.1 求解單個矩陣方程
題型2.2.4.2 求解矩陣方程組
考點2.2.5 求解與初等變換有關的問題
題型2.2.5.1 用初等矩陣表示初等變換
題型2.2.5.2 利用初等矩陣及其性質表示變換前或變換後的矩陣或 運算後的矩陣
題型2.2.5.3 討論等價矩陣的有關問題
……
第3章 向量
第4章 線性方程組
第5章 矩陣的特徵值和特徵向量
第6章 二次型
第3部分 概率論與數理統計
第1章 隨機事件與概率
第2章 一維隨機變量及其分佈
第3章 二維隨機變量及其分佈
第4章 隨機變量的數字特徵
第5章 大數定律和中心極限定理
第6章 數理統計的基本概念
第7章 參數估計
附錄 1997—2012年考研數學三試題

第4章線性方程組
考點2.4.1 線性方程組解的判定
題型2.4.1.1 判定齊次和非齊次線性方程組解的情況
命題2.4.1.1 （1）齊次線性方程組Am×nX=0只有零解的充要條件是系數矩陣A為列滿秩矩陣，即秩（A）=n，有非零解的充要條件是秩（A）
（2）齊次線性方程組Am×nX=0僅有零解的充要條件是A的列向量組α1，α2，…，αn線性無關，有非零解的充要條件是A的列向量組線性相關。
（3）當m=n時，齊次線性方程組Am×nX=0僅有零解的充要條件是|A|≠0，有非零解的充要條件是|A|=0。
命題2.4.1.2設A為m×n矩陣，令增廣矩陣A=EA|b]，則方程組AX=b解的情況如下。
（1）無解秩（A）≠秩（A）； （2）有解秩（A）=秩（A）；
（3）有唯一解秩（A）=秩（A）=，2； （4）有無窮多解秩（A）=秩（A）
例2.4.1.1［1997年4]非齊次線性方程組AX=b中未知量個數為n，方程個數為m，系數矩陣A的秩為r，則（ ）。
（A）r=m時，方程組AX=b有解 （B）r=n時，方程組AX=b有唯一解
（C）m=n時，方程組AX=b有唯一解 （D）r
[解題思路]非齊次線性方程組解的情況常用命題2.4.1.2判別，為此應首先考察秩（A）與秩（A）是否相等。
解一 因A為m×n矩陣，若秩（A）=m，則m=秩（A）≤秩（[A|6]）≤m，於是秩（A）=秩（［A|b]）=m，故方程組AX=b當秩（A）=m時必有解。僅（A）jk選。
解二 由秩（A）=m知，A的行向量組線性無關，其延伸向量組必線性無關，故增廣矩陣[A|b]的m個行向量也線性無關，故秩（A）=秩（[A|b）=秩（A）=m，所以僅（A）入選。
解三 因選項（B）、（C）、（D）中均不能保證秩（A）=秩（[A|6]），因而都不能保證方程組有解，更談不上是唯一解或無窮多解。
上例選項（A）中的結論可寫成如下命題的形式，可直接使用。
命題2.4.1.3設A為m×n矩陣，若秩（A）=m，則對任意m維列向量b，方程組AX=b均有解。
至於有唯一解還是有無窮多解，需進一步考察m與n的關系（m=n或m
[考查知識點]方程組AX=b有解的充分條件。
例2.4.1.2［2001年3]設A是n階矩陣，α是n維列向量，若秩（Aα/αr0）=秩（A），則線性方程組（ ）。
（A）AX=α必有無窮多解。 （B）AX=α必有唯一解。
（C）[Aα/αr0]=0僅有零解。 （D）[Aα/αr0][Xy]=0必有非零解。
[解題思路] 判定齊次線性方程組解的情況的關鍵是要弄清楚該方程組的未知數個數與系數矩陣秩之間關系。