沒有王者之路：幾何原本（簡體書）

《沒有王者之路:幾何原本》內容簡介：《原本》成書于公元前三百年左右，距離今天兩千三百年，《原本》的作者是亞歷山德拉的歐基里得（Euclid of Alexandria），他的生卒年根據推測大概是公元前330～260年，正是馬其頓英主亞歷山大開始發展勢力，開創希臘化文化的初期。《原本》是一本數學著作，章節安排有著嚴謹的結構，全書由定義、公設、設準、命題（定理）、證明，以及符號和圖像所構成，全書共十三卷。
《原本》其實是歐基里得將古希臘數學集大成的著作，包括了希臘科學數學家：泰利斯、畢達哥拉斯、希波克拉提斯等人的成果。導讀者翁秉仁教授認為《原本》之所以是經典，是因為歐基里得采用了非常特殊的編纂法，就是推理的方法或邏輯。歐基里得的原創性不是表現四百多個命題的敘述，因為許多命題在當時是已知的知識。歐基里得的天才表現在他有精準深刻的眼光，選擇恰當的公設，又有驚人的推理能力，可以一步步將這許多命題整合成一個體系。引用笛卡兒的譬喻，歐基里得不是只找出一條鐵鏈，而是將許多條推理的長練，編織成一張鐵鏈網，將所有的《原本》命題都固定在五個牢靠的首環上，亦即五個公設上，包括著名的“平行公設”。

原著：（古希臘）歐幾里德 導讀作者：翁秉仁 插圖者：Akibo

翁秉仁，1960年生，1991年美國加州大學博士。目前為臺灣大學數學系副教授，研究興趣為拓樸學與幾何學。「數學知識網站」的負責人。
Akibo，藝術家、設計師。曾任實踐大學應用美術系講師、國立臺灣師范大學駐校藝術家，現任臺北科技大學互動媒體設計研究所講師，Akibo Works 負責人。曾為臺灣流行音樂創作許多令人矚目的經典設計；同時他也創作許多機器人作品，從純藝術創作擴及到商業品牌、表演藝術、公共藝術到等各個領域。

《沒有王者之路:幾何原本》編輯推薦：羅素曾經這樣形容某本書給他的讀後感：“宛如初戀，我從沒想到世上有如此甘美的事物。”他說的不是愛情小說，而是由謎一般的歐幾里得所寫的《原本》。理解《原本》價值的人，都經歷過類似的心路歷程：突然意識到自己憑借著思考，就能在變化復雜的現實世界中，推論出確定的知識，中間沒有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地。
這就是《原本》的魔力。

大約一百年前，甘地在非洲當律師。有天，他要搭長途火車，朋友在月臺上送了他一本書。火車抵站的時候，他讀完了那本書，知道自己的未來從此不同。因為，“我決心根據這本書的理念，改變我的人生。”
日後，甘地被稱為“印度聖雄”的一些基本理念與信仰，都可溯源到這本書’。
閱讀，可以有許多收獲與快樂。
其中最神奇的是，如果我們有幸遇上一本充滿魔力的書，就會跨進一個自己原先無從遭遇的世界，見識到超出想象之外的天地與人物。于是，我們對人生、對未來的認知與準備，截然改觀。
充滿這種魔力的書很多。流傳久遠的，就有了“經典”的稱呼。
稱之為“經典”，原是贊嘆與敬意。偏偏，敬意也容易轉變為敬畏。因此，不論中外，提到“經典”會敬而遠之，是人性之常。
還不只如此。這些魔力之書的內容，包括其時間與空間的背景、作者與相關人物的關系、遣詞用字的意涵，隨著物換星移，也可能會越來越神秘，難以為後人所理解。
于是，“經典”很容易就成為“傳說中的書”——人人久聞其名，卻沒有機會也不知如何打開的書。
我們讓傳說中的書隨風而逝，作者固然遺憾，損失的還是我們。
每一部經典，都是作者夢想之作的實現；每一部經典，都可以召喚起讀者內心的另一個夢想。
讓經典塵封，其實是在封閉我們自己的世界和天地。
何不換個方法面對經典？何不讓經典還原其魔力之書的本來面目？
這就是我們的想法。
因此，我們先請一個人，就他的角度，介紹他看到這部經典的魔力何在。
再來，我們以跨越文字、繪畫、攝影、圖表的多元角度，來打開困鎖住魔力之書的種種神秘符號。
然後，為了使現代讀者不會在時間和心力上感受到太大壓力，我們挑選經典原著最核心、最關鍵的篇章，希望讀者直接面對魔力之書的原始精髓。此外，還有一個網站，提供相關內容的整合、影音數據、延伸閱讀，以及讀者互動的可能。
因為這是從多元角度來體驗經典，所以我們稱之為《經典3.0》。
最後，我們邀請的就是讀者，您了。
您要做的唯一的事情，就是對這些魔力之書的光環不要感到壓力，而是好奇。
您會發現：打開傳說中的書，原來就是打開自己的夢想與未來。

02 他們這么說這本書
04 與作者相關的一些人
06 這本書的事情
08 這位作者的事情
10 這本書要你去旅行的地方
13 導讀 翁秉仁
63 隱藏在Akibo機器人幾何世界里的公設與命題Akibo
81 原典選讀 歐幾里得原著
116 這本書的譜系
118 延伸的書、音樂、影像

作為“經典”的有力證明
當讀者知道這本經典竟然是一本初高中程度的數學書時，也許覺得很泄氣又疑惑，納悶數學書怎么可以比得上《莊子》、《詩經》或者莎士比亞的大著？在我們的教育里，數學或科學一向被塑造成困難又技術性的無聊學科，對一般人來說，除了考試之外，根本和我們沒有什么關系，讀者如果這樣想其實并不奇怪。但是，《原本》到現在流傳一千多種版本，除了《聖經》之外，這本書是現存版本最多的書籍，這表示它有極高的傳抄度與傳播價值。《聖經》的重要性廣為人知，但為什么第二名竟然會是一本數學書呢？《原本》也是年代最久遠、最成功、影響最深遠的教科書──一本教科書可以跨越時空、擁有多達一千多種版本，當然有著非常重要的意義在里頭。
《原本》是西方到二十世紀之前，知識分子或是精英教育必讀的經典，地位就像中國人的《四書》。中世紀時，西方大學有所謂的“四藝”，學生要學算術、幾何、音樂跟天文，研讀《原本》是當時精英想掌握知識的基本訓練。當然這種教育和現代普及教育很不一樣，當時的讀書人很少。
讓我再舉一些知名《原本》讀者的話來佐證。愛因斯坦無疑是當世最知名的物理學家，是大家談到“天才”一詞時的首選。愛因斯坦這樣說過：
十二歲剛開學時，我經歷了人生……奇妙的事，一本處理歐氏幾何的小書，上頭提到三角形的三高交于一點，這件事絕非顯然，但是書上卻以不容置疑的確定性，證明了這個命題。那種清澈與確定的感覺，讓我留下難以形容的印象。
再舉個例，我拿到這本神聖幾何小書前，舅舅曾經告訴我勾股定理，經過一番奮斗後，我用相似三角形的方法“證明”了這個定理，任何人第一次經歷這種事，都會覺得人類竟然能夠達到這樣的確定性與純粹思考，實在是不可思議。

這兩段話最重要的是後面的結論，理解《原本》價值的人都經歷過類似的心路歷程，突然意識到自己憑借著思考，就能在變化復雜的現實世界中，推論出確定的知識，中間沒有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地。
同樣的感受，也見諸英國知名的知識分子羅素。羅素的散文清晰而睿智，是諾貝爾文學獎的得主。他和數學的關系不深，但對數學哲學與分析哲學卓有貢獻，他說過：

我十一歲開始跟哥哥讀歐幾里得，這是我一生中的大事，宛如初戀，我從沒想到世上有如此甘美的事物。

由此可知《原本》有一種魔力，讓這兩位智慧超絕的大師在年少時，就受到莫大的吸引。
接下來看看第十六任美國總統林肯的說法：

最後我對自己說，林肯，如果你始終搞不懂“證明”是什么，就別當律師了。所以我放棄春田市的工作，回到父親家，直到我能夠將身邊歐幾里得六卷中的命題都做出來，我才繼續回去研究法律。

林肯是律師出身，他當時在春田市剛開始當助理見習，受到挫折，因此回家躲起來練功，直到練完《原本》的前六卷，理解了證明的精義，才有信心繼續律師的事業。這是因為《原本》的思考方式和律師論證的方式一樣，需要嚴格的推理。
《幾何原本》譯者徐光啟是農家子弟，四十二歲中進士，跟利瑪竇學習西法，四十四歲開始跟利瑪竇合譯《幾何原本》，他是西風東漸早期，最能夠鑒賞西方思想的華人之一。底下段落節自《幾何原本》卷首之《幾何原本雜義》：

此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。
這是對《原本》很高的推崇，表示《原本》的結構嚴謹，內容知識確定，沒有可以懷疑和更動的空間。接著下面這段話很有意思：
有三至三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以其易易他物之至難。易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已。

學過初中數學尤其是幾何證明的讀者，對他這段話必定感到心有戚戚焉。沒學懂的，覺得數學真是晦澀、繁雜、困難。但是偏偏那些學懂的，說數學其實很明白、簡單、容易，而且他們還不是嘴巴上說說而已，面對一堆數學問題時，好像真的掌握了什么鑰匙，一通百通。徐光啟顯然也經歷過這樣的震撼，然後他反省出中間的道理：我們之所以覺得容易，是因為其中的道理簡單，而之所以簡單，則是因為原理很明白，是每個人直覺就知道的事情。
徐光啟是進士，對漢學傳統中抽象思想的部分有一定的理解，中國思想中儒道釋都有玄談的一面，像這類以至易御至難的文字并不少見，但是漢文化的玄學，通常以比附類推這種“闡釋”型、後見之明思想居多。但是《原本》卻不是玄學，是真正有用的以簡馭繁之學，徐光啟寫這段話必定心中頗有感觸，想必是讓他把《原本》這門西學引入中國的原因之一。
往聖先賢的數學知識
《原本》有兩個基本要素。首先，它的內容，也就是當時已知的數學知識，部分是兩河流域文明、埃及文明已經知道的經驗知識；有些是希臘先賢發展的數學知識，大部分都不是歐幾里得的個人創見。
經驗知識是從操作和觀察中所得到的知識，可能正確，也可能錯誤。例如許多文明都知道圓“周三徑一”，也就是圓周長是半徑的三倍，這是實用的錯誤知識。又例如許多文明知道3、4、5構成直角三角形的三邊長，這是實用的正確知識。重點是，他們原來并不知道這些知識到底是對還是錯。人類的素樸數學知識，很像小學時代學習數學的探索
方式。譬如說我要看三角形內角和是不是180度，可去剪幾個三角形量量看，這樣的結果當然不可靠，因為光靠測量結果所歸納的知識，可能只是近似的對，通常也只是孤立的知識。他們多半不知道手邊的知識，彼此之間是不是有關聯。
比如光知道3、4、5構成直角三角形的三邊長，和確定知道任意直角三角形，兩短邊的平方加起來是最長邊（斜邊）的平方（也就是勾股定理），這兩者的知識層級相去甚遠。來自早期文明的素樸數學知識通常只是經驗有用的法則。
不過《原本》的內容倒不全是素樸知識，其中也有比較成熟的數學知識。歐幾里得并不是古希臘的第一個數學家，上文提過在他以前的很多先驅者，均是天文、數學或哲學上的大家。泰利斯經常被稱為“西方科學之父”，因為他是第一個用理性方式思考宇宙原理的人；畢達哥拉斯創立了畢氏學派，他有非常完整的數學哲學，認為宇宙萬物都是數，因此一定有辦法用數的學問來理解這個宇宙。勾股定理一般認為是畢達哥拉斯或畢氏學派的杰作，這表示他們至少能局部上證明數學定理。尤多瑟士的“窮盡法”是極限概念的先聲，他和後來的希累提特斯打造了無理數的理論，發展“不可公度量”的概念。這些都收錄在《原本》中。
事實上，到了柏拉圖時代，希臘文化已經十分尊崇幾何學。柏拉圖在雅典開創的雅典學院，提供知識分子學術思辨與教育傳承的場所，號稱史上第一所大學。據說在學院入口的大門上刻著“不識幾何學不能入此學院”的教箴。柏拉圖甚至還說過“上帝以幾何造世”（God ever geometrize）的名言。因此，身為雅典學院的傳人，歐幾里得在撰寫《原本》時，面前已經有許多已知的數學知識，因為先驅者已經提煉出許多經過思考、成熟度不一的材料。他所面臨的問題，是如何編纂這些數學知識。如果他只是將這些知識羅列起來，按照人名或領域來分門別類或排序的話，那么《原本》就根本稱不上偉大。《原本》之所以是經典，就是因為歐幾里得采用了非常特殊的編纂法，這就直接牽涉到《原本》背景的第二個基本要素。
掌握邏輯推理的鑰匙《原本》的第二個要素，簡單地說，就是推理的方法或邏輯。柏拉圖時代的雅典社會，是基于奴隸制的民主城邦社會。雅典人喜歡議論或辯論，也讓他們從經驗里慢慢發展出嚴格的推理邏輯。希臘哲學家蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德號稱“希臘三哲”，他們的思想是西方思想的源頭。我們從柏拉圖著作中所記載的蘇格拉底言論，還有柏拉圖、亞里士多德的著作中，知道希臘人掌握了這樣的思考方法。
思考推理的方法脫胎于人類的言語方式。只是希臘哲學家，從里面整理出推理的規則。比如柏拉圖非常重視敘述的真假、有效的推理、運用定義的方法，而他的學生亞里士多德，更完成了第一個邏輯推理體系。推理方法是歐幾里得編纂《原本》的重要基礎。
所謂推理方法，就是思考時，能夠從前面的敘述推出後面結論的正確方法。希臘哲學家看出一個關鍵點：當我們思考時，必須嚴格遵守推理的形式，不然思考就有陷入錯誤的危險；至于思考過程的正確與否，并不能依靠結論的真假來判斷。舉一個簡單的例子，假設“所有動物都會死亡”，那么因為“人是動物”，所以你可以推論出“人會死亡”的結果，這是一個正確的推論形式。我們現在套用這個形式，假設“所有動物都是卵生”，都要產卵孵育下一代，那因為“人是動物”，所以“人是卵生”的。請注意，這個推論是正確的，因為它遵守了正確的推理形式。當然，人是卵生動物是荒謬的，但這并不表示推理過程的形式有誤，而是一開頭的前提“所有動物都是卵生”是錯的。
再舉一個反面的例子。假設“所有動物都會死亡”，那么因為“人會死亡”，所以“人是動物”。這看起來好像很正確，因為結論是對的，但即使上面三個敘述都是對的，其實這段推理仍然是錯謬的。為什么呢？只要舉出一個反例就可以證明了。例如“蘭花也會死亡”，按照上面的“推理”方式，就應該推論出“蘭花是動物”，這當然是荒謬的。我們從正確的前提，卻“推論”出錯誤的結論，這表示這種推理形式是錯誤的。所以，推論的重點在于形式，并不是其中牽涉到的敘述都對，推論就一定正確。