數學分析(第二冊)（簡體書）

本書是綜合性大學和高等師範院校數學系本科生數學分析課程的教材。全書共分三冊。第一冊共六章，內容為函數、序列的極限、函數的極限與連續性、導數與微分、導數的應用、不定積分；第二冊共六章，內容為定積分、廣義積分、數項級數、函數序列與函數項級數、冪級數、傅里葉級數；第三冊共五章，內容為n維歐氏空間與多元函數的極限和連續、多元函數微分學、重積分與廣義重積分、曲線積分與曲面積分及場論、含參變量的積分。本書每章配有適量習題，書末附有習題答案或提示，供讀者參考。作者多年來在北京大學為本科生講授數學分析課程，按照教學大綱，精心選取教學內容并對課程體系優化整合，經過幾屆學生的教學實踐，收到了良好的教學效果。本書注重基礎知識的講述和基本能力的訓練，按照認知規律，以幾何直觀、物理背景作為引入數學概念的切入點，對內容講解簡明、透徹，做到重點突出、難點分散，便于學生理解與掌握。本書可作為高等院校數學院系、應用數學系本科生的教材，對青年教師本書也是一部很好的教學參考書。

伍勝健

北京大學數學科學學院教授、博士生導師。1992年在中國科學院數學研究所獲博士學位。主要研究方向是復分析。在北京大學長期講授數學分析、復變函數、復分析等課程。

本書是高等院校數學、力學、應用數學等系本科生數學分析課程的教材。全書分三冊出版。本書是第二冊，內容包括多元函數微分學、重積分、曲線和曲面積分、外微分等。

第七章 定積分
7.1 定積分的概念與微積分基本定理
7.1.1 曲邊梯形的面積
7.1.2 定積分的定義
7.1.3 定積分的幾何意義
7.1.4 連續函數的可積性
7.1.5 微積分基本定理
7.2 可積性問題
7.2.1 可積的必要條件
7.2.2 達布理論
7.2.3 可積函數類
7.3 定積分的性質
7.4 原函數的存在性與定積分的計算
7.4.1 變限定積分
7.4.2 定積分的計算
7.5 定積分中值定理
7.5.1 定積分第一中值定理
7.5.2 定積分第二中值定理
7.6 定積分在幾何學中的應用
7.6.1 直角坐標系下平面圖形的面積
7.6.2 參數方程表示的曲線所圍平面圖形的面積
7.6.3 微元法
7.6.4 極坐標方程表示的曲線所圍平面圖形的面積
7.6.5 平行截面面積為已知的立體的體積
7.6.6 曲線的弧長
7.6.7 旋轉體的側面積
7.7 定積分在物理學中的應用
習題七
第八章 廣義積分
8.1 無窮積分的基本概念與性質
8.2 無窮積分斂散性的判別法
8.3 瑕積分
8.3.1 瑕積分的概念
8.3.2 瑕積分斂散性的判別法
習題八
第九章 數項級數
9.1 數項級數的基本概念
9.1.1 數項級數的基本概念
9.1.2 柯西準則
9.2 正項級數
9.2.1 比較判別法
9.2.2 達朗貝爾判別法與柯西判別法
9.2.3 拉貝判別法
9.2.4 柯西積分判別法
9.3 任意項級數
9.3.1 交錯級數的斂散性
9.3.2 狄利克雷判別法和阿貝爾判別法
9.4 數項級數的性質
9.4.1 結合律
9.4.2 交換律
9.4.3 級數的乘法（分配律）
9.5 無窮乘積
習題九
第十章 函數序列與函數項級數
10.1 函數序列與函數項級數的基本問題
10.2 一致收斂的概念
10.3 函數序列與函數項級數一致收斂的判別法
10.3.1 柯西準則
10.3.2 一致收斂的判別法
10.4 一致收斂的函數序列和函數項級數
10.4.1 極限函數的連續性
10.4.2 極限函數的積分
10.4.3 極限函數的導數
習題十
第十一章 冪級數
11.1 冪級數的收斂半徑與收斂域
11.1.1 冪級數的收斂半徑與收斂域
11.1.2 收斂半徑的求法
11.2 冪級數的性質
11.3 初等函數的冪級數展開
11.3.1 泰勒級數
11.3.2 初等函數的泰勒展式
11.4 連續函數的多項式逼近
習題十一
第十二章 傅里葉級數
12.1 函數的傅里葉級數
12.1.1 基本三角函數系
12.1.2 周期為2π的函數的傅里葉級數
12.1.3 正弦級數與余弦級數
12.1.4 周期為2T的函數的傅里葉級數
12.2 傅里葉級數的斂散性
12.2.1 狄利克雷積分
12.2.2 傅里葉級數的收斂判別法
12.3 傅里葉級數的其他收斂性
12.3.1 連續函數的三角多項式一致逼近
12.3.2 傅里葉級數的均方收斂
12.3.3 傅里葉級數的一致收斂性
習題十二
部分習題答案與提示
名詞索引