計算方法（簡體書）

《計算方法》比較全面地介紹了科學與工程計算中常用的計算方法，具體介紹了這些計算方法的基本理論與實際應用，同時對這些數值計算方法的計算效果、穩定性、收斂效果、適用范圍以及優劣性與特點也作了簡要的分析。全書共9章，內容包括引論、線性代數方程組求解方法、非線性方程求根、函數插值、函數逼近、矩陣特徵值與特徵向量的數值算法、數值積分與數值微分、常微分方程初值問題的數值解法、自治微分方程穩定區域的計算等。《計算方法》概念清晰，語言敘述通俗易懂，理論分析嚴謹，結構編排由淺入深，在分析問題時注重啟發性，例題選擇具有針對性且注重實際應用。前8章附有一定數量的習題，供讀者學習時進行練習。《計算方法》可作為高等院校數學與應用數學、信息與計算科學、應用物理學、計算機科學等專業的高年級本科生和工科碩士研究生使用，也可供從事科學與工程計算的科技工作者參考。

第一章 引論
1.1 計算方法的研究內容
1.2 誤差基礎知識
1.2.1 誤差來源與分類
1.2.2 絕對誤差和相對誤差
1.2.3 有效數字
1.2.4 數據誤差在運算中的傳播
1.3 數值計算中應注意的問題
1.3.1 算法的數值穩定性
1.3.2 避免誤差危害的若干原則
習題1

第二章 線性代數方程組求解方法
2.1 向量與矩陣基本知識
2.1.1 引言
2.1.2 句量和矩陣
2.1.3 特殊矩陣
2.1.4 向量與矩陣的范數
2.2 高斯消去法
2.2.1 高斯順序消去法
2.2.2 高斯主元消去法
2.3 矩陣的三角分解
2.3.1 直接三角分解法
2.3.2 平方根法
2.3.3 解三對角方程組的追趕法
2.4 矩陣的條件數與方程組的性態
2.5 解線性代數方程組的迭代法
2.6 基本迭代法
2.6.1 雅克比迭代法(J－迭代.法)
2.6.2 高斯－賽德爾迭代法(GS－迭代法)
2.6.3 逐次超松弛迭代法(SOR－迭代法)
2.7 迭代法的收斂性
2.7.1 一般迭代法的基本收斂定理
2.7.2 J－迭代法和GS-.迭代法收斂判定定理
2.7.3 SOR－迭代法收斂性判定定理
習題2

第三章 非線性方程求根
3.1 分法
3.2 迭代法
3.2.1 不動點迭代法
3.2.2 不動點迭代的一般理論
3.3 加速迭代收斂的方法
3.3.1 兩個迭代值組合的加速方法
3.3.2 三個迭代組合的加速方法
3.4 牛頓迭代法
3.5 弦割法與拋物線法
3.5.1 弦割法
3.5.2 拋物線法
3.6 非線性方程組零點的迭代方法
3.6.1 實值向量函數的基本概念與性質
3.6.2 壓縮映射原理與不動點迭代法
3.6.3 牛頓迭代法
習題3

第四章 函數插值
4.1 多項式插值問題
4.1.1 代數插值問題
4.1.2 代數插值多項式的存在性與唯一性
4.1.3 誤差估計
4.2 拉格朗日插值法
4.2.1 拉格朗日插值基函數
4.2.2 拉格朗日插值多項式
4.2.3 拉格朗日插值法截斷誤差及其實用估計
4.2.4 拉格朗日反插值方法
4.3 牛頓插值法
4.3.1 差商的概念與性質
4.3.2 牛頓插值公式
4.4 等距節點插值公式
4.4.1 差分的定義及運算
4.4.2 差分與差商的關係
4.4.3 等距節點插值公式
4.5 埃爾米(Hermit)插值公式
4.5.1 一般情形的埃爾米插值問題
4.5.2 特殊情況的埃爾米插值問題
4.6 分段低次插值
4.7 三次樣條插值方法
4.7.1 三次樣條插值的基本概念
4.7.2 三彎矩插值法
4.7.3 樣條插值函數的誤差估計
習題4

第五章 函數逼近
5.1 內積與正交多項式
5.1.1 權函數
5.1.2 內積定義及性質
5.1.3 正交性
5.1.4 正交多項式系的性質
5.2 常見正交多項式
5.2.1 勒讓德(Legendre)多項式系
5.2.2 第一類切比雪夫多項式系
5.2.3 第二類切比雪夫多項式系
5.2.4 拉蓋爾(Laguerre)多項式系
5.2.5 埃爾米(Hermite)多項式.系
5.3 最佳一致逼近.
5.3.1 最佳一致逼近概念
5.3.2 最佳逼近多項式的存在性及唯一性
5.3.3 最佳逼近多項式的構造
5.4 最佳平方逼近
5.4.1 最佳平方逼近的概念
5.4.2 最佳平方逼近函數的求法
5.4.3 正交多項式作基函數的最佳平方逼近
5.5 曲線擬合與最小二乘法
5.5.1 最小二乘曲線擬合問題的求解及誤差分析
5.5.2 多項式擬合的求解過程
5.5.3 正交函數系的最小二乘曲線擬合
5.5.4 用最小二乘法求解超定方程組
習題5

第六章 矩陣特徵值與特徵向量的數值算法
6.1 預備知識
6.2 乘冪法
6.2.1 主特徵值與主特徵向量的計算
6.2.2 加速收斂技術
6.3 反冪法.
6.4 雅可比方法
習題6

第七章 數值積分及數值微分
7.1 數值積分的基本概念
7.1.1 數值求積的基本思想
7.1.2 插值型求積公式
7.1.3 代數精度
7.1.4 收斂性與穩定性
7.2 牛頓－柯特斯求積公式
7.2.1 牛頓－柯特斯公式
7.2.2 幾個低階求積公式
7.3 復化求積方法
7.3.1 復化求積公式
7.3.2 變步長求積公式巾
7.4 龍貝格求積公式
7.4.1 龍貝格(Romberg)求積公式的推導
7.4.2 龍貝格求積算法的計算步驟
7.5 高斯型求積公式
7.5.1 高斯型求積公式的理論
7.5.2 幾個常用高斯求積公式
7.6 二重積分的求積公式
7.7 數值微分
7.7.1 計算數值微分的插值法
7.7.2 計算數值微分的泰勒展開法
7.7.3 計算數值微分的待定系數法
習題7

第八章 常微分方程初值問題的數值解法
8.1 引言
8.2 歐拉方法及其改進
8.2.1 歐拉公式
8.2.2 單步法的局部截斷誤差和階
8.3 龍格－庫塔方法
8.3.l龍格－庫塔方法的基本思想
8.3.2 龍格－庫塔方法的推導
8.4 線性多步法
8.4.l線性多步法的基本思想
8.4.2 線性多步法的構造
8.5 算法的穩定性及收斂性
8.5.1 算法的穩定性
8.5.2 算法的收斂性
8.6 一階常微分方程組與高階方程
8.6.1 一階常微分方程組
8.6.2 高階微分方程
8.7 解微分方程的波形松弛方法
8.7.1 微分方程初值問題的波形松弛方法
8.7.2 微分方程初值問題波形松弛方法的收斂問題
8.7.3 微分方程邊值問題的波形松弛方法
8.8 微分方程邊值問題的數值方法
8.8.1 打靶方法
8.8.2 有限差分方法
習題8

第九章 自治微分方程穩定區域的計算
9.1 自治微分方程的概念
9.2 穩定邊界上的平衡點
9.3 穩定域邊界的特徵
9.4 確定穩定域的一個算法
9.5 幾個系統穩定域的計算
習題參考答案
參考文獻