數學教學高手的秘密（簡體書）

全書緊緊圍繞“如何成為數學教學高手”這一主旨，緊扣教育教學實際，從“高手的專業修煉”“高手的教學探索”“高手的解題智慧”三個方面，系統總結數學名師林運來專業發展的經歷與經驗，告訴一線中學教師成為數學教學高手的實戰智慧，有助於一線教師找到快速成長的路徑與秘訣。此書是初高中數學教師打造有效課堂、成長為優秀教師的必備參考書。

林運來，高級教師，中國數學奧林匹克高級教練，福建省“十三五”數學學科帶頭人培養對象。在《中國教育報》等報刊發表論文100餘篇，多篇被人大複印報刊資料全文轉載，出版專著3部。主持全國教育科學“十一五”規劃課題一項，曾獲貴州省教育廳數學教育創新一等獎，所教學生高考總分曾獲全省第一、二、三名，個人事蹟被《貴州新聞聯播》等媒體報道。

·福建數學名師、中國數學奧林匹克高級教練林運來傾力之作。
·作者系統總結自身成長經驗，緊扣教育教學一線實際，接地氣，好學易懂。
·從專業修煉、教學探索、解題智慧三個方面剖析數學教學高手的秘密，明晰優秀教師的專業發展路徑，有助於一線教師找到快速成長的金鑰匙。
·基於教師專業發展素養，瞄準優秀教師成長特質，助力一線教師成為數學教學高手。

自序

在閱讀中求發展

與同行聽文科老師的公開課，特別是語文老師的課，大家總會感慨：“文科老師講課往往飽含感情、盪氣迴腸、擲地有聲，有的更是思接千古、縱橫馳騁、揮灑自如。他們的語言既有強大的思想說服力，又有強烈的文化感染力，娓娓道來，讓人如沐春風，感到意猶未盡，回味悠長。”相比之下，怎樣才能使數學教學稍有詩意呢？

當下，數學學科核心素養是數學教育界探討的熱點，無論是數學核心素養的培養，還是精彩課堂的呈現，都離不開數學教師，尤其是愛閱讀、有思想的數學教師。筆者曾在《閱中解“惑”，讀中導“學”》一文中談到教師閱讀的意義――解惑、促寫、刷新。只是，數學教師為什麼需要閱讀，應該讀什麼，怎麼讀，恐怕每個人的看法未必一致。這裡我結合自己的閱讀經歷和數學教師的專業發展，談談自己的點滴體會。

一、數學教師為什麼需要閱讀

張奠宙先生曾說道：“中學數學教育界那些世人公認的名師，哪個不是數學底蘊深厚、科學知識廣博的讀書人？”教師的學識從何而來？只能從閱讀中來，從學習實踐中來。教師應是讀書人。如果說書籍是知識的載體，那麼閱讀則堪稱人類的成長之道。從人類渴求不斷進步的角度來看，幾乎沒有什麼可以和閱讀的力量相媲美。閱讀，就是豐富開拓，就是能力的增長，就是思維的深入。每一個卓有成就的名師都是一個沉潛在閱讀和文化中的讀書者、思考者、研究者。閱讀有益於吸收知識、鍛煉思維、開闊眼界，更能讓人保持思想活力、得到智慧啟發、滋養浩然之氣。簡言之，閱讀就是為了更好地超越自己。

1、新手階段――閱讀是超越這個艱難階段可依賴的良伴

每個教師都會經歷新手階段，這是一個無法回避的事實。初為人師，需要一個適應期，這種身份和角色的轉換往往不會一帆風順，常常伴隨一些陣痛。“開學第一堂課，我要不要介紹自己？”“備了幾天的課，感覺幾分鐘就能講完，後面該怎麼辦？”上好第一堂課就是個大學問，遑論其他。有的教師還擔任班主任，學生違反紀律要怎麼教育？家長會該怎麼組織？班幹部隊伍如何組建？……這些問題常讓新老師焦頭爛額，深刻認識到要邊學邊做。閱讀是我們超越這個艱難階段最可依賴的良伴，有針對性地進行閱讀必然能縮短自己的職業適應期。

我們選擇怎樣的閱讀，閱讀就用怎樣的方式塑造我們。新手階段，閱讀多是為解決自己所面臨的棘手問題，常常“臨時抱佛腳”，要用什麼就讀什麼，屬￿應急性閱讀，所選書籍多以案例型、經驗型為主，功利性較強。而獨立思考的能力，跳出思維定勢的眼光，想要每天學到新東西的衝勁，則是這一階段更為珍貴的東西。

2、勝任階段――閱讀是積澱智慧更好地服務教學的良方

從教五年左右，教師在課堂上站穩了腳跟，有了一定的教學經驗，能勝任教學工作，這時讀書也就不完全是為了獲取知識得以應急，更多的是為了從書中汲取教學智慧，更好地服務教學。教師的教學智慧在於“學以致用”，即運用日積月累的知識、底蘊和底氣，輕鬆自如地解決教學中的困惑和難題，提高教學效率。

每本書都會教給我們一些新東西，或者幫助我們以不同的眼光看待事物。正如著名作家尼爾·蓋曼所說：“你在對的年紀讀到的書，永遠都不會離你而去，可能你會忘記那些細節，但它一定盤旋在你心底靈魂深處，鮮少觸碰的那個領域，只要你需要它，你召喚它，它就會重新浮現。”

3、能手階段――閱讀是突破“高原現象”的不二法門

從教十年左右，教師專業成長進入成熟期。有的教師在教學一線長期摸爬滾打，成長為教學能手（骨幹教師、高級教師）後，就容易出現“車到站、船靠岸”的職業倦怠現象。在我們身邊，常聽到有教師說：“我這輩子只要評上高級就行了，其他沒什麼追求。”也有不少聰穎而又勤勉的教師在成為骨幹後，儘管仍懷揣夢想並奮力進取，卻很難再有實質性進步。專業發展上的超越和突破變得異常艱難，開始跨入了所謂專業發展的“高原期”。

蘇霍姆林斯基曾說：“讀書，讀書，再讀書――教師的教育素養正是取決於此。”書籍潛藏著無限的可能，是教師創造力的源泉，是教師成長的持久驅動力，優秀教師總是善於學習，閱讀是教師突破“高原現象”的不二法門。

二、數學教師讀什麼

依個人經驗來講，可以從以下三個方面著力。

1、數學期刊――豐富拓展之源

每一份期刊怎麼來的？經眾多的學科教研工作者實踐、思考、總結、打磨、篩選、修繕、編輯、出版而成！精雕細刻，百煉成鋼！中學數學專業期刊品種繁多，所刊載的論文涉及課程教材研究、課堂教學研究、解題研究、中高考研究、數學競賽研究、初等數學研究等數學教育教學的各個領域。數學專業期刊是數學教師從事教育教學研究的重要幫手，數學教師閱讀專業期刊不可或缺。閱讀《數學教育學報》《中學數學教學參考》等優秀期刊，有助於獲得數學教育最新的信息，豐富專業學識，提高專業能力，提升專業素養，積澱專業魅力。

2、數學經典著作――學科素養之基

有人提出經典必須具備四個特點：內涵的豐富性、實質的創造性、時空的跨越性、無限的可讀性。經典著作就是可以常讀常新的書，用當代意大利作家卡爾維諾的話來說，經典著作就是每次重讀都像初讀那樣帶來發現的書。

數學教育研究文獻也有經典之作，幾十年前寫成的論文和專著，到現在仍然有人願意看，因為對研究有啟發，對教學有指導。學習經典作品，可提升教師的學科素養。教師要反復讀經典。對數學教師而言，“認真讀點數學著作，將實踐的感性認識上升為理性認識，恐怕不是多餘的話”（張奠宙語）。當你讀完了一本經典著作的時候，你不僅僅是走進了數學的殿堂，更為重要的是，它會像明燈一樣指引並幫助你攀爬知識的山峰。

3、科學人文書籍――修身養性之道

除以上兩類書籍外，數學教師還可以由所教學科拓展開去，有意識地讀一些非專業書籍，比如文學、哲學與史學類書籍。龍應台曾說道：“文學讓你看見水裡白楊樹的倒影，哲學使你在思想的迷宮裡認識星座，從而有了走出迷宮的可能，歷史就是讓你知道，沙漠玫瑰有它特定的起點，沒有一個現象是獨立存在的。”每種閱讀都可汲取知識，“所有的個人閱讀都是有價值的”（吳非語）。有些書看起來與數學沒有直接關係，但讀一讀這些“閒書”，能拓展我們的視野，提升我們的思想格局，提高我們的人文素養，增強我們的人格魅力，提升我們的專業智慧。

三、數學教師怎麼讀書

讀書要有法。很多名人的“讀書之法”和“為學之道”，對我們數學教師的讀書學習，啟發良多，極有助益。

1、華羅庚“越讀越薄”法

著名數學家華羅庚說：“學習上切忌好高騖遠，急於求成，這使我明白了一條道理，就是：循序漸進，才是最好的辦法。”他反復強調讀書學習的兩個過程：從薄到厚，從厚到薄，就是既能把書讀厚，又能把書讀薄，讀薄就是抓住本質，抓住重點。抓住本質，才能更好地理解和提升數學核心素養。

2、毛澤東“三先三後”法

“先博而後約”，“先中而後西”，“先普通而後專門”，是毛澤東一生遵循的讀書之法。“先博而後約”，就是先博覽群書，廣泛地去讀，在此基礎上，再去讀比較重要的、比較關鍵的、比較喜愛的書。“先中而後西”，就是先下功夫讀中國的書，在熟悉、瞭解本國歷史、文化知識的基礎上，再去讀西方國家的書，學習研究西方國家的政治、經濟、歷史和文化等，為我所用。“先普通而後專門”，就是先讀一般的、通俗易懂的、大眾喜愛和需要的書，在這個基礎上再去讀專業的、專門學科的書。

閱讀重在積累。數學教師可以根據自己的優勢和短板，詢問、查找、確定自己的閱讀書目。讀書時要運用自己的智慧，有自己的獨立思考，取其精華，去其糟粕。要一邊讀一邊想，把所讀之書與同類書籍、文章聯繫起來讀，用心從細微之處感悟大道至簡，洞察皆學問。

四、寫在最後

如何促進教師專業發展？答案是豐富多彩的。不過要找到一件有長期受益的事情，並從中獲得幸福感――那就是閱讀。有了閱讀，我們的品味就會提高，我們的眼界就會拓寬，我們的生活就會變得無比豐富。

關於閱讀，有三個需要注意的方面。

第一，拒絕搶奪注意力的產品的誘惑。有人戲言“閱讀沒有那麼容易，每個人都有他的手機”。現在的世界是“屏”的，形形色色、熙熙攘攘，大小屏幕代替了書籍文本，鍵盤語音代替了信劄驛馬。喧囂多變的時代，好奇心指向的對象遍佈各個領域，身處浮躁的社會，個人很容易被焦慮和功利情緒裹挾，要保持平心靜氣，是莫大的考驗和修煉。閱讀代表著一種生活方式，不需要你辛苦存到一千萬元，不需要你住進高檔小區，只要一盞燈，一本書，一個角落，馬上就可以開始做。當然，閱讀說不上多“高大上”，但這點小小的愛好，卻能使我們沉潛下來，打開另一個世界的入口。在日常生活中，在工作忙碌之餘，儘量抽出一定的時間，看有深度的、優秀的書和文章，一張一弛地合理安排，這有助於不斷提升自己與世界對話的能力。

第二，培養閱讀興趣。閱讀興趣的發現與養護，關乎整個人生的生活和學習質量，值得每一個人認真思考，也需要我們在每時每刻都給予特別的關注。培養閱讀興趣需要發現的過程，更需要長久的寧靜。對每一個教師來說，詩和遠方都可歸結為閱讀――那個沉浸在書的世界中的孤獨身影，就是詩；而那些從書中獲得的知識，則成了他的遠方。

第三，為自己設定有意義的目標。每每獲得新知識，每每將新知識納入自己的思維體系，所帶來的快感是無與倫比的。閱讀是一個不斷吸收新思想、不斷形成新觀念、不斷習得新經驗的開放過程，把它安排進日程中，把書籍當作生活必需品，讓閱讀真正成為一種生活方式，讓閱讀美麗我們的每一寸時光吧。

閱讀是精神層面的追求，所以閱讀是件長效性的事，在書籍的世界中，回報不僅無法量化、物化，且需要長久的等待。不需要追求物質收益，也不需要苛求自己成為某領域的專家，它的意義是幫助你對抗平凡、瑣碎的日常生活，讓你的頭腦保持清醒。通過讀書，我們是否受到激勵、觸動與啟發，這是對我們為什麼要讀書，書讀得怎麼樣的最好回答。

中美兩道考題帶給我們的啟示

美國南加州中學一道有趣的數學試題：

Proof that girls are evil.（證明女孩是魔鬼。）

老師在試卷上給出證明該命題所需要用到的假設和已知條件，然後讓學生根據條件，證明假設成立。

我們先來看一看這道題的證明過程：

首先，“‘追’女孩需要時間和金錢”，那麼根據這個給出的假設條件可以得出：Girls=time×money（女孩等於時間乘以金錢）。

而我們知道“時間=金錢”，由這個已知條件可以得出：

Girls=money×money=(money)2，即女孩等於金錢的平方。

And because “money is the root of evil”（同時，因為“金錢是萬惡之源”），這句話中的英文單詞root本指根源，但在數學上卻表示平方根，因此從數學意義上可以得出：

Money=evil。

而女孩等於金錢的平方，將上式進行替代轉換後得到：

Girls=(evil)2。

上式中的根號和平方相抵，由此可以證明：

Girls=evil，即女孩是魔鬼。

思考1：這道題考什麼？

用我們的常規視角來分析，這樣的試題，沒有一個數字，沒有幾何圖形，還叫數學題嗎？證明的結果讓人感到莫名其妙，老師這麼考的目的是什麼？是不是另有深意呢？這讓我陷入了深思。

李邦河院士曾指出：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。”概念是數學思維方式構建或轉變的基石，核心概念更是數學教學的重大關切。然而，只有概念並沒有什麼實際意義，也不能表達一個完整的的思想，只有將概念和概念按一定的規則連接起來，才能形成命題，表達一個完整的思想。命題彩線串珠般把概念連接起來，共同編織光輝燦爛的數學理論體系，集中體現了人類對世界的認識成果。美國的數學教育正試圖證明這一點：數學不僅僅是計算和應用公式，數學的實質是思維方式，是演繹和歸納的邏輯思維方式。案例中，教師給予一定的假設和條件（主要就是概念），要求學生依據這些假設和條件，通過全方位的思考和辨析，由淺表向縱深發展，漸漸探尋到問題的本源，進而證明“女孩=魔鬼”，這就使得一些“純數學”的抽象概念迅即人文化、具體化了。在命題的證明中，學生思維的條理性和嚴密性都得到了一定程度的增強，提高瞭解題能力和處理信息（教師給出的各種假設）的能力，逐步體會到“言必有據”的推理特徵，使懵懂的孩子領悟理性的精神，接受古希臘理性文明的洗禮，在內心深處出現了理性文明的震撼。這種震撼，和欣賞羅中立的油畫，聽貝多芬的命運交響曲一樣，都是一次心靈的激蕩。

思考2：對命題有什麼啟示？

眾所周知，學生只有保持對數學的好奇心，主動去探索數學的基本規律，才能成為一個懂數學的人。我想，即使一個不喜歡數學學科的人，看到這樣的問題，一定也會眼前一亮，在心裡琢磨一下應該怎麼做吧？有評價者指出，這樣一道非常有趣的試題，即使生性再懶惰的學生也會興趣盎然，因為這樣的試題可以讓學生自由發揮想像力，在享受考試的同時加深對一些知識的瞭解和掌握。

在教學中，如果我們只講解具體的知識點，而沒有讓學生去證實或偽證自己的假設，那就忽略了對學生的懷疑精神的培養。實際上，上面的這道考題對培養學生的演繹推理和歸納推理的能力而言，更具有前瞻性。反觀國內的數學試題，大部分都陷入單純的數字演算之中，為了知識而使數學失去了本來的豐富多彩，也使學生喪失了數學學習的興趣和熱情，其實是本末倒置。

我校“六年一貫制實驗班”招生考試的一道試題：

我國唐代的天文學家、數學家張遂曾以“李白喝酒”為題材編了一道算題：李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一鬥（鬥是古代酒具，也可作計量單位）。三遇店和花，喝光壺中酒，借問此壺中，原有多少酒？（要求寫出解題的思路）

這道開放性問題引發了我們的思考。

思考1：什麼樣的問題可以稱為好問題？

這道題的創新點主要有以下幾點：

第一，從問題創設看，具有很大的趣味性。問題以幽默詼諧的打油詩呈現，詩意明白，問題清楚――李白酒壺中原有多少鬥酒？

第二，從解法上看，可以順思，也可以逆想。順思即從“原有酒的數量”出發，“持因探果”，順流而下：設“壺中原有x鬥酒”，“遇店加一倍”――乘以2，“見花喝一鬥”――減去1，直至“喝光壺中酒”――結果為0。逆想即從“喝光壺中酒”――結果為0出發，“持果索因”，逆流而上：“見花喝一鬥”――把酒還入壺中，加上1，“遇店加一倍”――把酒還給店家，除以2。所以此題能很好地考查學生的分析和推理能力。

第三，從解題結果看，“三遇店和花”，沒有說明店和花的排列順序，所以店與花的順序不同，便有不同的結果，可謂“答案豐富多彩”，很好地考查學生的發散思維。

第四，從解題要求看，要求考生寫出自己的解題思路，也就是回答出“怎麼想到的”，對解法和結果要有一個“合理的解釋”，進一步考查了學生的邏輯思維能力和語言表達能力。

試題留給學生很大的想像空間，湧現出不少極富創意的答案。下面我們來看學生的精彩解答。

解法1：我認為李白最後一次遇到的不一定是“花”，下面我以“店花店花花店”為例，我的解答是（從最後一個空倒著填寫）：


順序店花店花花店
酒壺中的酒（鬥）121210

所以，酒壺中原有1鬥酒。

評析：這是解答的精彩之作，它構思新穎，沒有流於俗套（在網上有許多人對此題進行解答，都認為要喝光壺中的酒，李白最後一次遇到的一定是“花”）。在解答問題時，靈活運用數學中的逆向思維，巧妙地借助“表格法”，從最後的結果入手，通過填寫表格，“順藤摸瓜”，圓滿解決問題。解答簡便，操作簡單，因此思維顯得開闊、嚴謹。

還有學生把題目“還原”成一個故事，很有趣味性。

解法2：我想，李白“三遇店和花”的順序可能是“花花花店店店”，他的酒壺中原有3鬥酒，第一次遇見花，喝了1鬥，第二次又遇見花，喝了1鬥，第三次還是遇見花，喝光了壺中最後1鬥酒，這時，李白已經喝得快醉了。他遇到一家酒店，準備買點酒，於是走到店裡，對店小二說：“店家，買酒！”店小二說：“買多少？”“裡面有多少就買多少！”店小二一看，怎麼一個空壺？不行，這位客官喝多了，不能讓他再喝了，於是，把壺還給了李白。後來，李白遇到兩家酒店，也都是同樣的結果。於是，李白拿著空壺回家了。

總之，此題涉及對“三遇店和花”順序的不同排列，於是，問題有多種答案（經過計算可知，不同的排序結果有20種）。雖然沒有要求學生回答出所有的結果，但學生的每一種解答，都很好地展現了學生的數學思維，讓我們看到學生的智慧在閃光。

上面兩道考題展現出命題的異曲同工之妙，演繹隔海相望的兩個不同國度的精彩。這樣的試題可以稱為好的問題。

思考2：“分數重要”還是“思維重要”？

1984年4月20日，錢學森接受北師大附中教師訪問時說，自己念書時附中的選修課很多，“每天中午大家吃了午飯，在教室裡互相交談感興趣的各種科學知識，數學的、物理的、化學的，什麼都有……”可以看出，那時的學生沒有考試追高分的壓力，他們把大量的時間用來“玩”，其實他們的“玩”，就是讀課外書、動手實驗和外出實踐。正是這種沒有過多限制、形式多樣的教育讓錢老對知識充滿了興趣，他博覽群書，對探索新知充滿了興趣。著名數學教師傅仲孫先生提倡創新，在給學生的測驗評分時別出心裁，如果出5道題，學生都答對了，但解法平淡，只給80分；如果答對4道題，但解法有創新，就給100分，還要另加獎勵。

在考試中出現這樣的題目，有利於學生獨立思考能力和發散性思維的培養，無疑是對現行“填鴨式”教學、“唯標準答案”考試進行糾偏的有力嘗試，體現了“創造力與想像力遠比記憶力更重要”，對培養學生的創新精神大有裨益。

在數學學習中，具體的知識學習多年後學生會逐漸忘卻，但是研究問題的方法和思路一旦領會就終生難忘，這才是數學教育給予學生的長遠影響和一生中取之不完的利息。

《學會生存》一書對未來教師是這樣描述的：“教師的職責體現在越來越少地傳授知識，而越來越多地激勵思考；他必須集中更多的時間和精力從事那些有效果和有創造性的活動。”試想，一個沒有創新思維、固步自封的教師，怎麼能培養出具有創新思維和能力的學生？而一個觀念開放、思維活躍、態度積極、對未來科學發展方向有著較為敏銳眼光的教師，對培養孩子的創新能力有著積極的影響，正如陳景潤解決哥德巴赫猜想，是由他的老師提起而激發出其解決的欲望。