理論力學(第二版)（簡體書）

本書是普通高等教育“十三五”規劃教材，根據教育部制定的理論力學課程要求編寫，初衷是為讀者提供一本既適合課內學習，又便于課外深造的教學資料。本書內容包括靜力學、運動學、動力學三部分，其中帶“*”章節屬于非基本要求的內容，為相關專業教學選用內容。章后給出了“思考空間”，對章節內容進行總結升華，將前后內容“承上啟下”，為后續課程“牽線搭橋”；習題部分突出了題目的工程背景，增加了開放性的研究型題目，配合綜合應用能力培養以及創新教育的需求。

目錄
緒論　1
第一篇　靜力學
第1章　靜力學基礎　3
1.1　力及其表示法　3
1.1.1　力　3
1.1.2　力的投影和分析表示法　4
1.2　剛體與變形體　4
1.3　力系平衡的幾個公理　5
1.3.1　力的平行四邊形公理　5
1.3.2　二力平衡公理　7
1.3.3　加減平衡力系公理　7
1.3.4　剛化公理　9
1.4　常見約束　約束反力　11
1.4.1　自由體　非自由體　約束　11
1.4.2　常見約束及其約束反力　11
1.5　分析受力　受力圖　15
思考空間　18
習題　18
第2章　剛體上力系的等效與簡化　21
2.1　力矩　21
2.1.1　力對點之矩　21
2.1.2　力對軸之矩　22
2.1.3　力對點之矩與力對軸之矩的關係　22
2.2　力偶　24
2.2.1　力偶、力偶的性質　24
2.2.2　力偶系的合成與平衡　25
2.3　力系的簡化　28
2.3.1　力的平移定理　28
2.3.2　力系的主矢、主矩及力系簡化　29
2.3.3　力系的合成結果　30
2.3.4　平行力系的簡化、重心、質心與形心　32
思考空間　35
習題　35
第3章　力系的平衡　40
3.1　一般力系的平衡問題　40
3.1.1　一般力系的平衡條件　40
3.1.2　特殊力系的平衡條件　40
3.2　靜定、靜不定問題　44
3.3　剛體系統的平衡　46
3.4　平面桁架內力計算　49
3.4.1　理想桁架模型的建立　50
3.4.2　理想桁架的內力計算　50
思考空間　52
習題　52
第4章　考慮摩擦的平衡問題　59
4.1　摩擦　59
4.2　摩擦角　自鎖現象　60
4.3　考慮摩擦的平衡問題　61
4.4　滾動摩阻　66
思考空間　67
習題　68
第二篇　運動學
第5章　運動學基礎　73
5.1　點的運動　73
5.1.1　矢徑法　74
5.1.2　坐標法　74
5.2　剛體的基本運動　81
5.2.1　剛體的平動　81
5.2.2　剛體的定軸轉動　82
思考空間　85
習題　85
第6章　點的複合運動　90
6.1　複合運動中的基本概念　90
6.1.1　工程中點的複合運動舉例　90
6.1.2　一點、兩系、三種運動　90
6.1.3　動點的運動方程、三種速度與加速度　91
6.2　點的速度合成定理與加速度合成定理　93
6.2.1　速度合成定理　93
6.2.2　加速度合成定理　93
6.2.3　幾何特例證明加速度合成定理　94
6.3　點的速度、加速度合成定理的應用　95
思考空間　103
習題　103
第7章　剛體的平面運動　109
7.1　剛體平面運動方程及運動分解　109
7.1.1　平面運動方程　109
7.1.2　剛體平面運動分解為平動和轉動　110
7.2　剛體平面運動的速度分析　110
7.2.1　速度合成法(基點法)　110
7.2.2　速度投影法　112
7.2.3　速度瞬心法　113
7.3　剛體平面運動的加速度分析　116
7.4　剛體繞平行軸轉動的合成　123
思考空間　126
習題　127
第8章　剛體定點運動和剛體一般運動　134
8.1　定點運動剛體的位置描述　歐拉角　瞬時轉軸　134
8.1.1　方向餘弦矩陣　134
8.1.2　歐拉角　135
8.1.3　瞬時轉軸　136
8.2　定點運動剛體的角速度　剛體上各點的速度　137
8.2.1　定點運動剛體的角速度　137
8.2.2　剛體上各點的速度　138
8.2.3　科里奧利公式　138
8.2.4　速度的矩陣表示法　139
8.3　定點運動剛體的角加速度　剛體上各點的加速度　139
8.3.1　定點運動剛體的角加速度　139
8.3.2　剛體上各點的加速度　140
8.4　剛體繞相交軸轉動的合成　141
8.4.1　角速度合成公式　142
8.4.2　角加速度合成公式　142
8.5　剛體一般運動　146
8.5.1　廣義坐標　運動方程　146
8.5.2　一般運動分解為平動與定點運動　剛體上一點的速度、加速度　147
思考空間　148
習題　149
第三篇　動力學
第9章　質點運動微分方程　151
9.1　研究質點動力學的意義和方法　151
9.2　質點運動微分方程　152
9.3　質點在非慣性系中的運動　157
9.3.1　質點相對運動微分方程　157
9.3.2　考慮地球自轉時地球表面附近物體的運動　158
思考空間　161
習題　161
第10章　質點系動量定理與動量矩定理　165
10.1　質點的動量定理與動量矩定理　165
10.1.1　質點動量定理　165
10.1.2　質點動量矩定理　166
10.2　質點系動量定理　166
10.2.1　質點系動量　166
10.2.2　質點系動量定理　168
10.2.3　質心運動定理　171
10.2.4　變質量系統的質心運動微分方程　174
10.3　質點系動量矩定理　176
10.3.1　質點系動量矩　176
10.3.2　質點系動量矩定理　177
10.3.3　質點系相對質心的動量矩定理　179
10.3.4　剛體平面運動微分方程　180
10.4　動量定理、動量矩定理綜合應用　182
思考空間　186
習題　187
第11章　剛體定點運動及一般運動動力學描述　194
11.1　剛體定點運動微分方程　194
11.1.1　慣量矩陣　慣性主軸　194
11.1.2　剛體定點運動微分方程　196
11.1.3　軸對稱自轉剛體的規則進動　196
11.1.4　三自由度陀螺的力學特性　199
11.1.5　剛體繞慣性主軸自轉的穩定性討論　202
11.2　剛體一般運動微分方程　203
思考空間　206
習題　206
第12章　動能定理　208
12.1　力的功　208
12.1.1　功的定義　208
12.1.2　幾種常見力的功　209
12.1.3　約束力的功　211
12.1.4　質點系內力的功　212
12.2　動能　212
12.2.1　質點的動能　212
12.2.2　質點系的動能　柯尼西定理　213
12.2.3　剛體的動能　213
12.3　質點系動能定理　215
12.4　動能定理應用舉例　216
12.5　動力學綜合問題舉例　218
思考空間　222
習題　223
第13章　達朗貝爾原理　227
13.1　達朗貝爾原理　227
13.1.1　慣性力　質點達朗貝爾原理　227
13.1.2　質點系的達朗貝爾原理　228
13.2　慣性力系簡化　229
13.2.1　慣性力系的主矢和主矩　229
13.2.2　剛體慣性力系的簡化　230
13.2.3　動靜法的應用　232
13.3　軸承動約束力　236
13.3.1　定軸轉動剛體的慣性力系簡化　236
13.3.2　定軸轉動剛體軸承的動約束力　237
13.3.3　消除轉子動約束力的途徑　237
思考空間　238
習題　239
第14章　虛位移原理　243
14.1　對矢量力學方法的回顧　243
14.2　約束及其分類　約束方程　自由度　244
14.2.1　約束及其分類　約束方程　244
14.2.2　自由度　246
14.3　虛位移　247
14.4　理想約束　249
14.5　虛位移原理　250
14.5.1　虛位移原理的表述　250
14.5.2　虛位移原理的應用　251
14.6　多自由度情況下的虛位移原理　256
14.6.1　廣義坐標　廣義位移　256
14.6.2　廣義力　257
14.6.3　虛位移原理在廣義坐標中的表達形式　258
思考空間　259
習題　260
第15章　拉格朗日方程　263
15.1　動力學普遍方程　263
15.2　拉格朗日第二類方程　265
15.3　拉格朗日第二類方程的首次積分　271
15.3.1　廣義能量積分　271
15.3.2　循環積分　272
思考空間　274
習題　274
第16章　動力學專題　277
16.1　振動的基本理論　277
16.1.1　單自由度系統的自由振動　277
16.1.2　阻尼對自由振動的影響　282
16.1.3　單自由度系統的受迫振動　共振　285
16.1.4　阻尼對受迫振動的影響　287
16.1.5　振動的消減和隔離　290
16.2　碰撞　293
16.2.1　碰撞現象的特殊性　恢復因數　293
16.2.2　用於碰撞過程的基本定理　295
16.2.3　兩球的對心碰撞　297
16.2.4　碰撞衝量對定軸轉動剛體的作用　撞擊中心　301
習題　302
參考文獻　306
中英文名詞對照

緒論
1.理論力學的研究內容
理論力學研究物體機械運動的一般規律。所謂機械運動，是指所研究的物體相對另一參照物體，在空間位置隨時間變化的一種運動形式，其中的參照物體稱為參考體。與參照物相固連的坐標系稱為參考系。絕大多數工程問題，參考系固連於地球表面足以滿足要求，此時參考系又稱為慣性參考系。如果地球運動對所研究物體機械運動的影響不可忽視，則慣性坐標系必須固連在地球以外的物體上。理論力學屬於經典力學的範疇，研究宏觀、低速、慣性系下物體的機械運動。相對於慣性參考系靜止或者刀速直線運動的物體，稱其處於平衡狀態。平衡包含著兩層含義：首先是指一種特定的運動形式；其次則意味著為了維持平衡狀態，物體所受各力之間必然存在著的某種確定關係，通常稱為平衡條件，表達成數學形式則稱為平衡方程。與平衡狀態相對應的是非平衡狀態，如騰空而起的火箭，飛行的飛機，運轉的轉子，執行讀、寫任務的磁頭等，在力學中把這類物體歸結為運動學和動力學問題進行研究。
本門課程內容按照三部分進行組織。
靜力學：研究力系的簡化以及物體的受力及平衡條件。
運動學：從幾何的角度研究物體運動的幾何性質，包括位移、軌跡、速度、加速度，暫不涉及力。
動力學：研究物體運動與受力之間的關係，求解未知的運動量及力，涉及牛頓力學及分析力學。
解決好一個力學問題，通常包含以下四方面工作：
（1）建立合理的力學模型。圍繞所要解決的問題，考慮各主要影響因素，忽略一些次要因素，建立系統合理的力學模型（又稱物理模型）。
（2）建立數學模型。針對力學模型，運用相關的力學理論和數學工具，建立或推導所研究問題的基本方程，*後形成定解方程。此方程可能為線性代數方程、微分方程、非線性方程，或其他形式的方程。
（3）理論求解。求得方程的解以及研究解的性質，簡單問題可以求得解析解，複雜問題則需借助計算機進行數值求解。
（4）結果驗證及模型修正。驗證力學、數學模型的合理性，檢測所得結果的可信度，必要時對模型作出修正重新求解。
2.研究對象的初步分類
自然界和工程界的物體千姿百態，各不相同。不同類型的研究對像在研究方法上差異很大。為了便於問題研究，對各類物體初步進行理想化的抽象，分類如下。
質點：沒有大小但具有質量的點。這一概念*初來自對天體的運動研究，與天體之間的超遠距離相比，其自身的大小影響甚微，可視為質點。由牛頓定律即可建立質點的定解方程。
離散質點系：分散但相互間有某種聯繫的一群質點。例如，太陽系中的各天體以萬有引力相互聯繫，即組成一個離散質點系。至於具體的力學模型中需要考慮哪些質點，則由所研究的問題而定。
連續體：我們周圍的物體多數為具有一定大小，且質量連續分佈的物體，稱為連續體（與流體合稱為連續介質）。物體的幾何形狀可能比較簡單，也可能相當複雜。從邏輯上，連續體可看成由無限多個質點組成的連續質點系，但並非通過逐一研究各質點就能達到解決問題的目的。因此，建立直接研究連續質點系的有效工具就顯得十分必要。
離散質點系和連續體統稱為質點系，它們之間既有共性也有差別。這種差別主要體現在所使用的數學工具不同。
3.矢量力學方法和分析力學方法
力學的研究方法可分成矢量力學方法（又稱牛頓-歐拉力學）和分析力學方法（又稱拉格朗日力學）。矢量力學通過力的大小、方向及力矩表達力的作用。該方法相對比較直觀，在歷史上形成較早，因而人們比較熟悉；分析力學則通過力的功（確切說是虛功）表達力的作用，是牛頓定律與數學工具（特別是變分工具）相結合的產物。這種方法相對出現較晚，因而人們相對比較生疏。
4.與相關課程的聯繫和分工
早期的力學是物理學的一個組成部分，隨著研究的深入逐漸從物理學中分離出來而成為一門獨立的學科。物理學側重於物質世界基本規律的探討，力學則架起了基本物理規律與復雜工程實際間的一座橋樑。兩者的重要差別在於力學研究對象的多樣化及運動形式的複雜性。物理課程中已有的一些力學概念在本課程中將有新的內涵，物理課程中已有的一些力學定理在本課程中也將有新的應用形式。此外，本課程還將對分析力學的基礎部分進行討論。課程中將涉及矢量、微分、矩陣、微分方程、變分等多種數學工具。
理論力學是一門技術基礎課，是材料力學、振動力學、結構力學、流體力學、彈性力學、機械原理、機械設計等後續課程的基礎；為後續課程在分析約束、分析受力、力係等效簡化和描述平衡、運動及動力學分析等方面提供綜合性的支持平台。
第一篇 靜力學
靜力學用矢量力學方法研究物體平衡問題（又稱幾何靜力學），包括剛體平衡和變形體平衡。力系的等效和簡化為其理論基礎，該理論揭示了力係對物體作用的本質，給出了平衡條件。本篇介紹的概念與結論在分析物體受力和建立物體平衡方程中有重要應用。
第1章 靜力學基礎
本章將討論力學模型中的幾個重要內容：剛體的概念、常見約束的性質、物體受力分析和受力圖。力係等效簡化的依據是人們長期觀察和實驗總結出的幾條結論，經過嚴格的科學抽象和表述，其正確性已被公認，通常稱為靜力學公理。靜力學公理在力學建模中具有重要的指導意義。
1.1 力及其表示法
1.1.1 力
力是物體之間相互的機械作用，其作用效果是改變物體的運動狀態（外效應）和使物體變形（內效應）。改變物體的運動狀態，在靜力學中可理解為使靜止的物體開始運動。在動力學中則依據牛頓定律對不同的力學模型和不同的運動形式給出更明確的表述。力使物體產生變形，將在材料力學等課程中進行研究。力的作用效果取決於力的三要素：大小、方向、作用點。任何一個要素的改變，都將改變該力的作用效果。在國際單位制（SI）中力的單位是牛頓（N）或千牛頓（kN）等。
力是矢量，在幾何上可以用帶有箭頭的有向線段表示出力的全部要素：線段長度依比例表示力的大小，箭頭方向表示力的方向，線段的起點（或終點）表示力作用點的位置。此外，還需標上代表該力的矢量名稱，常以黑體字符表示，如圖1-1所示。其中F表示力的大小和方向，下標A表示力的作用點。多數情況下FA代表作用於A點的一個力，在運算表達式中等同於一般的數學矢量。力的幾何表示法主要用於物體的受力分析（繪製受力圖）。
圖1-1
力是物體之間相互的機械作用，滿足牛頓第三定律，即作用反作用公理。本課程中把它列為靜力學公理之一。作用反作用公理當甲物體對乙物體有作用力的同時，甲物體也受到來自乙物體的反作用力；作用力與反作用力等值、反向、共線。在對物體進行受力分析時必須遵循作用反作用公理。
1.1.2 力的投影和分析表示法
數學中已給出了矢量在給定軸或平面上的投影的定義。據此，建立直角坐標系，即可計算力在坐標軸上的投影。設xyz、、軸正向的夾角軸的單位矢量為i、j、k，力F與xyz分別為（圖1-2），則力在坐標軸上的投影為（1-1）。
力在坐標軸上的投影為代數量。在具體計算力的投影時可以先依據力與坐標軸正向所成的夾角確定投影的正負（銳角為正、鈍角為負）；再利用給定的幾何數據計算投影的大小，其中包括了二次投影方法。
已知力的投影，就可以用代數方法（又稱為分析方法）表示力、力的關係並完成具體計算。其中（1-2）稱為力的分析表達式。力的分析表示法只描述了力的方向及大小，力的作用點仍需通過受力圖得以反映。
圖1-2
1.2 剛體與變形體
靜力學中把研究對象區分為剛體和變形體兩種力學模型。所謂剛體，指受到力作用後不會發生變形的物體，換言之，指受到力作用後，物體內任意兩點間距離都不會改變的物體。
物體受力後總會發生變形，有時變形還相當顯著。圖1-3中彈簧受力後的平衡位置（圖1-3（b））與初始位置（圖1-3（a））相比，彈簧的長度及方位都有了不可忽視的改變。在撐桿跳運動員起跳後的過程中，撐桿也會呈現明顯的彎曲變形，其變形的形式及描述方法都比彈簧要復雜，且表現為一個動態過程。力學中把上述情況歸結為大變形（或有限變形）問題。對大變形問題的研究涉及更深的力學知識和更複雜的數學工具，數值計算工作量也較大。
大多數工程問題中，物體受力後的變形都相當小。例如，一圖1-3根受拉的鋼桿，當載荷控制在允許範圍內時，桿長的變化不超過原長的千分之幾；一般的公路橋樑，在自重及外載荷作用下鉛垂方向的位移不超過橋樑跨度的1～1。力學中把這類情況歸入小變形（或無限小變形）問題。在這種背景下，可以把700500研究工作分為兩個階段。第一階段，忽略變形對物體形狀和尺寸的影響，研究物體整體的平衡和運動，求得作用於物體的未知外力，這一階段物體被抽象為剛體模型。這一階段，忽略變形這一次要因素是一種簡化，正是這種簡化使我們找到了從物理角度研究力係等效的方法，並由此得到用矢量力學方法描述平衡問題的基本方程。第二階段，研究物體的變形和內力分佈隨物體幾何特徵的不同，這一階段物體被抽象為變形體，如細長的桿、薄的殼體以及三維塊體，考慮其變形的力學特性將分別在後續的材料力學等課程中進行研究。
這裡需要強調，剛體平衡是變形體平衡的基礎，變形體平衡與剛體平衡兩者之間既存在共性，也存在著不容忽視的差別，我們將隨後詳述這些內容。
1.3 力系平衡的幾個公理
作用於同一研究對像上的一群力稱為一個力系。地球對一物體的引力施加於該物體的每一點，是分佈力，可看成一個力系。如果兩個力係對物體作用效果相同，則稱此兩力係等效，這是靜力學中要討論的重點內容。如果一個力和一個力係等效，則稱此力為該力系的合力。若力系中各力作用於物體的同一點，則稱此力係為共點力系。需要明確的是，並非任何一個給定的力係都能夠合成一個合力。
1.3.1 力的平行四邊形公理
作用在物體上一點A的兩個力F1和F2可以合成一個合力；合力的作用點仍為A，其大小和方向由以F1和F2為鄰邊所作平行四邊形的對角線來確定（圖1-4）。
此公理是討論力系合成與簡化的物理基礎。對它的全面理解包括：適用條件，合成結果，合力的大小、方向及作用點。從數學角度看，合力FR的大小和方向是F1、F2的矢量和，即（1-3）。
若先作出第一個矢量，再把第二個矢量的起點置於第一個矢量的終點，則從第一個矢量的起點指向第二個矢量終點的矢量即表示合力的大小和方向（圖1-5），此法稱為力的三角形方法。
反之，也可以把一個力按平行四邊形法則進行分解，並用來表示待求的未知約束力或計算力的投影、力矩、功等。
平行四邊形公理的應用（共點力系的合成及平衡）
圖1-4
給定作用於物體上的共點力系（F1，F2，F3， ，Fn）（圖1-6），運用力的平行四邊形公理求得F1、F2的合力，再求此合力與F3的合力，以此類推，可得出以下結論：一個共點力係可合成為一個合力；力系中各力的共同作用點為此合力的作用點，合力的大小、方向等於力系中各力矢量和，即（1-4）。
力矢量求和可用幾何方法完成，如圖1-7所示，先作出代表F1的矢量AA1，再以A1為起點作代表F2的矢量A12A，以此類推得到一組折線A1A2 An，稱為力多邊形，該方法稱為力多邊形方法。矢量AAn稱為力多邊形的封閉邊，代表了力系合力的大小及方向。
圖1-5圖1-6圖1-7
當力多邊形為特殊的三角形、矩形、正方形、正多邊形時，用幾何法可方便地求得力系的合力大小和方向。若變動求和次序，則力多邊形的形狀也隨之改變，但不影響*終的合成結果。矢量求和也可用分析法，但需建立一個直角坐標系Oxyz，將式（1-4）投影到x、y、z軸則得到（1-5）即共點力系合力在某一軸上的投影等於力系中各力在同一軸上投影的代數和。為了簡化，式中略去了下標i。若一個力系施加在物體上不改變物體原有的運動狀態，如使平衡的物體仍然保持平衡，則稱