解題漫談（簡體書）

本書是《解題研究》的姊妹篇，專門針對數學常規問題，講述解題所需的知識、方法、技巧等，揭示解題所應追求的簡潔性和趣味性。本書適合進行常規數學教與學活動的師生閱讀。本書分為三個部分：基礎部分（60節），提高部分（50節），附錄.基礎部分的問題，內容較淺，解法比較簡單.提高部分，內容較深，解法比較複雜。附錄搜集作者在《學數學》雜志上發表的一些文章。

單墫，我國著名數學傳播、普及和數學競賽的專家。1964年畢業於揚州師範學院數學系，在中學、大學任教四十多年。
1983年獲理科博士學位（我國首批18名博士之一），1991年當選全國“優秀教師”，1991年7月起享受政府特殊津貼，1992年評為國家有突出貢獻的中青年專家。1995年評為省“優秀學科帶頭人”。
單墫教授曾任南京師範大學數學系主任，中國數學奧林匹克委員會委員、教練組組長，國家*理科試驗班專家組組長，南京數學學會理事長。
單墫教授主要從事數論與組合方面的研究，很多成果達到國際先進水平。
1989年作為中國數學奧林匹克代表隊副領隊、主教練，1990年作為領隊，率隊參賽IMO均獲總分第1，為我國數學競賽事業作為很大貢獻。

單墫老師的書，是許多數學愛好者，尤其是關注數學競賽的人，是之書。本書是單墫老師的新力作。其輕快的文風，亦師亦友的敘述方式，使得令人生畏的數學解題變得輕鬆有趣起來。

這本《解題漫談》與已出版的《解題研究》、《我怎樣解題》，屬於解題系列，精神是一致的：以自己解過的題為例子，加以分析與討論，著重描述探究的過程，闡述我們怎樣解題。
本書分為三個部分：基礎部分（60節），提高部分（48節），附錄。
基礎部分的問題，內容較淺，解法比較簡單.提高部分，內容較深，解法比較複雜.附錄搜集我在《學數學》雜志上發表的一些文章。
怎樣提高解題能力？這是一個大家關心的問題。
首先，自己得解一定數量的題，其中有一些稍難的，需要動腦筋，不能依樣畫葫蘆的題。
解題是一種實踐性的智力活動，必須勤練才能嫻熟，嫻熟才能生巧。
有人說：“做了很多題，解題能力仍未提高。為什麼？”
這多半是由於沒有及時做好總結。
每次做完一道不太簡單的題，一定要回顧一遍.弄清：需要哪些步驟？哪些是必須的？哪些是多餘的（可以去掉）？哪些步驟是關鍵步驟？有無其它解法？能否解得更好？
這種總結工作，正是提高解題能力的重要的一環。
如果有朋友在一起討論更好。
近在網上看到一個帖子，說不喜歡我，因為我“老是指出別人的解有錯”，“說別人的解不好。”
我想了一想，的確寫過幾篇糾錯的文章。但數學是一門科學.科學就要求真，就要糾錯。
鑰匙不僅要明辨是非，弄清對錯，還應當精益求益，尋求的解法，只有這樣，解題能力才能得到提高。
所以我還得寫一些文章，寫一些書皮，談解題中的問題。有錯誤就得糾正，有不妥就應當指出，這教師與人為善的態度。當然，不要進行人身攻擊，貶低別人。好像打球，衝著球（問題）去，而不是衝著人去。
對於自己的錯誤，當然更不能寬容。寫這本書頗費功夫，改了多次，反復琢磨能不能把解答做得更好一些。但現在年齡大了，精力不夠，常有照顧不周的地方，請讀者與朋友多加批評。
基礎部分
基礎部分的問題比較容易，乃至的知識較少（很多只需要實踐的數學）。
基礎極為重要.基礎未打好就忙於提高，就如在沙灘上建築高樓，也像楷書還未學好，就去寫狂草，當然不易成功。據我觀察，不少高三學生，實踐基礎並未打好。即使是參加競賽的選手，也有一些人需要加固基礎。
良好的解題習慣應當在打基礎時養成（不良習慣也應在這時及早糾正）。
遇到問題，要認真讀題，弄清已知與求證（或求），不僅要了解其意義，記在胸中，還要知道相關知識，如已知三角形是直角三角形，就應知道兩個銳角互余，斜邊中線是斜邊的一邊，勾股定理，…，如果求證四邊形是平行四邊形，就應考慮兩組對邊平行、兩組對邊相等、一組對邊平行且相等、對角線互相平分、……等有關的判定定理。
在這一部分，我們要介紹一些基本的技巧與手法，也介紹一些基本的解題方法。每道題都加以分析、討論與總結。

基礎部分 1溶液濃度 2力求簡單 3整數好算 4從何切入 5立方體的展開 6階乘好大啊！ 7又見階乘 8等比的值 9簡單的證法 10別沒事找事 11如願以償 12化為互質 13是平方數 14唯有一個 15條件太多 16五人合作 171的變形 18變為同分母 19盯緊分母 20瞄準目標 21沒有根式 22一個恒等式 23配方更好 24又用配方 25無需花招 26何需套路 27弄巧成拙 28一次函數 29變更原點 30列表更好 31盡信書，不如無書 32用判別式？ 33三次根式 34不可忽視 35不解風情 36根的正負 37函數單調 38先定範圍 39中點距離 40先抓西瓜 41拼圖遊戲 42知識障 43面積之比 44六邊形面積 45芝麻，開門 46尋找條件 47改造題目 48排定大小 49第六種證法 50老封編的題 51倒立而行 52座位相鄰 53復數，並不複雜 54取數 55多項式 56中位數 57一座雄關 58復數又來了 59子集族個數 60集合個數 未帶地圖的旅人 提高部分 61葉中豪的題 62姜霽恒的題 63外心的對稱點 64西摩松線 65對稱性 66有與沒有 67三分之一 68一道競賽題的推廣 69新編幾何題 70相交的圓 71兩圓相切 72又是兩圓相切 73無窮多個平方數 74難親數列 75蒼蠅、蠅魂 76幽靈數列 77沿數軸前進 78侶伴數列 79代數式的值 80冪和的不等式 81整數逼近 82標準化 83兩組正整數 84整數組數 85多個函數 86一個多項式 87乘積的項數 88上要封頂 89柳暗花明 90完全剩餘系相加 91添加元素 92數論函數 93廉潔不廉潔 94四進制 95差分再來 96復數的模 97遞推與歸納 98不動點 99又一個函數 100元素、集合 101功不唐捐。
102元素的和 1D3集合、映射 104好子集 105元素的和相等 106暗示 107元數的值 108小孩買糖 109圖的染色 110友好的賽事 眼界與品味 附錄 1代數問題應當用代數解法 2近在眼前 3相似形、透視形、位似形 4一題五解 5兩道2013年江蘇高考題 6三次函數與中心對稱 7談談提高解題能力 8解首屆“學數學”邀請賽的感想 9MSbiLIs函數 10再談提高解題能力 11也談一道競賽題的純幾何解法 12兩道高考題 13每道題做三遍 14一同做2015年江蘇省數學高考試題 15Ramanujam的一個恒等式 16解第30屆中國數學奧林匹克試題 17簡評第二屆“學數學”數學奧林匹克邀請 賽(秋季賽) 18談第55屆國際數學奧林匹克試題的解法 19做第三屆“學數學”邀請賽(春季賽)的試題

1. 溶液濃度
問題：A瓶裝180毫升濃度為35.5%的某種溶液，B瓶裝120毫升濃度為67.2%的同種溶液。從A、B取出等量的溶液，然後分別倒入B、A.混合後兩瓶溶液恰好相等。問各取出多少毫升溶液？
甲：這個濃度問題，我會做。
師：那你就做一做。
乙：這題我也會做。
師：我把數據改一改，35.5%、67.2%分別改為32.5%、58.4%.你做做看。
過了一會，兩人都做好了。
甲：答案是72毫升。
乙：我的答案也是72毫升。
甲：題目數據不同，怎麼答案恰好一樣，太巧了。
師：看看你們怎麼做的。
甲：我用算術方法。
乙：我用代數方法。
師：進入中學，用代數方法更多，我們先看看乙的做法。
乙：設各取出x毫升，則
(180-x)×35.5% x·67.2%180=(120-x)×67.2% x·35.5%120
然後去分母整理，後得出結果。
甲：不見得比算術方法好。
乙：老師怎麼做的？師：我的方法和你的差不多。同樣設取出x毫升.但將題目中的數據改成字母：A瓶有a毫升濃度為p的溶液，B瓶有b毫升濃度為q的溶液(p≠q)。
甲：那麼方程就是
(a-x)p xqa=(b-x)q xpb
去分母整理得
(a b)(p-q)x=ab(p-q)
因為p≠q，所以
x=aba b.(1)
在a=180,b=120時，x=72。
乙：這比數的計算簡單。
甲：不論p、q為什麼值，答案都是(1)。
師：代數就是用字母代替數.用字母代替數後，不但計算簡單（避免了繁瑣的數值計算），而且具有一般性，容易看到規律.學習代數後，就應當自覺地用字母代替數，力求得出一般的結果。
所謂好的解法，就是簡單而又一般的解法。
評注：引入字母後，數學發生了巨大的變化。研究的物件不僅是數，而且還有字母。字母可以代表數（起初就是這樣），也可以不代表數（比如代表向量、矩陣等等）。字母自成體系（或稱為系統），可以有各種運算與規則（比如矩陣可以定義乘法，滿足結合律，卻不滿足交換律）。
2. 力求簡單
問題酒精與水的溶液中，酒精∶溶液總量=k∶m.如果再加x個單位的水或者去掉x個單位的酒精（x≠0），那麼得到的酒精∶溶液總量的比都相同。求這新的比的數值。
師：還是濃度問題。
甲：不妨設原溶液中有k個單位酒精，(m-k)個單位水。由題意
km x=k-xm-x(1)
去分母，整理得
x(x m-2k)=0(2)
所以
x=2k-m(3)
代入（1）的左邊得新比的值為
km x=k2k=12
乙：我設新比為r，則
k=(m x)r(4)
k=(m-x)r x(5)
(4)-(5)得
2xr=x(6)
所以
r=12.
師：不求x，直接得出r。等二種解法稍簡單一些。
甲：還有其它解法嗎？
師：題意，在兩種情況，酒精與溶液總量的比相等。其中第二種情比種，酒精少x個單位，水也少x個單位，即總量少2x個單位。如果將酒精為x個單位，溶液總量為2x個單位的溶液加到第二種情況的溶液中，那麼就變為種情況，而濃度（酒精與溶液問題的比）不變。所以加入，濃度與它們也相同，即濃度為x2x=12。
乙：這種解法更加簡單。
師：其實這種解法與你們的解法並無實質的差異，只不過省去了一些形式上的演算.但省去形式上的演算，更多地用腦思考，對發展思維能力是有益的。
很多數學會議休息時，數學家們邊喝咖啡邊討論問題。這時不可能進行紙面上的演算，更需要直接剖析問題的本質。
數學家Erd s曾說：數學家是將咖啡轉變成定理的機器”。