數學式思考的技術

「我的選擇有沒有錯？」、「為什麼人會一再重複錯誤的判斷？」
不用再這樣煩惱了！
理解比運氣、實力更為重要的決策要點！
讓你每個做決定的瞬間都有效，跌破眼鏡的決策論。

如果你過去僅以沒有根據的直覺、數據資料決定事物，本書將傳授合理的判斷力。
縱使不善於邏輯思考的人也沒問題。
「好玩又好用」的新數學活用法將在此展現。


本書融合了機率、邏輯、經濟學、心理學
除了透過機率來下判斷或做決定，還討論了成功法和經營術，雖然掺有許多較學術性的名詞，但並沒有艱難的算式，而是用具體的邏輯來講解每一個舉例。
數學不外乎是機率和統計理論，但本書不使用困難的數列組合，而是以一般邏輯加上心理學來解釋，以各種比喻來解說生活中遇到的機率和下決定的瞬間。

內容分為二大部分，第一部分是「決策」的基本理論，詳細述說判斷機率的工具「期待值基準」、「大中取小基準」、「最大機會損失‧最小化基準」、「大中取大基準」。
其中使用例子從凱因斯經濟學的本質「不確定性論」到夏洛克‧福爾摩斯、彩券、賭博、「聖彼得堡悖論」等，觸及各種題目引起讀者興趣。
第二部分以上述四個工具為基礎，解說邏輯思考、驚喜乃主觀機率、預測‧推論‧決策等事、更新推論、股價變動等。
全書以「決策論」為中心，運用身邊實例和比喻，讓文科出身的人也不覺得閱讀困難。

作者簡介
小島寬之
帝京大學經濟學系教授，經濟學博士，數學隨筆作家，專攻數理經濟學。
1958年出生於東京，畢業於東京大學理學院數學系，同大學經濟學研究所博士課程修畢。
著有《圖解不再嫌惡統計學》（易博士出版社）、《從數學看人類的進步軌跡》、《用小學數學看世界》、《世界第一簡單 微積分》（世茂）。

譯者簡介
衛宮紘
清華大學原子科學院學士班。自由譯者，譯作有《上司完全使用手冊》（東販）、《超慢跑入門》、《加賀屋比服務更極致的款待之道》（商周）、《男人懂了這些更成功》（潮客風）、《世界第一簡單電力系統》（世茂）等。

● 不出乎預料
人經常後悔自己的選擇，這是事後知道「那樣做的話，事情就不會變成這樣了」的「不選擇行動的結果」。
比如，購買某商品的隔天，在同間店發現商品降價的時候，感到後悔：「啊啊，晚一天買就好了。」又如，開車出門遇到塞車的時候，感到後悔：「啊啊，搭電車去就好了。」再如，賣出的股票繼續上漲的時候，感到後悔：「啊啊，不賣的話就能大賺一筆了。」
我們經常聽到「後悔莫及」這句話，顯然人會從後悔中反省自己行動的輕率。
在第1章提及選擇攤販C的基準「大中取小準則」（賽佛傑準則），就是著眼在「後悔」的基準。此基準的應用非常簡單，「全面考慮所有可能發生的事態，事前評估自己採取的行動會產生什麼樣的後悔」，也就是「預想後悔」。人最感到懊悔的是，「自己不太放在心上的事態發生了，結果蒙受預料之外的損失」。活用「大中取小準則」的話，至少能夠避免發生「預料之外」。因為這基準是從能想到的事態和其損失中，決定後悔最小的行動。
未來不論發生什麼事情都能冷靜行事，就這意義來說，使用這基準有很大的優勢。

● 經常使用在戀愛上？
「大中取小準則」是不常被使用的基準，如同第1章攤販選擇問卷調查的解說，幾乎沒有人選擇攤販C，這大概是因為人難以想像「後悔」這種「自己未來的情緒」。
然而，牽涉到戀愛、結婚上，我卻有著不同的印象。不論是聽聞友人的經驗，還是看戀愛漫畫、戀愛戲劇，當事人好像總選擇「後悔」的行動。常見的發展為「喜歡某人」→「猶豫該不該告白」→「不告白而疏遠的話，將來肯定會後悔」→「決定告白」，女性的行動基準特別有這樣的傾向（因為沒有嚴謹的調查，可信度有待商榷）。
一般的行動選擇和戀愛上的行動選擇有什麼不一樣？
和購買商品、進行投資等選擇不同，戀愛與「感情」有很大的關聯，容易想像自己未來的情感。換個說法，關於戀愛的事情，我們容易模擬「那時自己」的情境。
在戀愛上使用過「大中取小準則」的人，可嘗試更廣泛使用這個方法。
簡單說就是，養成將自己置身於各種不同的可能未來，推測那時自身情感的習慣。

● 上大學的成本有多少？
機會損失，是經濟學上經常使用的概念。意思是指，「選擇其他選項時所得到的利益」，可以想成選擇該行動時的「成本」（開銷）。社會上，不關心機會損失的人很多。我在課堂上有時會問學生這個問題，「你們認為上大學需要付出多少成本？」多數學生都回答「學費」，認為這四年支付的學費就是「上大學的成本」。即便是上過經濟學、會計學的學生也這麼回答，沒有考慮到「機會損失」，令我很擔憂他們的未來。
他們忽略的是，「若高中畢業直接就業，這四年能賺進多少收入？」假定年收有250 萬日圓，大學四年的成本為學費加一千萬日圓。當然，工作所承受的痛苦比讀書所承受的痛苦來得大，需要將這部分轉換成對應的金錢，從成本中扣除。
每次說完這件事，學生就紛紛露出驚訝的表情，自己上大學所付出的成本，竟然如此龐大。

● 自宅營業不用租金比較好？
同樣沒有考量到機會損失的典型例子還有，認為「利用自宅營業不用付租金，這樣比較好」的人。租店面營業的確必須從營收中支付租金，利潤看似較少。然而，這在經濟學上是個大誤解。
假設某人將自家的一樓作為店面營業，這樣的情況下，若一樓不作為店面改租給他人，預估月租金能有20萬日圓的話，這20萬日圓需列入營業的成本當中。因為這是放棄出租能獲得20萬日圓的收入，是一種機會損失。
想要明確瞭解這個「負的租金」，可以從利潤（營收扣除營業開銷）沒有達到多少就要收店的角度切入。沒有將租金列入機會損失的人，會認為只要有利潤就可以繼續營業吧，但這是錯誤的行動。因為營業利潤為15萬日圓的話，就應該立刻停止營業，將一樓租給別人。不這樣行動的話，會變成為了獲得15萬日圓而自行放棄20萬日圓。換言之，若此人營業利潤低於20萬日圓，就應該停止營業。這等同於，一開始便將租金20萬日圓從營收中扣除，若利潤為負值，便停止營業。這樣想的話，就能理解為什麼停止營業的租金收入算是成本。
這樣的機會成本，社會上有很多，但多數人都忽略了這個成本。比如，裝設在別間公司能創造更多生產的設備，放置在生產性低的公司，此時便會產生機會成本。又如，調至別的部門能夠交出10億日圓營收的職員，讓他待在只能交出4億日圓營收的部門，會產生6億日圓的機會成本。
經濟學上認為，只要利用自由市場競爭，就能夠做到機會成本最小化（理想為零成本）的生產要素分配。這樣的分配方式稱為「生產要素的效率分配」，令人遺憾的是，現實社會中，生產要素的效率分配無法簡單實現。
這在經濟學上稱為「市場失靈」（Market Failure），特別是官方部門（政府機關），因政治上的考量而阻礙效率的情形被視為問題。

● 把錢放在身邊是一種機會損失
「金錢的保有」伴隨著機會成本，這是投資領域上的常識。把錢放在身邊的成本是什麼呢？把錢放在身邊的機會損失是「利息」。把現金放在身邊，等同於放棄將這筆錢存入銀行（或是購買債券）所產生的利息。雖然日本持續著長期零利率政策，存款所得到的利息微乎其微，即便如此，只要存款的話，還是能得到利息，所以將現金留在身邊便會產生機會成本。
然而，這邊想要說的不同，絕對不是「保有金錢是愚蠢行為」。經濟學上認為，人們將金錢保有在身邊並不是因為他們愚蠢，而是因為得到機會損失的對等補償。
明確提出主張的人是，第2章出現過的經濟學者凱因斯。凱因斯認為，金錢保有所能得到利息的對等代價是「流動性」。若將自己的資產轉換成定期存款或債券，產生想要使用在某事物上的慾望時，就無法馬上實現該行動，必須先解除存款契約、將債券賣到市場，暫且轉化成現金才行。相反地，若是把錢保留在身邊，什麼樣的東西、服務都能馬上購入。這個「什麼都馬上能」的性質，就稱為流動性。凱因斯認為，人在利息上的機會損失會從流動性上得到補償。
對本書的主題來說，這可能是畫蛇添足，但凱因斯利用流動性的概念，說明了陷入經濟蕭條的機制。假定現在每個人有各自的理由，企求將金錢保留在身邊的流動性。這樣的話，作為流動性的代價（機會成本），也就是利息，就必須提高。因為不這樣做的話，沒有人願意存款或購買債券，結果將使得利息上漲，誘發企業減少投資。理由是當利息變得過高，企業會猶豫是否該借錢投資設備。凱因斯主張，投資需求減少，產品的需求也就降低，導致人民所得減少，陷入經濟蕭條。

● 地球暖化的對策是「不確定性下的行動選擇」
這邊來介紹另一個「大中取小準則」的有趣應用實例，這是有關於地球環境問題的對應方法。
如同大家所知，從前世紀末開始，地球暖化問題受到世人重視。社會響起了警鐘，若再繼續這樣使用石油等化石燃料，排出的二氧化碳會使地球進入保溫狀態，地表溫度上升，造成各種災害。於是，世界多國通過以削減二氧化碳排出量為目標的京都議定書。
對地球暖化有疑慮的學者不少，丹麥的統計學者比約恩．隆伯格（Bjorn Lomborg）就是具有代表性的評論者。他們主張的反論大致如下，首先有人主張暖化說法是有疑慮的；或者主張暖化確實發生，但誘因並不是二氧化碳；再者主張地球暖化並不會帶來災害。
特別是氣候門事件（揭露地球暖化最重要證據的曲棍球棒統計圖是偽造的事件）以後，對IPC（政府間氣候變化專門委員會）的信賴造成極大損傷，主張「地球暖化是謊言」的氣象學者抬頭。
掌管地球的巨大熱學系統機制非常複雜，無法靠單純的物理學完全解明。能夠確實預言地球未來氣象的理論並不存在，因此在無法斷定地球是否真的暖化的情況下，人類應該採取行動的判斷變成是「不確定下的行動選擇」。這種時候，說本書討論的﹁決策論﹂扮演著重要角色也不為過。

● 無悔策略
關於地球暖化的人類行動選擇，有人提倡應該使用大中取小準則。
比如，佐和隆光的《防止全球變暖》中，提出地球暖化問題適用大中取小準則。這邊稍微引用一些內容：
假設二○二○年後災害發生的機率不為零，這個機率或大或小，無法經由實驗確定，也不是深造科學上的見解便能解明。另外，因為討論二○二○年後是否產生更加嚴重的問題，不是一再反覆的現象，所以這邊所說的機率與其說是客觀機率，更近似主觀機率。（《防止全球變暖》，第180 頁）
佐和先生表示，地球未來氣象的推測是「主觀機率」，所以適用「大中取小準則」。另外，他也提出對節能、生活型態的改變應採取「完全不伴隨成本，或者利益高於成本」的對策，這樣的對策稱為「無悔策略」（No Regret Policy）。
為求公平，也介紹對地球暖化存疑的學者著作。具代表性的懷疑論者伊藤公紀著作的《地球暖化》中，介紹了科學家米本昌平的意見，「縱使下個世紀知曉地球暖化是錯誤預測，我們仍留給後代節能、公害防治的政策以及堆積如山的裝置。地球環境的問題，對將來的世代來說，是多麼幸福的威脅」。當然，懷疑論者伊藤先生也逗趣表示，這想法只是「權宜之計」。
但是，伊藤先生也說：「若日本的暖化對策不牽涉到核電推進，我大概只會旁觀吧。」為什麼呢？伊藤先生表示：「明明說要防範暖化，卻強化核電，這樣我一定會﹃後悔﹄。」這是伊藤先生認為的「大中取小準則」，儘管伊藤先生批判「不後悔的選擇」的想法，是「消極」的「畏縮不前的中心思想」，他仍給予這基準一定的評價，也將這基準應用在反核電的邏輯上。

● 統計學者賽佛傑這樣想
在第1章有說過，提倡「大中取小準則」的是二十世紀的統計學家賽佛傑，也因為這樣又稱為「賽佛傑準則」。
賽佛傑，如同第2章的解說，他是以提出「主觀機率」劃時代思維聞名的學者。這主觀機率寫於《統計學基礎》（The Foundation of Statistics），裡面同時也說明了「大中取小準則」。
賽佛傑會思索這個基準，是因為這在統計學的決策基準上是非常重要的主題。作為參考，這邊稍微說明。
統計學，是從收集來的資料進行某推測的學問。比如，從死亡率資料的數值，判斷「什麼樣的環境變化會造成多數人失去生命」。或者，比較投與受試者新藥的治癒率和給與偽藥（外觀相似但沒有效果）的治癒率，調查新藥使否真的有療效。這種時候，如何從資料得到的統計數據中判斷、下達決定，是非常重要的問題。而探索這個方法就是統計學的工作，像這樣從資料中推導結論的方法，稱為「統計決定」（Statistical Decision）。在統計決定方面有著巨大貢獻的是二十世紀的統計學家沃德（Wald），有趣的是，沃德受到諾伊曼和摩根斯特恩的零和賽局決定思維（參照第3章）很大的影響，認為統計決定也應採取小中取大準則。再更詳細說明，他主張將「由數據資料做決定」的問題看作「大自然（或是神）與統計學家間的零和賽局」，應該使用盡可能避免最壞情況損失的統計決定方法，也就是「小中取大準則」。
另一方面，受到沃德研究影響的賽佛傑，認為不是「小中取大準則」，並提出「大中取小準則」。

拉攏「唯一」的強力決策者
在公司，當你想推動某企劃的時候，應該說服的目標是誰呢？
關於企劃的好壞，一般來說，多數成員有陳述意見的立場。但你難道必須將全員當作說服的目標嗎？每個成員有各自的意見、喜好，說服全部的人是一件極困難的事情。
而實際上，你根本不需要這樣。你需要說服的目標非常少，而且多數情況只有一人。
將這件事明確告知給我的是某知名演奏家。
那是發生在某大學的校慶上，觀看日本流行樂團現場演奏時的事情。樂團女主唱在曲間閒談時，分享了下述的趣事。她們的樂團在正式出道前，音樂公司中許多工作人員對她們的曲子、演奏，你一句、我一句地給予意見和點子。說實話，她覺得其中大多數都沒有什麼效用。於是，她得到了一個結論：對於多數工作人員不具參考價值的意見，一概不聽從。
她說：「我們要做的事，就是說服有責任、權力的唯一一人。」
在音樂業界，不管是工作人員或製作人，僅由一位人物就決定了音樂的推銷方針。其他企業大概也是這樣吧，因此她們的說服目標，就只有那位最後做決定的人物。她說：「不論誰說不行，只要最終權力者說：『以這個方向上市。』其他人就必須遵從。」我大力贊同這想法，這樣的方針也為她們帶來日後的活躍。
正式出道前演奏粗拙卻嶄新的樂團，隨著正式出道，樂曲變得百無聊賴，這樣的樂團，我知道的還不少。我想，這樣的樂團因為過於順從工作人員強押的無責任喜好，導致失去原本粗拙卻有個性的音樂性。
我曾在補習班執過教鞭，當時也發生類似的事情。教材開發者費盡心血編輯的教材，每當思慮欠深的工作人員對內容進行評論，教材就會漸漸變得平凡且陳腐。
目擊多次此番情況的我，當開發製作內容兼最終做決策者變成我時，我選擇完全忽略欠缺評審能力的工作人員意見。做決定的人是我，就表示背負責任的是我，所以我只傾耳中肯辛辣的意見。
當你被任命實現某計畫的時候，你完全不需要努力討好多數同僚的意見。
當然，你可以傾聽各種不同的意見，其中有些能讓你恍然大悟也說不定。但若只是依自己的經驗、想法說出的平庸建議，笑著帶過即可。在此之上，你只須拉攏唯一權力者的決定，虎視眈眈地備妥說服的材料。

● 以主觀決定機率
統計機率，是分配機率的代表性方法，但還有很多情況是資料不足的。
這種時候，我們會對機率的分配束手無策，但還是有能做的事情。
那就是「主觀的隨意分配機率」，誇張地說就是「看心情分配機率」。
這樣的機率沒有客觀資料、實驗的背書，僅依存人的「臆測」，所以稱為「主觀機率」。
主觀機率經常用於日常生活，「大概八成就行了」、「成功嗎？一半一半吧」，前者的「八成」和後者的「一半一半」並不是意味著「0.8 或0.9」和「0.5」的明確數值，僅是發言者心中「對可能性的印象」，是主觀上的數值。然而，這也不是完全沒有任何根據，前者是描述「從以往的經驗來看，大概這樣就行了」；後者是提出「根據過往經驗，難說會成功或失敗」。一聽到「主觀」機率，也許會覺得詭譎可疑，但其實它的理論相當完備，就某意義上來講，已經受到信賴。二十世紀後半，名為賽佛傑的統計學天才提出了有效化的方法，賽佛傑證明了「若每個人的行動選擇可以用一組規則滿足，則某人的行動會和經由數學機率決定的行動一致」。
賽佛傑的規則是非常巧妙且具數學性的，這邊就不完整論述，但為了讓讀者稍微體驗一下氣氛，這邊舉天氣的例子來做介紹。
現在，假定有甲籤和乙籤。在「雨天」狀態和「雪天」狀態的時候，甲籤和乙籤的獎金相同。比如，「雨天」的時候，二者皆得1萬日圓；「雪天」的時候，二者皆得2萬日圓。
不同會發生在「晴天」狀態和「陰天」狀態，比如「晴天」的時候，甲籤獎金為10萬日圓、乙籤獎金為5萬日圓，「陰天」時則獎金相反。
假定甲籤和乙籤中，你喜歡前者。此時，「晴天」狀態和「陰天」狀態的獎金不變，僅變動「雨天」狀態和「雪天」狀態的獎金（保持甲乙獎金相同），製作甲' 和乙' 。假定甲' 、乙' 二籤者在「雨天」狀態皆得到3萬日圓；在「雪天」狀態皆得到4萬日圓。對這個新製作出來的籤，你的喜好依然不變，比起乙' 更喜歡甲' ，這就是賽佛傑舉出的代表性規則（Sure–thing Principle）。
賽佛傑舉出的機率理論稱為「貝氏理論」，為機率理論、統計學吹進一股新風。接下來，我將以賽佛傑的理論為主軸，說明主觀機率的原理及利用方法。主觀機率的利用法有二種，第一種是，你實際對事件分配主觀機率，以此為行動參考。第二種是，你看穿利害關係人是怎麼分配主觀機率，反將利用。