從算術到代數之路─讓x噴出，大放光明─(二版)

2012/1/18自由：台大師大數學系教授新書　讓數學變有趣 〈點選可見相關閱讀〉

算 術方法是：由已知的數據，透過四則運算，逐步計算，以求得答案。但是，每一步都要知道為何而算，以及算出的數所代表的意義。 代數方法是：由目標切入，假設答案已經得到，就是x與 y，然後根據線索用方程式把它們捕捉住 (這是分析法)， 再根據數系的運算律，做計算與推理，逐步抽絲剝繭，把x與 y求出來 (這是綜合法)。因此，代數是分析法與綜合法的展現，也是一種結構性、系統性的抽象解題方法，甚具威力，並且擁有向上發展的無窮潛力。今日代數學的語言已 經成為現代數學與科學的基石。 從算術發展到代數是歷史的自然道路；反過來，從代數回頭看算術卻是更上一層樓的洞察本質。我們也特別著重數學史與人文背景的鋪陳，一切概念、方法與理論都 是人類在特定時空背景下所創造出來的。這些就構成了本書的主題。

蔡聰明
一生在臺大數學系從事數學研究與數學教育，最喜愛數學、物理學、哲學與詩。目前已經退休。平時喜 愛旅遊、登山健行、打網球以及從事普及數學的寫作。雖然寫作是快樂中有辛苦，甚至是甜蜜中有痛苦，但是仍然樂此不疲。衷心的願望是：幫助年輕學子也喜愛數 學，體驗數學的妙趣，並且扭轉他 (她) 們普遍對數學是面目可憎的刻板印象。

本書將學生眼中難以接近的代數學，利用簡單有趣的題目來講解演繹。打破學生對代數學的刻板印象，讓學生感受到代數學其實也可以很簡單。國中生學 習數學有兩個大挑戰，先遇到了代數，再碰見三角。本書能夠輕鬆的帶領國小國中學生征服國中代數學，補足國中教科書的不足。極力推薦國中小學生閱讀，提升自我的數學能力。

代數就是錘鍊一套捕捉神秘未知x的妙法！
甲、本書讀者的對象
本書的主題是初階的代數學，我們很用心地呈現，從算術的四則應用問題，如何脫胎換骨成為代數學的過程，並且講述一點兒方程式論。我們也注重代數學的歷史發展過程以及人文的背景。
本書適合小學六年級到中學階段的學生研讀。對於一位小六生，本書可以陪伴他（她）從小學平順地走過國中與高中。本書也很適合一位國中生研讀，因為在「數 學成熟度 (mathematical maturity)」較高之下，一面可以快速地複習小學數學，一面可以更有效率且愉快地學習代數學。
代數是算術的抽象化與推廣。在思想方法上，它是算術的更上一層樓。我們要實地走一趟從算術到代數之路，體驗代數的生長過程。這一趟的提升過程非常珍貴，可以讓我們筋強眼亮。
對於算術四則應用題，算術的解法如手工藝，代數解法如機器文明。手工藝雖然比較簡陋，但是充滿巧思妙想，是小學生鍛練思考的好題材。
從數學發展史來看，由具體的小學算術轉變到中學的抽象代數，是最關鍵的一步，也是許多學生感到困惑的地方。代數幾乎是每個學子首次遭遇到的抽象數學。面 對這個關鍵階梯：若能夠順利跳上去，則往後數學的學習差不多就順利了；若適應不良，則會變成不喜歡數學，甚至討厭數學，數學變成夢魘。本書的目標就是要幫 助初學者克服這個難關，快樂地學習代數，有效地掌握代數方法。
乙、線索與未知的聯繫
代數是「已知」與「未知」之間的對話：一個問題含 有未知數，而問題又提供我們恰到好處的已知線索（過與不及都不好）。我們要循著線索建立方程式，再解方程式，以求出未知數，這就像獵人循著獵物的足跡找到 獵物。因此代數是「未知的藝術」(the art of the unknown)，這是一種「大術」(the great art)、一種「可解決的藝術」(the art of soluble)。
丙、符號與抽象
代數學的主要特色是：抽象化、符號化，並且利用整體數系的運算律（公理化），結構性地來解決問題。
抽象化、符號化與公理化是代數能夠提供給我們的最佳訓練。綜合起來說就是：錘鍊抓住本質功夫以及有系統地探求未知的方法。
打個比方來說：算術把玩的是具體的數；而代數所舞弄的東西，除了具體的數之外，還增加文字符號與式子，例如a, b, x, y, 2x+3y, ax+b=c等等。用經濟學的術語來做比喻，算術把玩的是具體的錢，而代數所操作的東西，除了具體的錢，更增加了支票與信用卡。
將日常的數量語言化為符號，用符號代表數，這是很重要的一步，相當於用支票或信用卡來代表錢一樣。這是種抽象的錢，但更具有威力。
學會代數就好像會使用某種魔術語言。
丁、提高數學的成熟度
學習代數的另一個重要意涵，就是熟悉數學的普遍語言：從未知數x到方程式f(x)=0，再從變數x與y到函數y=f(x)，這些都是數學與科學不可或缺 的論述語言，少了它們，數學與科學簡直就寸步難行，因為大自然喜歡把她的秘密隱藏在函數或方程式之中。我們可以說有x與y才有現代數學！
代數除了可以「吾道一以貫之」地解決所有的算術問題，更重要的是它打開我們的眼界，並且開拓出一個寬廣的數學新天地。代數把我們提升到更高的知識水準(higher intellectual level)，增強思想的內功，為往後探索高等數學奠基。
學習古代大師的偉大思想，熟悉一個觀念與方法的發展過程，了解一門學問的內容、意義和方法，這些都讓人樂在其中。
法國數學家達朗貝爾(D^Alembert, 1717-1783)說得好：Algebra is generous, she often gives more than is asked of her.代數是慷慨的，她總是要求得少，但是給得多。
戊、本書的緣由：我跟中小學的數學淵源
從2005年至今，我在臺大參與師資培育的教育學程計劃。這是要培育大學生成為中學教師的資格訓練。我負責數學科，講授「國高中數學教材、教法與實習」這門課。我也到過各地的中學演講，以及實地觀摩數學的教學，並且給予講評。
其次，我不得不提到，促成本書誕生最重要的三個人，他們都是我的學習典範。首先，時間回到古早，小學我在竹山國校五、六年級時(1958-1959)， 數學的重心是算術四則應用問題，那時恩師劉義德老師給了我真正的數學啟蒙。他的優秀教學，讓我只要聽過他的清晰講解或作個圖解，我就懂了，真正享受到數學 的樂趣，至今永難忘懷。
接著是我的恩師楊維哲教授，在他高明而誨人不倦的指導下，把我帶入數學的堂奧，真正品嘗到數學的妙趣與美麗，甚至聞到 數學的香味。在2008學年度，他邀我到臺北市立濱江國中，參與他的數學資優教學計畫，讓我帶領國一的資優班（加上一些資優的小六生）以及寒假數學營，讓 我首次有了對小六到國一生的實地觀察與教學經驗。
又從2009年開始，福田文教基金會董事長兼竹山欣榮紀念圖書館的館長高瑞錚律師，邀我和楊教授，參與每年舉辦一次的欣榮紀念圖書館國中小數學能力比賽的工作，以及比賽後帶領數學研習營。高先生為臺灣社會的公益作無私的奉獻，人格高尚，學養豐富，是我所尊敬的對象。
以上的求學、教學與工作經驗，讓我對小學到國中的數學，有了深刻的體驗與思考。本書的寫作，就是把這些經驗寫下來，無窮多的因緣聚合所生成的結果。
在此我要特別感謝劉義德老師、楊維哲教授以及高瑞錚律師。誠謹表達感恩，並且誌記因緣。最後我要感謝月華，在寫作的過程中，她給予的容忍與任勞任怨，本書就獻給她。