毛起來說三角

聽到三角，絕大多數人的腦海可能馬上就閃過一大堆θ、φ、sin、tan、csc、半角公式、倍角公式、和化積、積化和、……，管它實不實用，「卯」起來背就對了，還可以「說」些什麼呢？如果你真的這麼認為，以為三角學只是一個又一個函數與公式，那可大錯特錯了！
學校裡，從沒有人告訴你三角的歷史和生命，也沒有人告訴你三角和人類文明如何緊緊相扣；從古埃及的金字塔、砲彈的射程、精確地圖的誕生，到天文測量，全都離不開三角。其實，三角學與現實世界是密不可分的。
為了傳達這個觀念，本書作者毛爾教授捨棄教科書式的枯燥寫法，「毛」起來說了許多關於三角的小故事；透過這本書，你將目睹三角學如何從埃及金字塔裡萌芽、從古希臘乃至中世紀天文學家的手中茁壯，你也將認識許許多多偉大的數學家，跟隨他們的腳步，踏進有趣的三角殿堂，一探平面三角學背後的無窮樂趣。

毛爾 以色列籍數學家，芝加哥羅耀拉大學（Loyola University）數學史教授，曾為《大英百科全書》編寫「三角學」的解說。文章常見於美國、英國、以色列的應用數學及數學教育期刊。著有《毛起來說無限》、《毛起來說e》、《毛起來說三角》等，均獲得極高的評價。

序 平面三角學的喜悅 毛爾 一
編輯說明 六

前言 書記阿美斯 1
古埃及的數學娛樂 13
第1章 角 19
第2章 弦 25
普林頓322：最早的三角函數表？ 37
第3章 六個函數粉墨登場 43
雷吉蒙塔努斯 53
第4章 解析三角學出現了！ 66
維埃塔與四十五次方程式 73
第5章 量天度地 82
打敗牛頓的棣美弗 104
第6章 兩個幾何定理 114
第7章 外擺線與內擺線 124
阿涅西和她的「女巫」 138
第8章 高斯的啟示 144
第9章 倘若芝諾早知道這件事！ 151
第10章 （sin x）／x 166
第11章 非凡的公式 178
利撒求和他的圖形 185
第12章 tan x 191
第13章 地圖製作者的樂園 210
第14章 sin x＝2：複三角學 230
蘭道：嚴謹大師 243
第15章 傅氏定理 251
附錄1 複習舊觀念 269
附錄2 巴洛的secφ積分 275
附錄3 三角瑰寶 278
附錄4 sinα的特殊值 281
（附錄5）參考書目 283
（附錄６）圖片來源 286

序
平面三角學的喜悅

或許沒有什麼能像三角學一樣，在數學世界裡占有居中的地位。
──赫伯特（J. F. Herbart），1890

本書並非三角學的教科書，也不算是絕無僅有、詳述三角學史的書；本書只是嘗試從歷史發展的角度來介紹三角學相關的課題，以及與其他理工學科間的關係。選擇這個題目，一方面是由於我對三角學的喜愛，另一方面則出於我對學校在教授這個課題時所採用的方法，感同身受的挫折感。

懷念一位好老師
先談談我對這個題目的喜愛吧。高二時我十分幸運，遇到了一位年輕又有企圖心的好老師，他教我們物理及數學。他要求極高，絕不含糊；他不能忍受我們上課遲到或考試缺考──最好別以身試法，因為這些不良紀錄都會反應在成績單上。如果不交作業或考得不好，那就更糟了。我們蠻怕他的，面對他的斥責，我們還會嚇得發抖，更擔心他會通知家長。但是我們非常尊敬他，他是我們很多人的榜樣。更重要的是，他告訴我們數學和現實世界的關連，特別是與物理學的關連，這就表示：我們學到相當多的三角學。
多年來我和他一直保持聯絡，也碰過好幾次面。他對任何事物，不管是否與數學有關，都很有主見，一定會爭論到底，而且通常都會贏。即使我大學畢業了好久，他還是會讓我明白他仍然是我的老師。他在中國出生，二次大戰前返回歐洲，之後移民以色列，並於耶路撒冷的希伯來大學求學，後來在以色列獨立戰爭期間應召入伍。稍後他在特拉維夫大學（Tel Aviv University）任教，儘管沒有博士頭銜，他仍然榮獲終生教職──全校只有兩位沒有博士學位的人得此殊榮，而他正是其中之一。1989年，他在講授數學史時突然倒下，就這樣離開了人世。他姓伊利歐索夫（Nathan Elioseph）。我十分懷念他。

「新數學」一塌糊塗
現在該談談我的挫折感。五○年代末，前蘇聯成功發射了「旅伴一號」（Sputnik I）人造衛星，而在太空競賽中取得領先。（那天是1957年10月4日，正好是我二十歲生日。）在這之後，社會上對於教育改革，特別是科學教育改革的聲浪甚囂雲天。突然間，新的想法和計畫風起雲湧，全都以縮短與前蘇聯科技之差距為目標（雖然也有人懷疑這種差距是否真的存在）。
這是美國科技教育的黃金時代，只要對任何課題的教學有新的想法，甚至不需要太多的想法，就一定能申請到研究經費。「新數學」運動於焉誕生，此運動的目的在於使學生真正了解他們在做什麼，而不只是機械式的學習與死命背誦。大量的時間及經費投注於發展新的教學方法，教學內容則著重抽象的概念，如集合論、函數（定義為「有序對的集合」）及形式邏輯；各種研討會、講習會、新課程及新教本匆匆上陣，數以百計的教育學者致力將新思維傳授給成千上萬困惑不已的教師及家長，更有人遠赴重洋，將這個「新福音」傳播到許多文盲人口眾多的地區。
在四十年後的今天來看，許多教育學者都同意，「新數學」造成的禍害遠大於好處。我們的學生或許學習到集合論的語言及符號，但當需要做一個極簡單的數值計算時，他們卻手忙腳亂──即便有計算機在手。結果，許多高中畢業生缺乏最基本的運算技巧，而差不多百分之五十的人在進入大學後連最基本的微積分都被當掉，就一點也不奇怪了。學校當局得在補救課程上花大量資源（常常還得包裝一下，美其名為「成長課程」或「數學研究室」），成效最多也只是平平而已。

學三角是苦刑？
「新數學」對幾何學及三角學的傷害最大。理工科課程中最關鍵的三角學，成為改革的犧牲者；形式化的定義及冗長的邏輯推導，打著「嚴謹」的名義，取代了對三角學的實質了解。現在一般人談的是角的度量，而不是角的本身；定義正弦和餘弦時，是定義成「把實數纏繞到[1, 1]區間的函數」，而不是以幾何學的方式，定義成三角形邊的比率或單位圓在x軸和y軸上的投影。集合的符號及語言占據了所有的討論，結果使一個相當單純的課題，變成了含糊而無意義的形式主義。
更糟的是，由於太多高中畢業生缺乏基本的運算技巧，導致代表性的三角學教科書水準日益下降；例題及習題都是最簡單而例行的，所有的運算光靠背記基本公式就行了。正如代數中惡名昭彰的「文字題」，這些習題大都枯燥無味，毫無挑戰性，往往只能招來學生的不以為然：「那有什麼了不起？」

且看我怎麼說三角
克拉瑪（Edna Kramer）在《現代數學的本質與成長》一書中提到：「有些學生認為，三角學是加了榮耀之冠的幾何學，再加上計算的苦刑。」本書試圖反駁這種看法。我採用了歷史發展的觀點，部分原因是，我認為就長遠而言，這能幫助學生喜歡數學，甚至科學。但另一方面，我並未全然依照時間先後安排題材，而是依題材所能引起的趣味性，或與其他科學的相關性做選擇。當然，我的選擇反映了個人喜好，可選的題材其實還有很多。
本書前九章只需用到基本代數及三角學，其餘各章則需要一點微積分的知識（不會超過微積分II的程度），但大部分的內容都是高中生和大學生可以接受的程度。由於我很清楚本書的讀者群，所以我把討論的重點局限在平面三角學，完全不談球面三角學（雖然從歷史的角度來看，後者才是三角學最初的主角）。此外，我把一些與數學史有關的補充資料，獨立放在八篇「專欄」中，這些資料大都屬傳記性質，供各位在閱讀主要章節之餘做為參考。就算只有少數讀者因而受益，我也深以為樂。