數學分析(第四版)：上冊（簡體書）

本書是普通高等教育“十一五”國家級規劃教材。內容包括實數集與函數、數列極限、函數極限、函數的連續性、導數和微分、微分中值定理及其應用、實數的完備性、不定積分、定積分、定積分的應用、反常積分等，附錄為微積分學簡史、實數理論、積分表。 本次修訂認真總結了前三版的編寫經驗，特別對第三版的內容進行了細致的分析，聽取了部分使用學校的意見，對第三版的部分內容作了適當調整；實數理論基本定理出現的先后次序作了一些變化；增加了內閉一致收斂的概念，調整了與之有關的內容；適當增加了一些技巧性要求較高的例題，以方便學生學習。第四版仍然保持了教材前三版“內容選取適當，深入淺出，易學易教”的特點。 本書可作為高等學校教學類專業的教材使用。

華東師範大學數學系編寫的《數學分析》（上、下冊）自1980年初版誕生以來，相繼於1990年和2001年兩次再版，並於1987年榮獲全國優秀教材優秀獎，2004年榮獲上海市優秀教材一等獎。時至今日，本書第四版作為“國家精品課程（數學分析）”建設的重要組成部分，又和讀者見面了。
此次修訂前，我們徵詢了不少使用本教材的兄弟院校教師的意見，他們大都認為這本教材經過長期使用、多次修訂再版，已是非常成熟，因此不希望再有大的更動；同時也提出了一些極有價值的意見與設想。在此基礎上，我們編寫組同仁結合自己長期教學實踐中發現的問題和產生的想法，明確了這次編寫第四版教材的指導思想和修改方案。這就是，堅持本書前三版在取材、體系、可讀性諸方面的成熟風格。在此前提下，對部分內容作適當的增刪和調整，使全書內容更加充實，結構更趨合理，有利於提高教學質量。
本次修改的內容（相對於第三版）主要有：
（1）針對第七章關於極限理論的內容過於集中、滯後的問題，這次在第二章通過先證明“任何數列都存在單調子列”這個例題，提前得出了“緻密性定理”。有了這個工具，閉區間上連續函數的全部性質就能在第四章得到證明。
（2）針對目前不少大學不再單獨開設數學分析習題課的現狀，本次改版適當增加了一些稍有難度的例題，以期對學生解題能力的培養有所幫助。
（3）在函數項級數這一章中，增加了“內閉一致收斂”的概念，這有利於對一致收斂問題的深入討論。
（4）把“兩類曲線（曲面）積分的聯繫”由“選讀內容”改為“必讀內容”。
（5）對第二十一章關於“在一般條件下重積分變量變換公式的證明”，編者給出了一種不同於以往的、新的證明方法。
（6）在第二十三章裡，保留前三節關於向量函數微分學的內容，刪去原來的§4（外積、微分形式與一般斯托克斯公式），並把該章的章名改為“向量函數微分學”。
與前兩版相同，用記號“口”表示命題證明或例題求解的結束；對於加“*”的章節，在教學中教師可靈活選用，以使本書更適合多種層次的需求。
參加這一版編寫工作的有如下諸位教師：
龐學誠任主編，並負責編寫第一至第七章；
吳畏負責編寫第八至第十一章；
柴俊負責編寫第十二章、第十四至第十八章；
胡善文負責編寫第十三章、第十九至第二十三章；
毛羽輝負責全書統稿和全部插圖整理工作。
本書第四版的出版得到了華東師範大學教材建設基金的資助，高等教育出版社的編輯也付出了辛勤的勞動，對此我們表示衷心的感謝。同時還要感謝在本書的修訂和出版過程中提出積極建議的所有朋友。
本書自1980年第一版出版以來，深受廣大讀者的關愛與支持，在此我們一併致以深切謝意！並衷心希望讀者在閱讀和使用本教材的過程中繼續提出寶貴意見。

第一章 實數集與函數
1 實數
一 實數及其性質
二 絕對值與不等式
2 數集·確界原理
一 區間與鄰域
二 有界集·確界原理
3 函數概念
一 函數的定義
二 函數的表示法
三 函數的四則運算
四 復合函數
五 反函數
六 初等函數
4 具有某些特性的函數
一有界函數
二 單調函數
三 奇函數和偶函數
四 周期函數
第二章 數列極限
1 數列極限概念
2 收斂數列的性質
3 數列極限存在的條件
第三章 函數極限
1 函數極限概念
一 x趨于■時函數的極限
二 x趨于■時函數的極限
2 函數極限的性質
3 函數極限存在的條件
4 兩個重要的極限
一 證明■
二 證明■
5 無窮小量與無窮大量
一 無窮小量
二 無窮小量階的比較
三 無窮大量
四 曲線的漸近線
第四章 函數的連續性
l 連續性概念
一 函數在一點的連續性
二 間斷點及其分類
三 區間上的連續函數
2 連續函數的性質
一 連續函數的局部性質
二 閉區間上連續函數的基本性質
三 反函數的連續性
四 一致連續性
3 初等函數的連續性
一 指數函數的連續性
二 初等函數的連續性
第五章 導數和微分
1 導數的概念
一 導數的定義
二 導函數
三 導數的幾何意義
2 求導法則
一 導數的四則運算
二 反函數的導數
三 復合函數的導數
四 基本求導法則與公式
3 參變量函數的導數
4 高階導數
5 微分
一 微分的概念
二 微分的運算法則
三 高階微分
四 微分在近似計算中的應用
第六章 微分中值定理及其應用
1 拉格朗日定理和函數的單調性
一 羅爾定理與拉格朗日定理
二 單調函數
2 柯西中值定理和不定式極限
一 柯西中值定理
二 不定式極限
3 泰勒公式
一 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式
二 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式
三 在近似計算上的應用
4 函數的極值與最大(小)值
一 極值判別
二 最大值與最小值
5 函數的凸性與拐點
6 函數圖像的討論
7 方程的近似解
第七章 實數的完備性
1 關於實數集完備性的基本定理
一 區間套定理
二 聚點定理與有限覆蓋定理
三 實數完備性基本定理之間的等價性
2 上極限和下極限
第八章 不定積分
1 不定積分概念與基本積分公式
一 原函數與不定積分
二 基本積分表
2 換元積分法與分部積分法
一 換元積分法
二 分部積分法
3 有理函數和可化為有理函數的不定積分
一 有理函數的不定積分
二 三角函數有理式的不定積分
三 某些無理根式的不定積分
第九章 定積分
1 定積分概念
一 問題提出
二 定積分的定義
2 牛頓-萊布尼茨公式
3 可積條件
一 可積的必要條件
二 可積的充要條件
三 可積函數類
4 定積分的性質
一 定積分的基本性質
二 積分中值定理
5 微積分學基本定理·定積分計算(續)
一 變限積分與原函數的存在性
二 換元積分法與分部積分法
三 泰勒公式的積分型余項
6 可積性理論補敘
一 上和與下和的性質
二 可積的充要條件
第十章 定積分的應用
1 平面圖形的面積
2 由平行截面面積求體積
3 平面曲線的弧長與曲率
一 平面曲線的弧長
二 曲率
4 旋轉曲面的面積
一 微元法
二 旋轉曲面的面積
5 定積分在物理中的某些應用
一 液體靜壓力
二 引力
三 功與平均功率
6 定積分的近似計算
一 梯形法
二 拋物線法
第十一章 反常積分
1 反常積分概念
一 問題提出
二 兩類反常積分的定義
2 無窮積分的性質與收斂判別
一 無窮積分的性質
二 非負函數無窮積分的收斂判別法
三 一般無窮積分的收斂判別法
3 瑕積分的性質與收斂判別
附錄Ⅰ 微積分學簡史
附錄Ⅱ 實數理論
一 建立實數的原則
二 分析
三 分劃全體所成的有序集
四 R中的加法
五 R中的乘法
六 R作為Q的擴充
七 實數的無限小數表示
八 無限小數四則運算的定義
附錄Ⅲ 積分表
一 含有z“的形式
二 含有a+b%缸的形式
三 含有a2■x2，a>O的形式
四 含有a+bx+cx2，b2≠40c的形式
五 含有■的形式
六 含有■，a>O的形式
七 含有■，a>O的形式
八 含有sin x或cos x的形式
九 含有tan x，cot x，sec x，cscx的形式
十 含有反三角函數的形式
十一 含有ex的形式
十二 含有In x的形式
習題答案
索引
人名索引